Ряд Лорана — двостороннійстепеневий ряд, у який розкладається комплексна функція f(z). Ряди Лорана застосовують для дослідження комплексної функції у тих випадках, коли розклад у ряд Тейлора не може бути застосований. Їх названо на честь П'єра Альфонса Лорана, який уперше опублікував свої дослідження цих рядів 1843 року. Карл Вейєрштрасс, можливо, застосовував такі ряди ще у 1841 році, але не опублікував своїх результатів.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODFMelZoTDB4aGRYSmxiblJmYzJWeWFXVnpMbk4yWnk4eU5UWndlQzFNWVhWeVpXNTBYM05sY21sbGN5NXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Для комплексної функції f(z), аналітичної у скінченому кільці з центром у точці c, у довільній точці кільця виконується рівність:
де члени ряду an визначаються за формулою:
Шлях інтегрування γ є довільним замкненим , що лежить у кільці і містить точку с.
Властивості
- Головною частиною ряду Лорана називаються члени з від'ємними степенями:
- Правильною частиною (Тейлорівською частиною) ряду Лорана називаються члени з невід'ємними степенями:
- Якщо ряд Лорана збігається, то його внутрішність області збіжності є кільцем:
- У своєму кільці збіжності
ряд Лорана збігається абсолютно.
- Функція f(z) в певній точці допускає єдиний розклад у ряд Лорана (якщо такий розклад існує).
Теорема Лорана
Функція f(z) і аналітична в скінченому кільці в довільній точці цього кільця допускає розклад у збіжний ряд Лорана.
Ряд Лорана є зручним інструментом для оцінки поведінки функції в околі ізольованої особливої точки. Залежно від головної частини ряду, особливу точку визначають як:
- усувна особлива точка, якщо головна частина не містить ненульових членів;
- простий полюс, якщо головна частина має скінчену кількість членів;
- істотно особлива точка, якщо головна частина має нескінчену кількість членів.
Приклади
Знайти розклад в ряд Лорана в точці функції
Спочатку відзначимо
Далі,
Останній дріб може бути розкладений у геометричну прогресію відносно ,
Множимо прогресію на -i/2, і ділимо обидві частини на z - i:
Як другий приклад можна розкласти в ряд Лорана квадрат вищерозглянутої функції
Для цього необхідно піднести до квадрата отриману для попереднього прикладу прогресію. Зазвичай, піднесення до степеня нескінченної прогресії є складною операцією. Однак для обчислення перших членів ряду Лорана, нам достатньо перемножити між собою перші
членів вихідної прогресії:
Примітки
- Двостророннім називають степеневий ряд, що містить доданки як додатнього, так і від'ємного степеня.
Ця стаття не містить . (лютий 2020) |
Джерела
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ryad Lorana dvostoronnijstepenevij ryad u yakij rozkladayetsya kompleksna funkciya f z Ryadi Lorana zastosovuyut dlya doslidzhennya kompleksnoyi funkciyi u tih vipadkah koli rozklad u ryad Tejlora ne mozhe buti zastosovanij Yih nazvano na chest P yera Alfonsa Lorana yakij upershe opublikuvav svoyi doslidzhennya cih ryadiv 1843 roku Karl Vejyershtrass mozhlivo zastosovuvav taki ryadi she u 1841 roci ale ne opublikuvav svoyih rezultativ Rozklad v ryad Lorana mozhlivij u deyakomu skinchenomu kilci z centrom v tochci c Shlyah integruvannya g obirayetsya z kilcya i vid viboru togo chi inshogo shlyahu integruvannya u fiksovanomu kilci