Інтегральна теорема Коші

Інтегра́льна теоре́ма Коші́ (також теорема Коші — Гурса) — одна з основних теорем комплексного аналізу. Перші варіанти теореми сформулював та довів Оґюстен-Луї Коші у 1825 році, при слабших вимогах теорему довів французький математик Едуард Гурса у 1883 році.

Формулювання теореми у варіанті Коші

Нехай ${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\,}$ диференційовна в однозв’язній області ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ і її похідна неперервна в цій області (у будь-якій точці цієї області). Тоді інтеграл від ${\displaystyle f(z)\,}$ по будь-якій замкненій простій кривій ${\displaystyle \gamma \,}$, яка лежить в області ${\displaystyle D\,}$, дорівнює нулю:

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)dz=0\,}$

Доведення

Згідно з властивістю інтегралу:

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)dz=\int _{\gamma }udx-vdy+i\int _{\gamma }udy+vdx\,}$

Оскільки ${\displaystyle f(z)}$ має неперервну похідну першого порядку в області ${\displaystyle D}$, то частинні похідні від U та V також є неперервними в області ${\displaystyle D.}$

Згідно теореми Гріна тоді інтеграли по контуру можна замінити на інтеграли по області (позначимо її R), яку обмежує цей контур, а саме:

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)dz=\int _{\gamma }udx-vdy+i\int _{\gamma }udy+vdx=\iint \limits _{R}\left(-{\partial v \over \partial x}-{\partial u \over \partial y}\right)dA+i\iint \limits _{R}\left({\partial u \over \partial x}-{\partial v \over \partial y}\right)dA.}$

Оскільки ${\displaystyle f(z)}$ є голоморфною функцією, то виконуються умова Коші-Рімана:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}$ і

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.}$

Із цих рівностей випливає рівність нулю двох інтегралів у правій частині інтегральної рівності, а тому також ${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)dz=0.}$

Варіант теореми Коші — Гурса для трикутників

Якщо функція f є голоморфною в області ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$, то інтеграл від f no орієнтованій границі будь-якого трикутника ${\displaystyle \Delta \subset D}$ є рівним 0:

${\displaystyle \int _{\partial \Delta }f(z)dz=0.}$

У даному варіанті не вимагається неперервність похідної у області.

Доведення

Нехай твердження теореми не виконується і існує трикутник ${\displaystyle \Delta \subset D}$ такий, що

${\displaystyle \left|\int _{\partial \Delta }f(z)dz\right|=M>0.}$

Припустимо, що границя ${\displaystyle \partial \Delta ,}$ яка є кусково гладкою кривою) є орієнтована проти годинникової стрілки.

Розіб'ємо трикутник ${\displaystyle \Delta }$ на чотири трикутники середніми лініями і введемо на границях цих трикутників орієнтацію проти годинникової стрілки.

Очевидно, що інтеграл від f по ${\displaystyle \partial \Delta }$ дорівнює сумі інтегралів по границях малих трикутників, бо інтеграли по середніх лініях беруться двічі в протилежних напрямках і тому взаємно скорочуються, а інші границі утворюють ${\displaystyle \partial \Delta }$ із відповідною орієнтацією. Тому знайдеться хоча б один малий трикутник ${\displaystyle \Delta _{1}}$ для якого

${\displaystyle \left|\int _{\partial \Delta _{1}}f(z)dz\right|\geqslant {M \over 4}.}$

Трикутник ${\displaystyle \Delta _{1}}$ знову можна розбити середніми лініями на чотири трикутника і, як і вище, серед них є хоча б один ${\displaystyle \Delta _{2}}$ такий, що

${\displaystyle \left|\int _{\partial \Delta _{2}}f(z)dz\right|\geqslant {M \over 4^{2}}.}$

За індукцією побудуємо послідовність вкладених один в одного трикутників таких, що для інтеграла по границі ${\displaystyle n}$-го трикутника виконується нерівність:

${\displaystyle \left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz\right|\geqslant {M \over 4^{n}}.}$

