Теореми Руше — твердження в комплексному аналізі згідно з яким, якщо функції і голоморфні в однозв'язній області , а на контурі також виконується строга нерівність , то в області функції і мають однакову кількість нулів з урахуванням кратності.
Доведення
З нерівності випливає, що функції не мають нулів на Поділивши на одержуємо нерівність де
Звідси бачимо, що образ контуру щодо відображення лежить всередині відкритого круга радіуса 1 з центром в точці Оскільки 0 не належить цьому кругу, то функція буде голоморфною в цьому кругу і, відповідно, на контурі і в обмеженій ним області. Тоді згідно з інтегральною теоремою Коші:
Оскільки то звідси
З формули похідної від частки можна одержати:
Підставляючи цей вираз в (*) одержуємо:
або
Оскільки згідно з умовою функції f, g є голоморфними і не мають полюсів, то з принципом аргументу випливає, що кількість нулів для цих функцій в області G має бути однаковою.
Див. також
Література
- Дьедонне Ж. Основы современного анализа, — М. Мир, 1964
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
- Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill,
- Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc.,
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teoremi Rushe tverdzhennya v kompleksnomu analizi zgidno z yakim yaksho funkciyi f z displaystyle f z i g z displaystyle g z golomorfni v odnozv yaznij oblasti G displaystyle G a na konturi G displaystyle partial G takozh vikonuyetsya stroga nerivnist f z g z lt f z z G displaystyle f z g z lt f z forall z in partial G to v oblasti G displaystyle G funkciyi f displaystyle f i g displaystyle g mayut odnakovu kilkist nuliv z urahuvannyam kratnosti DovedennyaZ nerivnosti f z g z lt f z displaystyle f z g z lt f z viplivaye sho funkciyi f g displaystyle f g ne mayut nuliv na G displaystyle partial G Podilivshi g z f z f z g z displaystyle g z f z f z g z na f z displaystyle f z oderzhuyemo nerivnist F z 1 lt 1 z G displaystyle F z 1 lt 1 forall z in partial G de F z g z f z displaystyle F z frac g z f z Zvidsi bachimo sho obraz G displaystyle partial G konturu G displaystyle partial G shodo vidobrazhennya w F z displaystyle w F z lezhit vseredini vidkritogo kruga radiusa 1 z centrom v tochci w 1 displaystyle w 1 Oskilki 0 ne nalezhit comu krugu to funkciya 1 w displaystyle frac 1 w bude golomorfnoyu v comu krugu i vidpovidno na konturi G displaystyle partial G i v obmezhenij nim oblasti Todi zgidno z integralnoyu teoremoyu Koshi G 1 w d w 0 displaystyle oint partial G frac 1 w dw 0 Oskilki w F z d w F z d z displaystyle w F z dw F z dz to zvidsi G F z F z d z 0 displaystyle oint partial G frac F z F z dz 0 quad Z formuli pohidnoyi vid chastki mozhna oderzhati F z F z g z g z f z f z displaystyle frac F z F z frac g z g z frac f z f z Pidstavlyayuchi cej viraz v oderzhuyemo G g z g z f z f z d z 0 displaystyle oint partial G Bigg frac g z g z frac f z f z Bigg dz 0 abo G f z f z d z G g z g z d z displaystyle oint partial G frac f z f z dz oint partial G frac g z g z dz quad Oskilki zgidno z umovoyu funkciyi f g ye golomorfnimi i ne mayut polyusiv to z principom argumentu viplivaye sho kilkist nuliv dlya cih funkcij v oblasti G maye buti odnakovoyu Div takozhIntegralna teorema Koshi Osnovna teorema pro lishki Princip argumentu Princip zberezhennya oblastiLiteraturaDedonne Zh Osnovy sovremennogo analiza M Mir 1964 Shabat B V Vvedenie v kompleksnyj analiz M Nauka 1969 577 str Rudin Walter Real and Complex Analysis McGraw Hill ISBN 978 0070542341 Zill Dennis G Shanahan Patrick D A first course in complex analysis with applications Jones and Bartlett Publishers Inc ISBN 0763714372