Інтегральна формула Коші

Інтегра́льна фо́рмула Коші́ — одна з головних формул комплексного аналізу, виведена Оґюстеном-Луї Коші. Вона дозволяє виразити значення регулярної функції в будь-якій точці через значення функції на межі цієї області. Використовується для доведення еквівалентності понять голоморфності (дифереційовності в околі) та аналітичності, а також при обчисленні у комплексній площині.

Теорема

Нехай функція ${\displaystyle f(z)\,}$ диференційовна в області ${\displaystyle D\,}$. Якщо скінченна область ${\displaystyle G\,}$ разом зі своєю межею ${\displaystyle C=\partial G\,}$ належить області ${\displaystyle D\,}$, а ${\displaystyle \xi \in G\,}$, то

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f(z)dz}{z-\xi }}=2\pi if(\xi )}$.

Доведення

Підінтегральний вираз є відношенням двох диференційовних функцій, при цьому знаменник обертається в нуль лише при ${\displaystyle z=\xi }$. Тому функція ${\displaystyle \varphi (z)={\frac {f(z)dz}{z-\xi }}}$ диференційовна в усіх точках області ${\displaystyle D\,}$ за винятком точки ${\displaystyle z=\xi }$. Візьмемо ${\displaystyle \varrho >0}$ настільки малим, щоб круг ${\displaystyle |z-\xi |\leq \varrho }$ належав області ${\displaystyle G\,}$, і позначимо через ${\displaystyle D'\,}$ область ${\displaystyle D\,}$, з якої видалено точку ${\displaystyle \xi }$, а через ${\displaystyle G_{\rho }\,}$ область ${\displaystyle G\,}$, з якої видалено круг ${\displaystyle |z-\xi |\leq \varrho }$.

Функція ${\displaystyle \varphi (z)}$ диференційовна в області ${\displaystyle D'\,}$, і область ${\displaystyle G_{\rho }\,}$ лежить в області ${\displaystyle D'\,}$ разом зі своєю межею (позначимо її через ${\displaystyle C_{\rho }\,}$). Отже, за інтегральною теоремою Коші інтеграл по ${\displaystyle C_{\rho }\,}$ від ${\displaystyle f(z)\,}$ дорівнює нулю. Проте ${\displaystyle C_{\rho }\,}$ складається з С та кола ${\displaystyle \Gamma _{\varrho }:|z-\xi |=\varrho \,}$. Інтегрування відбувається проти годинникової стрілки, тому ${\displaystyle G_{\rho }\,}$ залишається зліва, а круг ${\displaystyle |z-\xi |<\varrho }$ — справа. Тому, змінивши напрямок інтегрування по колу на протилежне можна стверджувати:

${\displaystyle \oint _{C}\varphi (z)dz=\oint _{\Gamma _{\varrho }}\varphi (z)dz}$

Інтеграл зліва не залежить від ${\displaystyle \varrho }$. Тому при обчисленні інтеграла в правій частині значення ${\displaystyle \varrho }$ можна обирати довільно. Отже:

${\displaystyle \oint _{\Gamma _{\varrho }}\varphi (z)dz=\oint _{\Gamma _{\varrho }}{\frac {f(z)dz}{z-\xi }}=f(\xi )\oint _{\Gamma _{\varrho }}{\frac {dz}{z-\xi }}+\oint _{\Gamma _{\varrho }}{\frac {f(z)-f(\xi )}{z-\xi }}dz=f(\xi )I_{1}+I_{2}}$

Підінтегральний вираз в ${\displaystyle I_{2}}$ обмежений при ${\displaystyle z\to \xi }$: він прямує до ${\displaystyle f'(\xi )\,}$. Так як довжина ${\displaystyle \Gamma _{\varrho }}$ дорівнює ${\displaystyle 2\pi \varrho }$, а модуль інтеграла не більший за добуток максимума модуля підінтегральної функції на довжину шляху інтегрування, то ${\displaystyle I_{2}\to 0\quad (\varrho \to 0)}$. Інтеграл ${\displaystyle I_{1}}$ обчислюються при переході до параметричного запису рівняння кола ${\displaystyle \Gamma _{\varrho }:z=\xi +\varrho e^{i\theta },0\leq \theta \leq 2\pi }$:

${\displaystyle \oint _{\Gamma _{\varrho }}{\frac {dz}{z-\xi }}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {i\varrho e^{i\theta }d\theta }{\varrho e^{i\theta }}}=2\pi i}$

Отже,

${\displaystyle \oint _{C}\varphi (z)dz=2\pi if(\xi )+o(1)\qquad (\varrho \to 0)}$

Оскільки ліва частина рівності не залежить від ${\displaystyle \varrho }$, то теорему доведено.

Наслідки

Оскільки це центральна формула всього комплексного аналізу, то вона має декілька важливих наслідків:

• Поняття диференційовності та аналітичності еквівалентні;
• Якщо функція ${\displaystyle f(z)}$ має розвинення в ряд Тейлора або ряд Лорана в околі деякої точки ${\displaystyle z=a}$, то коефіційєнти ряду визначаються формулою:

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z-a|=r}{\frac {f(z)dz}{(z-a)^{n+1}}},}$

де r — довільне додатне дійсне число;

• Якщо функція ${\displaystyle f(z)}$ має похідні до n-ого порядку включно у точці ${\displaystyle z=a}$, то вони визначаються за формулою

${\displaystyle f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)dz}{(z-a)^{n+1}}}}$

Формулу легко довести, якщо прирівняти вирази для коефіцієнтів ряду Тейлора в інтегральній та диференціальній формах;

• Терема про середнє. Значення функції ${\displaystyle f(z)\,}$, що є голоморфною в області ${\displaystyle D\,}$ в кожній скінченній точці ${\displaystyle z_{0}\in D}$ дорівнює середньому арифметичному її значень на будь-якому досить малому колі з центром в точці ${\displaystyle z_{0}}$:

  ${\displaystyle \displaystyle f\left({z_{0}}\right)={\dfrac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f\left({z_{0}+Re^{i\theta }}\right)\,\mathrm {d} \theta }$ Звідси, зокрема, випливає принцип максимуму модуля.

