Система відліку

Систе́ма ві́дліку — це фізичне тіло або набір тіл, відносно яких розглядається положення і рух інших тіл, система координат і синхронізовані годинники, що відраховують час. Одне з фундаментальних понять у фізиці. Якщо два тіла, з якими пов'язані різні системи відліку, рухаються одне відносно одного повільно, тривалість процесів і лінійні відстані між точками не залежать від того, яку з систем відліку ми оберемо, проте у випадку, якщо ці швидкості наближаються до швидкості світла, довжини і тривалості можуть змінюватися при переході з однієї системи в іншу.

Система відліку
Є об'єднанням	^d
Система відліку у Вікісховищі

Способи задання системи відліку

Векторний спосіб

Тут система відліку — це деяка фіксована точка простору О, прив'язана до деякого фізичного об'єкта, що називається тілом відліку. Положення іншої матеріальної точки в такому випадку задається вектором r, що починається в точці О і закінчується у точці, що нас цікавить. Такий вектор називають радіус-вектором.

Якщо за період ${\displaystyle \Delta t}$ вектор положення точки змінився з r₀ на r₁, то вектор ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} =\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{0}} }$ називається вектором переміщення. А величина ${\displaystyle \langle \mathbf {v} \rangle ={\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}}$ називається середнім вектором швидкості за час ${\displaystyle \Delta t}$. Якщо ${\displaystyle \Delta t\to 0}$, ця величина називається моментальною швидкістю: ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$. Скалярна швидкість дорівнює довжині цього вектора. Аналогічно можна визначити прискорення як ${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}$.

Координатний спосіб

Тут система відліку включає, окрім початкової точки, деяку тривимірну систему координат, що може бути декартовою, косокутною або криволінійною. У такому разі положення точки задається трьома числами, що їх у декартових координатах позначають як x, y і z. Отже, кожне з записаних вище рівнянь розпадається на три, відповідно до окремих координат. Наприклад:

${\displaystyle v_{x}={\frac {dx}{dt}}}$

${\displaystyle v_{y}={\frac {dy}{dt}}}$

${\displaystyle v_{z}={\frac {dz}{dt}}}$

Модуль швидкості обчислюється як:

${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$

Інерційні та неінерційні системи відліку

Ньютонівська механіка

Докладніше: Класична механіка

Інерційна система відліку прив'язана до тіла, яке рухається без прискорення і без обертання. Згідно з першим законом Ньютона, таким чином рухається тіло, на яке не діють ніякі зовнішні сили. Інерційні системи відліку мають значні переваги перед неінерційними, оскільки у них закони механіки є значно простішими.

Існує нескінченна кількість систем відліку, що рухаються одна відносно одної рівномірно і прямолінійно у різних напрямках.

У неінерційних системах, що прив'язані до тіл, що рухаються з прискоренням, у рівняннях руху з'являються фіктивні сили або сили інерції, що не пов'язані ні з якою реальною взаємодією, а лише з вибором системи відліку. Такими силами є, наприклад, відцентрова сила, сила Коріоліса, або сили, які ми відчуваємо у транспорті при розгоні або гальмуванні.

Хоча у ньютонівській механіці усі інерційні системи відліку є рівноправними (цей постулат називається принципом відносності Галілея), до 20 століття вважалося, що існує особлива, «справжня» система відліку, пов'язана з самим простором (або навіть з Богом). Таку система відліку називали абсолютною системою відліку. Зазвичай її прив'язували до ефіру — гіпотетичного середовища, що заповнює весь Всесвіт. Інший спосіб визначити абсолютну систему відліку запропонував Мах: він вважав, що густина матерії у Всесвіті зменшується при віддаленні від деякої точки, тобто, що у Всесвіту є центр мас. Систему відліку, пов'язану з ним, Мах і вважав абсолютною.

У 20 столітті, після створення спеціальної теорії відносності, стало зрозуміло, що концепт абсолютної системи відліку не має сенсу — її не існує, як не існує і ефіру. Нескінченність Всесвіту унеможливила і інтерпретацію Маха.

Загальна теорія відносності

У ЗТВ вводиться поняття локально інерціальної системи відліку, що пов'язана з тілом, що знаходиться у стані вільного падіння. У такій системі відліку гравітацією можна повністю знехтувати, і усі тіла рухаються рівномірно і прямолінійно . Проте такі властивості система буде мати лише якщо використовувати її на обмеженій ділянці простору-часу. Для будь-яких віддалених точок у гравітаційному полі, тіла що знаходяться у цих точках зазнають дії припливних сил. Розміри локально інерційної системи відліку залежать від необхідної точності вимірювань і кривини простору-часу. Наприклад, локально інерційна система відліку, прив'язана до тіла, що падає у гравітаційному полі Землі, може використовуватися в області простору-часу 100 м×100 м×100 м×3 с, якщо допустима похибка вимірювання перевищує 1,7 мм.

Перехід між системами відліку

Перетворення Галілея

Докладніше: Перетворення Галілея

У класичній механіці координати у двох системах, одна з яких рухається зі швидкістю ${\displaystyle \mathbf {V} }$ відносно іншої перетворюються за наступним законом:

${\displaystyle x'=x-V_{x}t}$

${\displaystyle y'=y-V_{y}t}$

${\displaystyle z'=z-V_{z}t}$

${\displaystyle t'=t}$

Ці рівняння називаються перетвореннями Галілея.