Послідовність вкладених трикутників ${\displaystyle \Delta _{n}}$ має спільну точку ${\displaystyle z_{0}.}$ Очевидно ${\displaystyle z_{0}\in \Delta \subset D}$ і функція f є голоморфною в точці ${\displaystyle z_{0}.}$ Тому з означення комплексної похідної для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ знайдеться ${\displaystyle \delta >0}$ таке, що для всіх точок околу ${\displaystyle V=\{|z-z_{0}|<\delta \}}$ у рівності

${\displaystyle f(z)-f(z_{0})=f'(z_{0})(z-z_{0})+g(z)(z-z_{0})}$

для функції g виконується нерівність ${\displaystyle |g(z)|<\varepsilon .}$

Усі трикутники побудованої послідовності починаючи з деякого ${\displaystyle \Delta _{n}}$ належать околу V. Тому

${\displaystyle \int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz=\int _{\partial \Delta _{n}}f(z_{0})dz+\int _{\partial \Delta _{n}}f'(z_{0})(z-z_{0})dz+\int _{\partial \Delta _{n}}g(z)(z-z_{0})dz.}$

Але перші два інтеграли справа є рівними нулю оскільки множники ${\displaystyle f(z_{0})}$ і ${\displaystyle f'(z_{0})}$ можна винести за знак інтеграла, а інтеграли від 1 і ${\displaystyle z-z_{0}}$ по замкнутому контуру ${\displaystyle \partial \Delta _{n}}$ є рівними 0.

Оскільки ${\displaystyle |g(z)|<\varepsilon }$ для всіх ${\displaystyle z\in \partial \Delta _{n}}$ і також для всіх ${\displaystyle z\in \partial \Delta _{n}}$ величина ${\displaystyle z-z_{0}}$ не перевищує периметра ${\displaystyle P(\Delta _{n})}$ трикутника ${\displaystyle \Delta _{n},}$ то

${\displaystyle \left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz\right|=\left|\int _{\partial \Delta _{n}}g(z)(z-z_{0})dz\right|<\varepsilon (P(\Delta _{n}))^{2}.}$

Але за побудовою ${\displaystyle P(\Delta _{n})={P(\Delta ) \over 2^{n}},}$ де ${\displaystyle P(\Delta )}$ позначає периметр трикутника ${\displaystyle \Delta ,}$ тож також

${\displaystyle \left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz\right|<\varepsilon {(P(\Delta ))^{2} \over 4^{n}}}$

і враховуючи, що ${\displaystyle \left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz\right|\geqslant {M \over 4^{n}}}$ остаточно

${\displaystyle M<\varepsilon (P(\Delta ))^{2}.}$

Із довільності числа ${\displaystyle \varepsilon }$ випливає, що M = 0 всупереч припущенню.

Узагальнення для довільних ламаних ліній

Нехай тепер ${\displaystyle a_{0},\ldots a_{m}\in D}$ є точками у області ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ на якій функція є голоморфною і замкнута опукла оболонка цих точок є підмножиною ${\displaystyle D.}$ Позначимо ${\displaystyle L_{a_{0},\ldots ,a_{m}}}$ орієнтовану замкнуту ламану лінію (можливо із самоперетинами) одержану із відрізків, що сполучають точки ${\displaystyle a_{i}}$ і ${\displaystyle a_{i+1}}$ (із відповідним напрямком) і відрізку із точки ${\displaystyle a_{m}}$ до точки ${\displaystyle a_{0}.}$ Тоді:

${\displaystyle \int _{L_{a_{0},\ldots ,a_{m}}}f(z)dz=0.}$

Для ${\displaystyle m=0}$ (коли ламана лінія є точкою) і ${\displaystyle m=1}$ (коли ламана лінія є відрізком, який проходиться спершу в одному напрямку, а потім в протилежному) твердження є очевидним. Випадок ${\displaystyle m=2}$ є випадком трикутників, який доведений вище. Нехай тепер ${\displaystyle m>2}$ і припустимо за індукцією, що твердження доведено для всіх ламаних ліній для ${\displaystyle m-1.}$ Тоді можна записати:

${\displaystyle \int _{L_{a_{0},\ldots ,a_{m}}}f(z)dz=\int _{L_{a_{0},\ldots ,a_{m-1}}}f(z)+\int _{L_{a_{m-1},a_{m},a_{0}}}f(z)}$

оскільки відрізок, що з'єднує точки ${\displaystyle a_{0}}$ і ${\displaystyle a_{m-1}}$ у двох інтегралах з правої сторони проходять у різних напрямках і відповідні значення інтегралів скорочуються, а всі інші відрізки у лівій і правій стороні є однаковими із врахуванням напрямку. Але згідно припущення індукції обидва інтеграли з правої сторони є рівними нулю, що й доводить твердження.