Більш загально, якщо функція ${\displaystyle f(z)\,}$ в околі точки ${\displaystyle z_{0}}$ розкладається в ряд Тейлора: ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}(z-z_{0})^{n},}$ (де ${\displaystyle C_{0}=f(z_{0})}$) то

${\displaystyle \displaystyle C_{n}={\dfrac {1}{2\pi r^{n}}}\int _{0}^{2\pi }f\left({z_{0}+Re^{i\theta }}\right)e^{-in\theta }\,\mathrm {d} \theta .}$

Ці формули випливають із параметризації колі з центром в точці ${\displaystyle z_{0}}$ і радіуса R: точки цього кола мають вигляд ${\displaystyle z=z_{0}+Re^{i\theta },\ 0\leqslant \theta <2\pi .}$ Тоді із означення комплексних лінійних інтегралів і вказаної параметризації ${\displaystyle {\frac {dz}{(z-z_{0})^{n+1}}}={\frac {i}{R^{n}}}e^{-in\theta }}$ і теореми про середнє одержуються із формули для коефіцієнтів ряду Тейлора вище.

• Друга теорема про середнє. Значення функції ${\displaystyle f(z)\,}$, що є голоморфною в області ${\displaystyle D\,}$ в кожній скінченній точці ${\displaystyle z_{0}\in D}$ дорівнює середньому арифметичному її значень на будь-якому досить малому крузі з центром в точці ${\displaystyle z_{0}.}$ Точніше для круга з центром у ${\displaystyle z_{0}}$ радіуса r можна записати:

${\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{\pi r^{2}}}\int \int _{|z-z_{0}|\leqslant r}f(z)dV,}$

де подвійний інтеграл є стандартним інтегралом по крузі.

Для доведення подвійний інтеграл можна переписати через повторний у полярних координатах і використати попередню теорему про середнє:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi R^{2}}}\int \int _{|z-z_{0}|\leqslant r}f(z)dV={\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }f\left({z_{0}+Re^{i\theta }}\right)r\ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} r={\frac {2}{R^{2}}}\int _{0}^{R}f(z_{0})r\ \mathrm {d} r=f(z_{0}).}$

• Для комплексних інтегралів справедлива формула Ньютона—Лейбніца:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(z)dz=F(b)-F(a),}$

де ${\displaystyle F(z)}$ — первісна для ${\displaystyle f(z)}$. Слід зауважити, що багатозначна функція може і не мати первісної, навіть якщо вона, функція, і регулярна в даній області.

Приклад

Для функції

${\displaystyle g(z)={\frac {1-\sin z}{z^{2}(z-{\frac {\pi }{2}})(z+\pi )}}}$

обчислити значення інтегралу для контуру ${\displaystyle C:|z|=4}$

Розв’язання

Функція ${\displaystyle g(z)}$ має три особливі точки: ${\displaystyle z_{0}=0,\quad z_{1}={\frac {\pi }{2}},\quad z_{2}=-\pi }$.

У першому випадку до даного контуру потрапляють всі особливості. Отже, інтеграл можна розбити на три:

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {1-\sin z}{z^{2}(z-{\frac {\pi }{2}})(z+\pi )}}dz=\oint _{|z|=\varrho }{\frac {\frac {1-\sin z}{(z-{\frac {\pi }{2}})(z+\pi )}}{z^{2}}}dz+\oint _{|z|=\rho }{\frac {\frac {1-\sin z}{z^{2}(z+\pi )}}{z-{\frac {\pi }{2}}}}dz+\oint _{|z|=r}{\frac {\frac {1-\sin z}{z^{2}(z-{\frac {\pi }{2}})}}{z+\pi }}dz}$

Числа ${\displaystyle \varrho ,\rho ,r}$ можна обрати будь-якими малими, аби вони не включили інших особливих точок функції. Отже, застосувавши інтегральну формулу Коші до кожного з інтегралів маємо:

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {1-\sin z}{z^{2}(z-{\frac {\pi }{2}})(z+\pi )}}dz=2\pi i\left(-{\frac {(z_{0}-{\frac {\pi }{2}})(z_{0}+\pi )\cos z_{0}+(1-\sin z_{0})\left(2z_{0}+{\frac {\pi }{2}}\right)}{(z_{0}+\pi )^{2}\left(z_{0}-{\frac {\pi }{2}}\right)^{2}}}+{\frac {1-\sin z_{1}}{z_{1}^{2}(z_{1}+\pi )}}+{\frac {1-\sin z_{2}}{z_{2}^{2}(z_{2}-{\frac {\pi }{2}})}}\right)=}$

${\displaystyle =2\pi i\left({\frac {2}{\pi ^{2}}}-{\frac {2}{\pi ^{3}}}-0-{\frac {2}{3\pi ^{3}}}\right)={\frac {4i}{3\pi ^{2}}}(3\pi -4)}$

Джерела

• Евграфов М.А. Аналитические функции. — М.: Наука, 1965. — 471 ст.