Кільце (геометрія)

Кільце (англ. annulus) у геометрії — ділянка на площині, обмежена двома концентричними колами.

Кільце

Відкрите кільце — топологічний еквівалент до відкритого циліндра циліндра S¹ × (0,1) і до .

Площа кільця — різниця між площами двох кругів: більшого з радіусом R і меншого з радіусом r:

${\displaystyle A=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi (R^{2}-r^{2})\,.}$

Площу кільця можна отримати з довжини найдовшого інтервалу, який повністю лежить всередині кільця, 2*d у супровідному домені. Це можна довести за допомогою теореми Піфагора; інтервал найбільшої довжини, що повністю лежить у кільці, буде дотичним до меншого кола й утворюватиме прямий кут із його радіусом у точці дотику. Отже, d і r є сторонами прямокутного трикутника з гіпотенузою R і площа задана як:

${\displaystyle A=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)=\pi d^{2}\,.}$

Площу також можна отримати за допомогою обчислення, ділячи кільце на нескінченну кількість кілець нескінченно малої ширини dρ і площі 2πρ dρ, і тоді інтегрувати від ρ = r до ρ = R:

${\displaystyle A=\int _{r}^{R}2\pi \rho \,d\rho =\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).}$

Площа сектора кільця кута θ, з θ заданим у радіанах, задається:

${\displaystyle A={\frac {\theta }{2}}\left(R^{2}-r^{2}\right)}$

Комплексна структура

У комплексному аналізі кільце ann(a; r, R) на комплексній площині — це відкрита множина, визначена нерівністю:

${\displaystyle r<|z-a|<R.\,}$

Якщо r = 0, то така область відома як проколотий диск радіуса R навколо точки a.

Як підмножину комплексної площини, кільце можна розглядати як Ріманову поверхню. Комплексна структура кільця залежить лише від співвідношення r/R. Кожне кільце ann(a; r, R) можна голоморфно відобразити на стандартне кільце із центром у початку координат і зовнішнім радіусом 1 за допомогою підстановки

${\displaystyle z\mapsto {\frac {z-a}{R}}.}$

Тоді внутрішній радіус буде r/R < 1.

Див. також

• Теорема Адамара про три кола — твердження щодо максимального значення голоморфної функції на кільці.
• Тор (геометрія)

Посилання

• Annulus definition and properties [ 18 грудня 2008 у Wayback Machine.] З інтерактивною анімацією
• Area of an annulus, formula [ 18 грудня 2008 у Wayback Machine.] З інтерактивною анімацією