Слабке гравітаційне поле

Рівняння Ейнштейна, виведене із принципів загальної теорії відносності:

${\displaystyle (1)\qquad R_{ij}-{R \over 2}g_{ij}=kT_{ij}}$

є нелінійним диференціальним рівнянням другого порядку щодо невідомих компонент метричного тензора ${\displaystyle g_{ij}}$. Існує практичний інтерес випадок настільки слабкого гравітаційного поля, щоб нелінійностями можна було знехтувати і одержати наближене рівняння, яке близьке до класичного закону Всесвітнього тяжіння, але з релятивістськими поправками. Це наближене рівняння можна застосовувати в межах Сонячної системи і навіть при розгляді галактик — адже типові швидкості зірок в галактиках більш ніж у тисячу разів менші за швидкість світла.

Є ще одна причина розглянути лінеаризоване рівняння (1) - знайти константу ${\displaystyle k}$ при тензорі енергії-імпульсу, яка залишилася невідомою при виводі рівняння Ейнштейна (1).

Лінеаризація рівняння Ейнштейна

Знаходження варіації тензора Річчі

Нехай ми маємо якийсь розподіл матерії в просторі (який задано компонентами тензора енергії-імпульсу ${\displaystyle T_{ij}}$ як функціями координат). І нехай для цього (базового) розподілу рівняння (1) уже розв'язане, тобто відомий метричний тензор ${\displaystyle g_{ij}}$, а отже і тензор Рімана ${\displaystyle R_{\;ijk}^{s}}$. Поряд з цим базовим розподілом матерії ${\displaystyle T_{ij}}$ розглянемо і дещо змінений розподіл ${\displaystyle {\tilde {T}}_{ij}}$:

${\displaystyle (2)\qquad {\tilde {T}}_{ij}=T_{ij}+\delta T_{ij}}$

який відрізняється від базового на малу величину ${\displaystyle \delta T_{ij}}$. Звичайно, мализну цієї добавки ми визначаємо так, щоб в результаті розв'язку рівняння (1) з новим тензором ${\displaystyle {\tilde {T}}_{ij}}$ ми одержали малу (порівняно з одиницею) зміну метричного тензора:

${\displaystyle (3)\qquad {\tilde {g}}_{ij}=g_{ij}+\delta g_{ij};\qquad {\big |}\delta g_{ij}{\big |}\ll 1}$

Звичайно, за земними мірками тензор ${\displaystyle \delta T_{ij}}$ може бути не таким вже й маленьким — наприклад планетою, зіркою, газовою туманністю, головне щоб зміна метричного тензора ${\displaystyle \delta g_{ij}}$ була малою. Цю зміну ${\displaystyle \delta g_{ij}}$ ми називатимемо варіацією, її ми і будемо шукати (базове рівняння вважається розв'язаним). Із варіації метричного тензора ${\displaystyle \delta g_{ij}}$ можна досить легко одержати варіації символів Крістофеля ${\displaystyle \delta \Gamma _{ij}^{s}}$ і тензора Рімана ${\displaystyle R_{\;ijk}^{s}}$ (подробиці обчислень в статті ):

${\displaystyle (4)\qquad \delta \Gamma _{ij}^{s}={1 \over 2}g^{sp}\left(\nabla _{i}\delta g_{pj}+\nabla _{j}\delta g_{ip}-\nabla _{p}\delta g_{ij}\right)}$

${\displaystyle (5)\qquad \delta R_{\;ijk}^{s}=\nabla _{j}\delta \Gamma _{ki}^{s}-\nabla _{k}\delta \Gamma _{ji}^{s}}$

Для наших цілей треба обчислити в першу чергу варіацію тензора Річчі ${\displaystyle \delta R_{ij}}$. Згорнемо формулу (5) за індексами ${\displaystyle (sj)}$ і підставимо сюди варіації символів Крістофеля ${\displaystyle \delta \Gamma _{ij}^{s}}$ із формули (4). Зручно також домножити одержану формулу на два, щоб компенсувати коефіцієнт в правій частині (4):

${\displaystyle (6)\qquad 2\delta R_{ik}=2\nabla _{s}\left(\delta \Gamma _{ki}^{s}\right)-2\nabla _{k}\left(\delta \Gamma _{si}^{s}\right)=g^{sp}\nabla _{s}\left(\nabla _{k}\delta g_{pi}+\nabla _{i}\delta g_{kp}-\nabla _{p}\delta g_{ki}\right)-g^{sp}\nabla _{k}\left(\nabla _{s}\delta g_{pi}+\nabla _{i}\delta g_{sp}-\nabla _{p}\delta g_{si}\right)}$

