Геометрична прогресія

Геометрична прогресія — послідовність чисел, перший член якої не дорівнює нулю, а відношення будь-якого елемента послідовності до попереднього є сталим числом, що називається знаменником прогресії. Якщо знаменник прогресії дорівнює 1 (одиниці), то прогресія вважається стаціонарною. Знаменник геометричної прогресії не може дорівнювати 0 (нулю). Якщо модуль знаменника прогресії більше одиниці — прогресія зростаюча, якщо він менше одиниці — прогресія спадна. У випадку коли знаменник прогресії менше нуля — прогресія знакозмінна.

Приклади:

• послідовність степенів 2 є геометричною прогресією: 2, 4, 8, 16, 32, ….
• геометрична прогресія із першим елементом 3, та знаменником −2: 3, −6, 12, −24, 48, ….

Значення n-ного члена

Позначимо перший член ${\displaystyle a_{1},}$ а знаменник прогресії ${\displaystyle r}$. Тоді другий член ${\displaystyle a_{2}=a_{1}\cdot r}$, третій — ${\displaystyle a_{3}=a_{2}\cdot r=a_{1}\cdot r^{2}}$, четвертий — ${\displaystyle a_{4}=a_{3}\cdot r=a_{1}\cdot r^{3}}$, і так далі.

Тому вираз n-ного члена буде: ${\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot r^{n-1}}$

Сума

Знайдемо суму перших ${\displaystyle n}$ членів геометричної прогресії

${\displaystyle S_{n}=a(r^{0}+r^{1}+r^{2}+r^{3}+...+r^{n-1})\,}$

Помножимо та поділимо праву частину на ${\displaystyle (r-1)\,}$ (${\displaystyle r}$ не може бути 1), добуток ${\displaystyle (1+r+r^{2}+r^{3}+...+r^{n-1})\,}$ на ${\displaystyle (r-1)\,}$ дає ${\displaystyle (r^{n}-1)\,}$, оскільки решта елементів взаємно знищуються, звідси отримаємо:

${\displaystyle S_{n}=a\sum _{k=0}^{n-1}r^{k}=a{\frac {r^{n}-1}{r-1}}}$

Якщо ${\displaystyle \left|r\right|<1}$ і ${\displaystyle n\to \infty }$ то ${\displaystyle r^{n}\to 0}$, тоді: ${\displaystyle S_{n}\to {a \over 1-r}}$

Практичне застосування

Формула для суми геометричної прогресії також зручна для обрахунку відсотків по банківських вкладах. Припустимо, Ви кладете $2,000 в банк під 5 % річних. Скільки грошей Ви матимете на рахунку через 6 років?

2,000 · 1.05⁶ = 2680.19

Геометрична прогресія лежить на основі побудови рядів переважних чисел.

Див. також

• Регресія (статистика)
• Арифметична прогресія
• Ефект снігової кулі

Посилання на сторонні джерела

• Елементарна математика. Алгебра. Новітні інформаційні технології навчання (Maple)/ В.М.Михалевич, А.Ф. Дода ; Вінниц. нац. техн. ун-. - Вінниця : ВНТУ, 2010 [ 7 червня 2013 у Wayback Machine.]

Джерела

• , Справочник по математике для научных работников и инженеров. — Москва : Наука, 1973. — 832 с.(рос.)