Первісна і теорема Коші — Гурса у крузі

Якщо ${\displaystyle D(z_{0},r)}$ є відкритим кругом із центром у точці ${\displaystyle z_{0}}$ і радіусом ${\displaystyle r}$ і функція f є голоморфною в цьому крузі, то можна ввести функцію ${\displaystyle F(z)=\int _{[z_{0},z]}f(\xi )d\xi .}$ Із теореми Коші — Гурса для трикутників легко можна довести, що ${\displaystyle F(z)}$ є первісною для ${\displaystyle f(z),}$ тобто ${\displaystyle F'(z)=f(z).}$

Також із твердження теореми для ламаних ліній випливає, що для будь-яких точок ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in D(z_{0},r)}$ і спрямлюваної кривої ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to D(z_{0},r)}$ для якої ${\displaystyle \gamma (0)=z_{1},\ \gamma (1)=z_{2}}$ виконується рівність ${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)dz=F(z_{2})-F(z_{1})}$.

Зокрема, якщо ${\displaystyle \gamma _{1}:[0,1]\to D(z_{0},r)}$ і ${\displaystyle \gamma _{2}:[0,1]\to D(z_{0},r)}$ є спрямлюваними кривими із однаковими початковими і кінцевими точками то:

${\displaystyle \int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{2}}f(z)\ dz.}$

Це твердження є варіантом загальної теореми Коші — Гурса для круга.

Теорема Коші — Гурса для гомотопних шляхів і контурів

Нехай функція f є голоморфною у області U і ${\displaystyle \gamma _{0}:[a,b]\rightarrow U}$ і ${\displaystyle \gamma _{1}:[a,b]\rightarrow U}$ є гомотопними (із гомотопією, що фіксує кінцеві точки) і спрямлюваними у U. Тоді:

${\displaystyle \int _{\gamma _{0}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz.}$

Доведення

Нехай ${\displaystyle \gamma :[0,1]\times [a,b]\rightarrow U}$ є гомотопією із ${\displaystyle \gamma _{0}}$ у ${\displaystyle \gamma _{1}}$. Для будь-яких ${\displaystyle s\in [0,1]}$ і ${\displaystyle t\in [a,b]}$ точка ${\displaystyle \gamma (s,t)}$ належить ${\displaystyle U}$. Із компактності випливає існування радіуса ${\displaystyle r>0}$ для якого ${\displaystyle D(\gamma (s,t),r)\subset U}$ для всіх ${\displaystyle s\in [0,1]}$ і ${\displaystyle t\in [a,b]}$. Оскільки відображення ${\displaystyle \gamma }$ є неперервним на компактній множині то воно є рівномірно неперервним. Зокрема існує ${\displaystyle \delta >0}$ для якого

${\displaystyle |\gamma (s',t')-\gamma (s,t)|\leqslant {\frac {r}{4}}}$

для всіх ${\displaystyle s,s'\in [0,1]}$ і ${\displaystyle t,t'\in [a,b]}$ для яких ${\displaystyle |s-s'|\leqslant \delta }$ і ${\displaystyle |t-t'|\leqslant \delta }$. Нехай ${\displaystyle 0=s_{0}<\dots <s_{n}=1}$ і ${\displaystyle a=t_{0}<\dots <t_{m}=b}$ є розбиттями відповідних відрізків для яких ${\displaystyle {|s_{i}-s_{i-1}|\leqslant \delta }}$ і ${\displaystyle {|t_{j}-t_{j-1}|\leqslant \delta }}$ для всіх ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant n}$ і ${\displaystyle 1\leqslant j\leqslant m}$. Для кожного ${\displaystyle i}$ і ${\displaystyle j}$ позначимо ${\displaystyle C_{i,j}}$ замкнутий контур із точок