Звернемо увагу на перший і третій доданки в останніх дужках: ${\displaystyle \nabla _{s}\delta g_{pi}}$ і ${\displaystyle -\nabla _{p}\delta g_{si}}$. Вони переходять один в другий (з відповідним знаком) при перестановці індексів ${\displaystyle (p,s)}$. Але вся ця дужка згортається із симетричним тензором ${\displaystyle g^{ps}}$, в результаті згортки ці два доданки взаємо-знищуюються, і ми одержуємо наступну формулу для варіації тензора Річчі (заодно перейменуємо заради естетики індекс ${\displaystyle k}$ на ${\displaystyle j}$):

${\displaystyle (7)\qquad 2\delta R_{ij}=\nabla ^{p}\nabla _{j}\delta g_{pi}+\nabla ^{p}\nabla _{i}\delta g_{pj}-\left(g^{sp}\nabla _{s}\nabla _{p}\right)\delta g_{ij}-\nabla _{j}\nabla _{i}\left(g^{sp}\delta g_{sp}\right)}$

Оператор в третьому доданку - це просто лапласіан ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ (оператор Лапласа — Бельтрамі). Останній доданок є симетричним по індексах ${\displaystyle (ij)}$ як друга похідна скаляра:

${\displaystyle (8)\qquad \nabla _{j}\nabla _{i}\phi =\nabla _{j}\left(\partial _{i}\phi \right)=\partial _{i}\partial _{j}\phi -\Gamma _{ij}^{s}\partial _{s}\phi }$

а перші два доданки переходять один в другий при перестановці індексів ${\displaystyle (ij)}$. Перепишемо формулу (7) ще раз:

${\displaystyle (9)\qquad 2\delta R_{ij}=\nabla ^{p}\nabla _{j}\delta g_{pi}+\nabla ^{p}\nabla _{i}\delta g_{pj}-\nabla ^{2}\delta g_{ij}-\nabla _{i}\nabla _{j}\left(g^{sp}\delta g_{sp}\right)}$

Лінійна заміна змінних

Формула (9) лінійна щодо невідомих варіацій метричного тензора ${\displaystyle \delta g_{ij}}$, але надто громіздка. Сюди входять різнородні другі похідні, до того ж компоненти невідомих ${\displaystyle \delta g_{ij}}$ перемішані. Очевидно, ця ж неприємність залишиться, якщо ми будемо обчислювати варіацію від тензора Ейнштейна:

${\displaystyle (10)\qquad G_{ij}=R_{ij}-{R \over 2}g_{ij}}$

Допомогти може лінійна заміна невідомих (ми діагоналізуємо лінійні рівняння). В загальному випадку ми вводимо нові невідомі - тензор ${\displaystyle h_{ij}}$, через який виражаються варіації метричного тензора:

${\displaystyle (11)\qquad \delta g_{ij}=a_{ij}^{kl}h_{kl}}$

Що робити далі, підходи відрізняються для математика і фізика. Математик підставить (11) в лінеаризоване рівняння Ейнштейна, і шукатиме зв'язки на постійні коефіцієнти ${\displaystyle a_{ij}^{kl}}$, при яких лінеаризоване рівняння Ейнштейна спроститься. Фізик же може скористатися міркуваннями симетрії та інтуїцією, щоб відгадати вид найкращої заміни змінних. Дійсно, оскільки рівняння Ейнштейна тензорне, то і коефіцієнти (11) мають бути тензорами. Просто якийсь довільний тензор зі сторони може тільки ускладнити задачу. Тому розглянемо в першу чергу такі коефіцієнти ${\displaystyle a_{ij}^{kl}}$, які залежать тільки від метричного тензора ${\displaystyle g_{ij}}$. І навіть конкретніше, спробуємо заміну, аналогічну тому, як в формулі (10) тензор Ейнштейна ${\displaystyle G_{ij}}$ залежить від тензора Річчі ${\displaystyle R_{ij}}$. Отже, нехай:

${\displaystyle (12)\qquad \delta g_{ij}=h_{ij}-{h \over 2}g_{ij};\qquad h=g^{ij}h_{ij}}$

Ця заміна оборотна, і ми можемо виразити ${\displaystyle h_{ij}}$ через ${\displaystyle \delta g_{ij}}$. Для цього знайдемо слід формули (12):

${\displaystyle (13)\qquad g^{ij}\delta g_{ij}=g^{ij}h_{ij}-{h \over 2}g^{ij}g_{ij}=h-2h=-h}$

