Остачі

Не плутати з Залишком.

Ли́шок (від фр. résidu — лишок, англ. residue, рос. вычет) у комплексному аналізі — число (як дійсне, так і комплексне), яке описує поведінку криволінійних інтегралів мероморфних функцій у деякій особливій точці. За допомогою лишків можна обчислювати значення інтегралів різних типів, у тому числі дійсних.

Визначення

Нехай функція ${\displaystyle f(z)\,}$ має ізольовану особливу точку ${\displaystyle z=a\,}$ (або регулярна у цій точці). При скінченному ${\displaystyle a\,}$ лишком функції ${\displaystyle f(z)\,}$ у точці ${\displaystyle z=a\,}$ називається величина

${\displaystyle \mathrm {res} _{\text{z=a}}f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z-a|=\varrho }f(z)dz,}$

де інтегрування проводиться по додатно орієнтованому контуру (при обході область залишається ліворуч). Оскільки ${\displaystyle \varrho \,}$ — будь-яке достатньо мале додатне число, а ${\displaystyle f(z)\,}$ — мероморфна, то величина вищевказаного інтегралу не залежить від значення цього параметра та шляху інтегрування.

Нескладно довести, що перший коефіцієнт розкладу функції ${\displaystyle f(z)\,}$ по степеням ${\displaystyle z-a\,}$ в ряд Лорана є лишком цієї функції:

${\displaystyle \mathrm {res} _{\text{z=a}}f(z)=C_{-1}\,}$

Лишок у «нескінченності»

Для повного дослідження функції необхідно розглядати лишок у нескінченності (нескінченно віддалена точка на сфері Рімана). Нехай точка ${\displaystyle z=\infty \,}$ є ізольованою особливою точкою однозначного характеру функції ${\displaystyle f(z)\,}$, тоді лишком у нескінченності називається число

${\displaystyle \mathrm {res} _{\infty }f(z)=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z|=R}f(z)dz}$,

де ${\displaystyle R\,}$ — будь-яке достатньо велике додатне число. При цьому напрямок інтегрування по межі області обирається так, щоб область залишалася зліва (тобто проти годинникової стрілки).

Аналогічно до попереднього випадку, лишок у нескінченності можна представити у вигляді коефіцієнта лоранівського розкладу в околі нескінченно віддаленої точки:

${\displaystyle \mathrm {res} _{\infty }f(z)=-C_{-1}\,}$

Логарифмічний лишок

Інтеграл виду

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz}$

називається логарифмічним лишком функції ${\displaystyle f(z)\,}$ відносно С. Свою назву отримав через те, що підінтегральний вираз є похідною логарифма. Знаходить застосування у доведенні теореми Руше та основної теореми алгебри. Сам інтеграл визначається лише принципом аргументу:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}(\mathrm {Ln} (f(z))'dz={\frac {1}{2\pi i}}\mathrm {Ln} (f(z))_{C}={\frac {1}{2\pi i}}(\ln |f(z)|+i\mathrm {arg} f(z))_{C}={\frac {1}{2\pi }}\Delta _{C}\mathrm {arg} f(z)}$

Методи обчислення лишків

На практиці обчислювати лишки за означенням, тобто через контурний інтеграл, у багатьох випадках важко. Тому використовують наслідки з означення для особливих точок різного типу.

Усувна особлива точка

В усувній особливій точці лишок дорівнює нулю. Проте, у випадку з нескінченністю це не завжди так. Якщо в околі нескінченно віддаленої точки функція має розклад в ряд Лорана, то

${\displaystyle \mathrm {res} _{\infty }f(z)=-C_{-1}=\lim _{z\to \infty }[z(f(\infty )-f(z))]}$

Полюс

• Простий полюс у точці ${\displaystyle z=a\,}$:

${\displaystyle \mathrm {res} _{\text{z=a}}f(z)=\lim _{z\to a}(f(z)(z-a))}$

• Полюс кратності n у точці ${\displaystyle z=a\,}$:

${\displaystyle \mathrm {res} _{\text{z=a}}f(z)={1 \over (n-1)!}\lim _{z\to a}{{d^{(n-1)} \over dz^{(n-1)}}[f(z)(z-a)^{n}]}}$

Проте, якщо функція представлена як частка двох голоморфних функцій: ${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}}$, і ${\displaystyle h(a)=0,h'(a)\neq 0\,}$, то:

${\displaystyle \mathrm {res} _{\text{z=a}}f(z)={\frac {g(a)}{h'(a)}}}$

Істотно особлива точка

У більшості випадків в істотно особливій точці лишок зручно знаходити, як коефіцієнт розкладу в ряд Лорана. Наприклад:

${\displaystyle f(z)=(2z-1)\cos {\frac {z}{z-1}}=(2(z-1)+1)\cos \left(1+{\frac {1}{z-1}}\right)=(2(z-1)+1)(\cos 1\cos {\frac {1}{z-1}}-\sin 1\sin {\frac {1}{z-1}})}$

Розкладемо ${\displaystyle \cos {\frac {1}{z-1}}\,}$ та ${\displaystyle \sin {\frac {1}{z-1}}\,}$ в ряд Лорана:

${\displaystyle \cos {\frac {1}{z-1}}=1-{\frac {1}{2!(z-1)^{2}}}+{\frac {1}{4!(z-1)^{4}}}-...}$

${\displaystyle \sin {\frac {1}{z-1}}={\frac {1}{z-1}}-{\frac {1}{3!(z-1)^{3}}}+{\frac {1}{5!(z-1)^{5}}}-...}$

Тоді після підстановки цих розкладів та зведення подібних доданків, знаходимо:

${\displaystyle \mathrm {res} _{z=1}=C_{-1}=-\cos 1-\sin 1\,}$

Див. також

• Інтегральна формула Коші
• Інтегральна теорема Коші
• Основна теорема про лишки

Джерела

• Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
• Евграфов М.А. Аналитические функции. — М.: Наука, 1965. — 471 ст.