Принцип аргументу

Принцип аргументу — теорема в комплексному аналізі, важливий наслідок основної теореми про лишки.

Твердження

Нехай C — простий замкнутий контур. Нехай функція f мероморфна в області обмеженій і не має на C ні нулів ні полюсів. Тоді справедлива формула:

${\displaystyle \oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi i(N-P)}$

де ${\displaystyle N}$ і ${\displaystyle P}$ — кількість нулів і полюсів функції ${\displaystyle f}$ в області обмеженій ${\displaystyle C}$, з врахуванням кратності.

Доведення

Якщо точка ${\displaystyle z_{0}}$ є нулем порядку n функції ${\displaystyle f}$ тоді можна записати ${\displaystyle f(z)=(z-z_{0})^{n}\phi (z)}$, і функція ${\displaystyle \phi }$ є голоморфною в точці ${\displaystyle z_{0}}$ і не дорівнює в ній нулю. Продиференціювавши одержимо

${\displaystyle f'(z)=(z-z_{0})^{n}\phi '(z)+n(z-z_{0})^{n-1}\phi (z)}$

Поділивши на f одержуємо:

${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={\frac {(z-z_{0})^{n}\phi '(z)+n(z-z_{0})^{n-1}\phi (z)}{(z-z_{0})^{n}\phi (z)}}={\frac {\phi '(z)}{\phi (z)}}+{\frac {n}{z-z_{0}}}}$.

Отже ${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}}$ має простий полюс в точці ${\displaystyle z_{0}}$ і лишок в цій точці рівний:

${\displaystyle Res\left({f'(z) \over f(z)},z_{0}\right)=\lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})\left[{\frac {\phi '(z)}{\phi (z)}}+{\frac {n}{z-z_{0}}}\right]=\lim _{z\to z_{0}}\left[(z-z_{0}){\frac {\phi '(z)}{\phi (z)}}+n\right]=0+n=n,}$

що рівно порядку нуля.

Якщо точка ${\displaystyle z_{p}}$ є полюсом порядку m, то ${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{(z-z_{p})^{m}}}}$ де функція ${\displaystyle g(z)}$ є голоморфною в точці ${\displaystyle z_{p}}$ і не дорівнює в ній нулю.

Подібними до попередніх розрахунків одержимо, що:

${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={\frac {g'(z)}{g(z)}}+{\frac {-m}{z-z_{p}}}}$

і лишок в цій точці буде рівним ${\displaystyle -m.}$

Нехай тепер ${\displaystyle z_{0}^{1},\ldots ,z_{0}^{r}}$ — нулі функції f порядків ${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{r}}$ і ${\displaystyle z_{p}^{1},\ldots ,z_{p}^{s}}$ — полюси функції f порядків ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{s}.}$ Згідно з попереднім усі ці точки є простими полюсами функції ${\displaystyle {f'(z) \over f(z)},}$ лишки в яких рівні відповідно ${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{r}}$ і ${\displaystyle -m_{1},\ldots ,-m_{s}.}$ Згідно з основною теоремою про лишки звідси одержується:

${\displaystyle \oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi i(N-P)}$

Див. також

• Основна теорема про лишки
• Теорема Руше
• Теорема Гурвіца (комплексний аналіз)

Література

• Дьедонне Ж. Основы современного анализа, — М. Мир, 1964
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
• Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill,
• Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc.,