Тут ми скористалися формулою згортки метричного тензора (дивіться ):

${\displaystyle (14)\qquad g^{ij}g_{ij}=4}$

Із формул (12) і (13) знаходимо:

${\displaystyle (15)\qquad h_{ij}=\delta g_{ij}-{1 \over 2}\left(g^{ps}\delta g_{ps}\right)g_{ij}}$

Підставимо заміну (12) і (13) в перший, другий і четвертий доданок формули (9). Одержуємо:

${\displaystyle (16)\qquad 2\delta R_{ij}=\nabla ^{p}\nabla _{j}h_{pi}-{g_{pi} \over 2}\nabla ^{p}\nabla _{j}h+\nabla ^{p}\nabla _{i}h_{pj}-{g_{pj} \over 2}\nabla ^{p}\nabla _{i}h-\nabla ^{2}\delta g_{ij}+\nabla _{i}\nabla _{j}h}$

Очевидно, мішана похідна ${\displaystyle \nabla _{i}\nabla _{j}h}$ скорочується, і ми одержуємо рівняння з трьома доданками:

${\displaystyle (17)\qquad 2\delta R_{ij}=\nabla ^{p}\nabla _{j}h_{pi}+\nabla ^{p}\nabla _{i}h_{pj}-\nabla ^{2}\delta g_{ij}}$

Далі, придивимося уважніше до перших двох доданків формули (12). Ми можемо і їх обнулити, якщо дивергенція від ${\displaystyle h_{ij}}$ дорівнюватиме нулю:

${\displaystyle (18)\qquad \nabla ^{j}h_{ij}=0}$

Але чи можемо ми сподіватися на цю рівність? Відповідь ствердна, оскільки в компонент метричного тензора є чотири степені свободи, коли сам многовид чотиривимірного простору-часу і його метрика не змінюються, а міняється тільки система координат. Дійсно, нехай нові координати ${\displaystyle {\hat {x}}^{i}}$ відрізняються від старих на малий вектор ${\displaystyle v^{i}}$:

${\displaystyle (19)\qquad {\hat {x}}^{i}=x^{i}+v^{i};\qquad {\partial {\hat {x}}^{i} \over \partial x^{j}}=\delta _{j}^{i}+{\partial v^{i} \over \partial x^{j}}}$

Деяка точка ${\displaystyle P}$ має координати ${\displaystyle {\hat {x}}^{i}}$ в нових координатах і ${\displaystyle x^{i}+v^{i}}$ в старих. Запишемо квадрат "відстані" від цієї точки до близької точки ${\displaystyle P'}$ в нових і старих координатах:

${\displaystyle (20)\qquad ds^{2}={\hat {g}}_{ij}({\hat {x}})d{\hat {x}}^{i}d{\hat {x}}^{j}=g_{ij}(x+v)dx^{i}dx^{j}}$

Тоді метричні тензори в цих системах координат відрізняються на величину:

${\displaystyle (21)\qquad \delta g'_{ij}={\hat {g}}_{ij}({\hat {x}})-g_{ij}(x)=-\left(\nabla _{i}v_{j}+\nabla _{j}v_{i}\right)}$

Якщо ми до варіації ${\displaystyle \delta g_{ij}}$ в формулі (15) додамо неістотний доданок (21) і візьмемо дивергенцію, то матимемо рівняння для вектора ${\displaystyle v^{i}}$ (чотири диференціальні рівняння з чотирма невідомими):

${\displaystyle (22)\qquad 0=\nabla ^{j}h_{ij}=\nabla ^{j}\left(\delta g_{ij}-{1 \over 2}\left(g^{ps}\delta g_{ps}\right)g_{ij}\right)-\nabla ^{j}\left(\nabla _{i}v_{j}+\nabla _{j}v_{i}\right)+{1 \over 2}\nabla _{i}(2\nabla ^{s}v_{s})}$

Припустмо, що ці рівняння розв'язуються, тоді при варіації метрики ${\displaystyle \delta g_{ij}}$ ми синхронно змінюємо систему координаттаким чином, щоб лінеаризоване рівняння Ейнштейна було найпростішим.