Відповідно, якщо тіло має швидкість ${\displaystyle \mathbf {v} '}$ і прискорення ${\displaystyle \mathbf {a} '}$, у системі відліку ${\displaystyle K'}$, що рухається прямолінійно відносно іншої системи відліку ${\displaystyle K}$ зі швидкістю ${\displaystyle \mathbf {V} }$ і прискоренням ${\displaystyle \mathbf {A} }$, швидкість тіла у системі дорівнюватиме:

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} '+\mathbf {V} }$

а прискорення

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} '+\mathbf {A} }$

Тобто, наприклад, якщо ми заміряємо швидкість тіла у потязі, що їде, швидкість тіла відносно Землі дорівнює векторній сумі виміряної швидкості тіла і швидкості самого потягу.

У випадку, якщо система ${\displaystyle K'}$ обертається з кутовою частотою ${\displaystyle \omega }$ відносно нерухомої (відносно першої системи) осі (обертова система відліку), то перетворення набувають вигляду (за умови, що початкові точки відліку обох систем збігаються, тобто, радіус-вектори усіх точок однакові в обох системах):

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} '+[\mathbf {\omega } \mathbf {r} ]}$

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} '+2[\mathbf {\omega } \mathbf {v} ']+[\mathbf {\omega } [\mathbf {\omega } \mathbf {r} ]]}$

у рівнянні для перетворення прискорення другий доданок називається прискоренням Коріоліса а третій — відцентровим прискоренням.

Лінійні відстані між точками а також проміжки часу між подіями у класичній механіці ніяк не залежать від вибору системи відліку.

Перетворення Лоренца

У релятивістській механіці, координати перетворюються за більш складним законом (при русі вздовж координати х зі швидкістю V):

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {Vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-Vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle c}$ — швидкість світла, а ${\displaystyle \gamma }$ — фактор Лоренца:

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}}$

Тобто, у СТВ відстані між точками і тривалість часових інтервалів — не є інваріантами, а змінюються залежно від вибору системи відліку. Одночасність також є відносним поняттям — події, що відбулися в один і той самий момент у одній системі відліку, можуть відбутися в різні моменти часу, якщо перейти в іншу систему. Інваріантами є лише інтервали між двома подіями у просторі-часі:

${\displaystyle s_{12}^{2}=t_{12}^{2}c^{2}-x_{12}^{2}-y_{12}^{2}-z_{12}^{2}}$,

де ${\displaystyle t_{12},x_{12},y_{12},z_{12}}$ — час між двома подіями а також відстань між ними у просторі

У випадку малих швидкостей перетворення Лоренца сходяться до перетворень Галілея (або ж, що те саме, перетворюються на них якщо прийняти швидкість світла нескінченною).

Швидкості у цьому випадку перетворюються за законом:

${\displaystyle v_{x}'=v_{x}{\frac {v_{x}-V}{1-v_{x}V/c^{2}}}}$

${\displaystyle v_{y}'=v_{y}{\frac {1-V^{2}/c^{2}}{1-v_{x}V/c^{2}}}}$

${\displaystyle v_{z}'=v_{z}{\frac {1-V^{2}/c^{2}}{1-v_{x}V/c^{2}}}}$

Якщо ${\displaystyle v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}=c^{2}}$, то це рівняння буде виконуватися і при переході в будь-яку іншу систему відліку. Тобто, швидкість світла є однаковою для будь-якого спостерігача. Це твердження є одним з постулатів спеціальної теорії відносності.

Деякі особливі системи відліку

Система відліку, пов'язана з Землею є зручною для багатьох повсякденних обчислень. Таку систему іноді називають геоцентричною. Вона може вважатися інерційною наближено, але якщо процеси, які досліджуються, мають велику протяжність у просторі або часі, обертання Землі має бути враховане. Першим продемонстрував це Леон Фуко у 1851 році. Він показав, що площина коливань довгого маятника (зараз таку систему називають маятником Фуко) поступово обертається з періодом 24 години. Зараз неінерційність геоцентричної системи відліку враховується в артилерії, ракетобудівництві, гіроскопічній техніці.

Для таких обчислень за інерційну приймають систему відліку, пов'язану з "нерухомими зірками" — за опорні точки для координатних осей приймаються три зорі. У астрономії при використанні такої системи початок координат прив'язують до Сонця. Така система відліку називається геліоцентричною, і є інерційною з дуже великою точністю.

Для опису зіткнення двох тіл зручною є система, прив'язана до центру мас цих двох тіл.

Див. також

• Лабораторна система

Примітки

1. Иродов, 1985, с. 10.
2. Иродов, 1985, с. 11.
3. Иродов, 1985, с. 13.
4. Иродов, 1985, с. 34.
5. Иродов, 1985, с. 35.
6. Юкава, 1981, с. 41.
7. Мизнер,Торн,Уилер, 1977, с. 46.
8. Мизнер,Торн,Уилер, 1977, с. 67.
9. Иродов, 1985, с. 25.
10. Иродов, 1985, с. 26.
11. Иродов, 1985, с. 27.
12. Иродов, 1985, с. 192.
13. Иродов, 1985, с. 199.
14. Иродов, 1985, с. 200.
15. Курс теоретической механики(рос.)

Література

• Иродов И.Е. Основные законы механики. — 3. — М. : «Высшая школа», 1985. — 248 с.
• Юкава Х. Лекции по физике. — М. : Энергоиздат, 1981. — 128 с.

• Ч.Мизнер, К.Торн, Дж.Уилер. Гравитация. — М. : Мир, 1977. — Т. 2. — 480 с.