koeficiyenti rozkladu ne zminyuyutsya Dlya kompleksnoyi funkciyi f z analitichnoyi u skinchenomu kilci z centrom u tochci c u dovilnij tochci kilcya vikonuyetsya rivnist f z n an z c n displaystyle f z sum n infty infty a n z c n de chleni ryadu an viznachayutsya za formuloyu an 12pi gf z dz z c n 1 displaystyle a n frac 1 2 pi i oint gamma frac f z dz z c n 1 Shlyah integruvannya g ye dovilnim zamknenim sho lezhit u kilci i mistit tochku s VlastivostiGolovnoyu chastinoyu ryadu Lorana nazivayutsya chleni z vid yemnimi stepenyami n 1 a n z a n displaystyle sum n 1 infty a n z a n dd Pravilnoyu chastinoyu Tejlorivskoyu chastinoyu ryadu Lorana nazivayutsya chleni z nevid yemnimi stepenyami n 0 an z a n displaystyle sum n 0 infty a n z a n dd Yaksho ryad Lorana zbigayetsya to jogo vnutrishnist oblasti zbizhnosti ye kilcem D z C r lt z a lt R lt displaystyle D z in mathbb C r lt z a lt R lt infty dd U svoyemu kilci zbizhnosti D displaystyle D ryad Lorana zbigayetsya absolyutno Funkciya f z v pevnij tochci dopuskaye yedinij rozklad u ryad Lorana yaksho takij rozklad isnuye Teorema LoranaFunkciya f z i analitichna v skinchenomu kilci D z C r lt z a lt R lt displaystyle D z in mathbb C r lt z a lt R lt infty v dovilnij tochci cogo kilcya dopuskaye rozklad u zbizhnij ryad Lorana Ryad Lorana ye zruchnim instrumentom dlya ocinki povedinki funkciyi v okoli izolovanoyi osoblivoyi tochki Zalezhno vid golovnoyi chastini ryadu osoblivu tochku viznachayut yak usuvna osobliva tochka yaksho golovna chastina ne mistit nenulovih chleniv prostij polyus yaksho golovna chastina maye skinchenu kilkist chleniv istotno osobliva tochka yaksho golovna chastina maye neskinchenu kilkist chleniv PrikladiZnajti rozklad v ryad Lorana v tochci z i displaystyle z i funkciyi 1z2 1 displaystyle frac 1 z 2 1 Spochatku vidznachimo 1z2 1 1 z i z i displaystyle frac 1 z 2 1 frac 1 z i z i Dali 1z i 12i z i i211 i2 z i displaystyle frac 1 z i frac 1 2i z i frac i 2 frac 1 1 frac i 2 z i Ostannij drib mozhe buti rozkladenij u geometrichnu progresiyu vidnosno z i displaystyle z i 11 i2 z i 1 i2 z i i2 z i 2 i2 z i 3 displaystyle frac 1 1 frac i 2 z i 1 frac i 2 z i left frac i 2 z i right 2 left frac i 2 z i right 3 cdots Mnozhimo progresiyu na i 2 i dilimo obidvi chastini na z i 1z2 1 i2 1z i i2 2 i2 3 z i i2 4 z i 2 displaystyle frac 1 z 2 1 left frac i 2 right frac 1 z i left frac i 2 right 2 left frac i 2 right 3 z i left frac i 2 right 4 z i 2 cdots Yak drugij priklad mozhna rozklasti v ryad Lorana kvadrat visherozglyanutoyi funkciyi 1 z2 1 2 displaystyle frac 1 z 2 1 2 Dlya cogo neobhidno pidnesti do kvadrata otrimanu dlya poperednogo prikladu progresiyu Zazvichaj pidnesennya do stepenya neskinchennoyi progresiyi ye skladnoyu operaciyeyu Odnak dlya obchislennya pershih n displaystyle n chleniv ryadu Lorana nam dostatno peremnozhiti mizh soboyu pershi n displaystyle n chleniv vihidnoyi progresiyi 14 z i 2 i4 z i 316 displaystyle frac 1 4 z i 2 frac i 4 z i frac 3 16 cdots PrimitkiDvostroronnim nazivayut stepenevij ryad sho mistit dodanki yak dodatnogo tak i vid yemnogo stepenya Cya stattya ne mistit posilan na dzherela Vi mozhete dopomogti polipshiti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno lyutij 2020 Dzherela