Маючи рівність (18), обчислимо перший доданок (17), записуючи дію комутатора коваріантних похідних на тензор ${\displaystyle h_{ij}}$ через суму згорток (за кожним з двох індексів) цього тензора з тензором Рімана:

${\displaystyle (23)\qquad \nabla ^{p}\nabla _{j}h_{pi}=\left[\nabla ^{p}\nabla _{j}\right]h_{pi}=-R_{j}^{s}h_{si}-R_{sipj}h^{sp}}$

тоді формула (17) запишеться так:

${\displaystyle (24)\qquad 2\delta R_{ij}=-\nabla ^{2}g_{ij}-\left(R_{i}^{s}h_{sj}+R_{j}^{s}h_{si}\right)-2R_{sipj}h^{sp}}$

У цій формулі ми перенесли доданки з кривиною на кінець, оскільки вони звичайно малі у порівнянні з першим доданком. Їх треба враховувати хіба що в задачі визначення траєкторії руху гравітаційні хвилі в гравітаційному полі.

Якщо ми візьмемо за базовий розв'язок плоский простір без матерії:

${\displaystyle (25)\qquad T_{ij}=0;\qquad R_{\;ijk}^{s}=0}$

то одержимо досить просту формулу для варіації тензора Річчі:

${\displaystyle (26)\qquad \delta R_{ij}=-{1 \over 2}\nabla ^{2}\delta g_{ij}}$

Завершення виводу лінеаризованого рівняння

Маючи варіацію тензора Річчі (26), і умову ${\displaystyle R_{ijkl}=0}$, знайдемо спочатку варіацію скалярної кривини:

${\displaystyle (27)\qquad \delta R=\delta \left(g^{ij}R_{ij}\right)=g^{ij}\delta R_{ij}={1 \over 2}\nabla ^{2}h}$

Далі шукаємо варіацію тензора Ейнштейна:

${\displaystyle (28)\qquad \delta G_{ij}=\delta R_{ij}-{1 \over 2}\delta \left(g_{ij}R\right)=-{1 \over 2}\nabla ^{2}\delta g_{ij}-{1 \over 2}g_{ij}\left({1 \over 2}\nabla ^{2}h\right)=-{1 \over 2}\nabla ^{2}\left(\delta g_{ij}+{h \over 2}g_{ij}\right)=-{1 \over 2}\nabla ^{2}h_{ij}}$

Таким чином, лінеаризоване рівняння Ейнштейна має такий вигляд:

${\displaystyle (29)\qquad -{1 \over 2}\nabla ^{2}h_{ij}=kT_{ij}}$

Порівняння з формулами для класичної теорії Всесвітнього тяжіння

Нехай ми маємо статичний розподіл мас у тривимірному просторі:

${\displaystyle (30)\qquad \rho =\rho (x,y,z)}$

Тензор енергії-імпульса приблизно матиме такий вигляд:

${\displaystyle (31)\qquad (T_{ij})={\begin{bmatrix}\rho c^{2}&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

оскільки тензор напруг речовини ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ набагато менший за величиною за енергію спокою ${\displaystyle \rho c^{2}}$, і ним можна знехтувати.

Система рівнянь (29) є діагональною в декартовій системі координат, і розпадається на 16 незалежних рівнянь, по одному на кожну компоненту ${\displaystyle h_{ij}}$. Маючи на увазі (31), тільки одне з цих рівнянь має ненульову праву частину:

${\displaystyle (32)\qquad -{1 \over 2}\nabla ^{2}h_{00}=kc^{2}\rho }$

Решту п'ятнадцять рівнянь легко розв'язати, вибравши нульовий розв'язок: ${\displaystyle h_{ij}=0}$ коли індекси не дорівнюють нулю одночасно. Тепер матриця шуканого тензора ${\displaystyle h_{ij}}$ матиме вигляд, аналогічний до (31):

${\displaystyle (33)\qquad (h_{ij})={\begin{bmatrix}h_{00}&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Для рівняння (32), з огляду на (30), можна шукати статичний розв'язок:

${\displaystyle (34)\qquad h_{00}=h_{00}(x,y,z)}$

Для цього нам досить пересвідчитися, що система чотирьох рівнянь (18) автоматично задовольняється. Нетривіальне рівняння маємо лише одне із чотирьох, коли ${\displaystyle i=0}$:

${\displaystyle (35)\qquad \nabla ^{j}h_{0j}=\partial _{0}h_{00}-\partial _{1}h_{01}-\partial _{2}h_{02}-\partial _{3}h_{03}=0}$

Перший доданок перетворюється в нуль, оскільки згідно з (34) ${\displaystyle h_{00}}$ не залежить від часу. Решта доданків дорівнюють нулю оскільки ${\displaystyle h_{0i}=0}$ в матриці (33). Чотиривимірний оператор Лапласа в формулі (32) в декартовій системі координат записується як даламберіан:

${\displaystyle (36)\qquad \nabla ^{2}=\Box ={\partial ^{2} \over \left(\partial x^{0}\right)^{2}}-\Delta }$