${\displaystyle C_{i,j}:=\gamma _{\gamma (s_{i},t_{j-1})\rightarrow \gamma (s_{i},t_{j})\rightarrow \gamma (s_{i-1},t_{j})\rightarrow \gamma (s_{i-1},t_{j-1})\rightarrow \gamma (s_{i},t_{j-1})}.}$

За побудовою довжина цього контура є меншою, ніж ${\displaystyle {\frac {r}{4}}+{\frac {r}{4}}+{\frac {r}{4}}+{\frac {r}{4}}=r,}$ тож контур цілком міститься у крузі ${\displaystyle D(\gamma (s_{i},t_{i}),r).}$

Тому із попереднього

${\displaystyle \int _{C_{i,j}}f(z)\ dz=0}$

для всіх ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant n}$ і ${\displaystyle 1\leqslant j\leqslant m}$. Просумувавши ці рівності для всіх ${\displaystyle i}$ і ${\displaystyle j}$, враховуючи фіксацію кінцевих точок при гомотопії і здійснивши всі скорочення одержуємо, що

${\displaystyle \int _{\gamma _{\gamma (0,t_{0})\rightarrow \gamma (0,t_{1})\rightarrow \dots \rightarrow \gamma (0,t_{n})}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{\gamma (1,t_{0})\rightarrow \gamma (1,t_{1})\rightarrow \dots \rightarrow \gamma (1,t_{n})}}f(z)\ dz}$

Далі можна записати рівність

${\displaystyle \int _{\gamma _{\gamma (0,t_{i-1})\rightarrow \gamma (0,t_{i})}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{0,[t_{i-1},t_{i}]}}f(z)\ dz}$

для ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$, де ${\displaystyle \gamma _{0,[t_{i-1},t_{i}]}:[t_{i-1},t_{i}]\rightarrow U}$ є обмеженням ${\displaystyle \gamma _{0}:[a,b]\rightarrow U}$ на ${\displaystyle [t_{i-1},t_{i}]}$ і так само для ${\displaystyle \gamma _{1}}$. Дана рівність випливає із теореми Коші — Гурса для кругів, оскільки і відрізок, що сполучає точки ${\displaystyle \gamma (0,t_{i-1})}$ і ${\displaystyle \gamma (0,t_{i})}$ і крива ${\displaystyle \gamma _{0,[t_{i-1},t_{i}]}}$ за побудовою належать кругу ${\displaystyle D(\gamma (s_{0},t_{i}),r).}$

Разом із цього отримуємо

${\displaystyle \int _{\gamma _{0}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz.}$

Твердження для гомотопних контурів

Із попереднього твердження випливає, зокрема, що якщо ${\displaystyle \gamma }$ є стягуваним замкнутим спрямлюваним контуром у U то

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\ dz=0.}$

Дане твердження є наслідком того факту, що гомотопія із замкнутого контура ${\displaystyle \gamma =\gamma _{0}:[a,b]\rightarrow U}$ на точку може завжди бути вибрана так, що вказаною точкою є точка ${\displaystyle z_{0}=\gamma (a)=\gamma (b)}$ і гомотопія є гомотопією, що фіксує кінцеві точки, тобто ${\displaystyle \gamma _{t}(a)=\gamma _{t}(b)=z_{0}}$ і ${\displaystyle \gamma _{1}(s)=z_{0}}$ для всіх ${\displaystyle t\in [a,b]}$ і всіх ${\displaystyle s\in [a,b].}$ Тоді оскільки інтеграл по контуру виродженому у точку ${\displaystyle z_{0}}$ є рівним нулю, то і інтеграл по контуру кінцевими точками якого є ${\displaystyle z_{0}}$ і який є стягуваним до ${\displaystyle z_{0}}$ за допомогою гомотопії, що фіксує кінцеві точки є рівним нулю.