де грецькою буквою ${\displaystyle \Delta }$ позначено тривимірний оператор Лапласа:

${\displaystyle (37)\qquad \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}}$

Оскільки похідна по часовій змінній ${\displaystyle x^{0}}$ від функції (34) дорівнює нулю, то формулу (32) ми можемо записати виключно в тривимірних координатах:

${\displaystyle (38)\qquad {1 \over 2}\Delta h_{00}=kc^{2}\rho }$

Тепер ми можемо порівняти формулу (38) з класичною формулою для гравітаційного потенціалу ${\displaystyle \phi }$:

${\displaystyle (39)\qquad \Delta \phi =4\pi G\rho }$

Величина ${\displaystyle h_{00}}$ і гравітаційний потенціал ${\displaystyle \phi }$ пов'язані між собою через часову компонету метричного тензора:

${\displaystyle (40)\qquad {\tilde {g}}_{00}=1+{2\phi \over c^{2}}}$

${\displaystyle (41)\qquad {\tilde {g}}_{00}=g_{00}+h_{00}-{h \over 2}g_{00}=1+{h_{00} \over 2};\qquad \left(h=g^{ij}h_{ij}=h_{00}\right)}$

звідки отримуємо:

${\displaystyle (42)\qquad {2 \over c^{2}}\phi ={1 \over 2}h_{00}}$

Взявши тривимірний лапласіан ${\displaystyle \Delta }$ від правої і лівої частин рівняння (42), легко знаходимо невідомий раніше коефіцієнт ${\displaystyle k}$ рівняння Ейнштейна:

${\displaystyle (43)\qquad {2 \over c^{2}}4\pi G\rho =kc^{2}\rho }$

${\displaystyle (44)\qquad k={8\pi G \over c^{4}}}$

Деформація метрики в слабкому гравітаційному полі

Формули (42) і (33) дають змогу записати тензор ${\displaystyle h_{ij}}$ через гравітаційний потенціал:

${\displaystyle (45)\qquad h_{00}={4\phi \over c^{2}};\qquad h_{ij}=0\;{\mbox{ if }}(ij)\neq {00}}$

Із формули (12) знаходимо компоненти метричного тензора:

${\displaystyle (46)\qquad g_{00}=g_{00}+h_{00}-{h_{00} \over 2}g_{00}=1+{h_{00} \over 2}=1+{2\phi \over c^{2}}}$

${\displaystyle \qquad {\tilde {g}}_{ii}=g_{ii}+h_{ii}-{h_{00} \over 2}g_{ii}=-1+0-{2\phi \over c^{2}}(-1)=-1+{2\phi \over c^{2}};\qquad i=\{1,2,3\}}$

${\displaystyle \qquad {\tilde {g}}_{ij}=g_{ij}+h_{ij}-{h_{00} \over 2}g_{ij}=0+0-0=0;\qquad i\neq j}$

Ці формули ми можемо записати у вигляді матриці:

${\displaystyle (47)\qquad ({\tilde {g}}_{ij})={\begin{bmatrix}1+{2\phi \over c^{2}}&0&0&0\\0&-1+{2\phi \over c^{2}}&0&0\\0&0&-1+{2\phi \over c^{2}}&0\\0&0&0&-1+{2\phi \over c^{2}}\end{bmatrix}}}$

Оскільки гравітаційний потенціал від'ємний, то з формули (47) слідує, що під дією сили тяжіння плин часу уповільнюється:

${\displaystyle (48)\qquad {\tilde {g}}_{00}<1}$

а простір в такій же пропорції розтягується:

${\displaystyle (49)\qquad {\big |}{\tilde {g}}_{ii}{\big |}>1}$

Теоретичні наслідки лінеаризованого рівняння Ейнштейна

Із рівняння (29) можна вивести, аналогічно запізнюючим потенціалам в електродинаміці, що гравітаційне поле поширюється не миттєво, а зі швидкістю світла. Більше того, можна одержати рівняння для гравітаційних хвиль. Є ще один цікавий ефект - породження аналога сили Коріоліса внаслідок обертання мас. Тобто, наприклад площина коливань маятника Фуко на полюсі Землі не буде фіксованою щодо віддалених зірок, а повільно обертатиметься (дивіться статтю ). Описані вище ефекти дуже малі і не підтверджені експериментально. Такі експерименти можуть підтвердити або спростувати загальну теорію відносності.

Література

• Sean M. Carroll (2003). Spacetime and Geometry, an Introduction to General Relativity. Pearson. ISBN .