Більш загально, якщо ${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1}:[a,b]\rightarrow U}$ є замкнутими спрямлюваними контурами, що є гомотопними, як замкнуті контури (тобто при гомотопії усі проміжні криві ${\displaystyle \gamma _{t}}$ теж є замкнутими контурами), то також

${\displaystyle \int _{\gamma _{0}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz.}$

Узагальнення для довільних неперервних шляхів

Подані вище варіанти теореми дозволяють ввести поняття комплексного інтегралу для довільних неперервних шляхів ${\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow U}$ (не обов'язково спрямлюваних). Для такого шляху із його компактності випливає існування такого розбиття ${\displaystyle a=t_{0}<\dots <t_{m}=b}$, що всі відрізки виду ${\displaystyle [\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i+1})]}$ належать ${\displaystyle U}$. Тоді можна розглянути ${\displaystyle {\bar {\gamma }}:[a,b]\rightarrow U}$ — ламану лінію із цих відрізків із необхідною параметризацією. Очевидно ${\displaystyle {\bar {\gamma }}}$ є спрямлюваною кривою.

Тоді можна взяти за означенням ${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\ dz:=\int _{\bar {\gamma }}f(z)\ dz.}$ Із теореми Коші — Гурса випливає незалежність значення інтегралу від вибору ламаної лінії ${\displaystyle {\bar {\gamma }}}$.

Якщо тепер ${\displaystyle \gamma _{0}:[a,b]\rightarrow U}$ і ${\displaystyle \gamma _{1}:[a,b]\rightarrow U}$ є гомотопними (із гомотопією, що фіксує кінцеві точки) і неперервними, то із таким означенням інтегралу:

${\displaystyle \int _{\gamma _{0}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz.}$

Гомологічне формулювання теореми

Нехай ${\displaystyle U}$ є областю і ${\displaystyle \gamma _{i}}$ є замкнутими контурами, що належать ${\displaystyle U}$. Циклом називається формальна лінійна комбінація:

${\displaystyle \Gamma =n_{1}\gamma _{1}+n_{2}\gamma _{2}+\ldots +n_{r}\gamma _{r}}$

коефіцієнти якої ${\displaystyle n_{i}}$ є цілими числами. Множина усіх таких лінійних комбінацій для всіх можливих замкнутих контурів у ${\displaystyle U}$ із очевидною операцією додавання утворює абелеву групу.

На множині циклів можна ввести операцію інтегрування. А саме, якщо функція ${\displaystyle f}$ є визначена на всіх контурах ${\displaystyle \gamma _{i}}$, що входять у цикл ${\displaystyle \Gamma =n_{1}\gamma _{1}+n_{2}\gamma _{2}+\ldots +n_{r}\gamma _{r}}$ то за означенням:

${\displaystyle \int _{\Gamma }f(z)\ dz=n_{1}\int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz+\ldots +n_{r}\int _{\gamma _{r}}f(z)\ dz.}$

Для довільної точки ${\displaystyle z_{0},}$ що не лежить на контурі ${\displaystyle \gamma }$ можна ввести індекс контуру відносно точки, як

${\displaystyle I(\gamma ,z_{0})={1 \over 2\pi i}\int _{\gamma }{1 \over z-z_{0}}dz.}$

Цей індекс завжди є цілим числом. Аналогічно як для інтеграла можна ввести індекс цикла відносно точки, що не належить жодному із контурів, що входять у цикл:

${\displaystyle I(\Gamma ,z_{0})={1 \over 2\pi i}\sum _{i=1}^{r}\int _{\gamma _{i}}{1 \over z-z_{0}}dz.}$

Нехай функція ${\displaystyle f}$ є голоморфною на області ${\displaystyle U}$. Згідно гомологічного варіанту теореми Коші, якщо для деякого цикла ${\displaystyle \Gamma }$ і кожної точки ${\displaystyle z_{0},}$ що не належить ${\displaystyle U}$ виконується рівність ${\displaystyle I(\Gamma ,z_{0})=0,}$ то також ${\displaystyle \int _{\Gamma }f(z)\ dz=0.}$

Наслідки

За допомогою теореми Коші доводиться справедливість інтегральної формули Коші та основної теореми про лишки.

Див. також

• Теорема Морери
• Теорема Монтеля
• Інтегральна формула Коші
• Лишок
• Список об'єктів, названих на честь Оґюстена-Луї Коші

Посилання

• Terry Tao. Math 246A, Notes 3: Cauchy’s theorem and its consequences [ 10 лютого 2021 у Wayback Machine.]

Джерела

• Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — Москва: Наука, 1969. — 577 с.