Умови Коші—Рімана, або умови Д'Аламбера—Ейлера — умови на дійсну та уявну частини функції комплексної змінної , , що забезпечують нескінченну безперервну диференційовність як функції комплексної змінної.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODVMemsxTDBOaGRXTm9lUzFTYVdWdFlXNXVMbkJ1Wnk4eU1qQndlQzFEWVhWamFIa3RVbWxsYldGdWJpNXdibWM9LnBuZw==.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWtMMlF6TDBOdmJHOXlYMk52YlhCc1pYaGZjR3h2ZEM1cWNHY3ZNakl3Y0hndFEyOXNiM0pmWTI5dGNHeGxlRjl3Ykc5MExtcHdadz09LmpwZw==.jpg)
Умови Коші—Рімана для пари дійснозначних функцій двох дійсних змінних і є двома рівняннями:
|
| ( ) |
|
| ( ) |
Як правило та вважаються відповідно дійсною та уявною частинами комплекснозначної функції однієї комплексної змінної ,
Нехай функції і є дійснозначними диференційованими в точці відкритої підмножини комплексної площини , які можна розглядати як функції з в . З цього випливає, що частинні похідні від функцій і існують (хоча вони не обов'язково повинні бути неперервними), а тому можемо лінійно апроксимувати малі варіації функції . Тоді є комплексно-диференційованою у цій точці тоді й лише тоді, коли частинні похідні функцій та задовольняють рівняння Коші—Рімана (1a) та (1b) у цій точці. Тут існування частинних похідних, які задовольняють рівнянням Коші—Рімана, не забезпечує комплексної диференційовності: функції і повинні бути дійсними диференційованими, що є більш сильною умовою, ніж існування частинних похідних, але загалом слабшою за неперервну диференційованість.
Голоморфність — це властивість комплексної функції бути диференційованою в кожній точці відкритої та зв'язаної підмножини комплексної площини (це називається [en] в ). Отже, можна стверджувати, що комплексна функція , дійсні та уявні частини якої відповідно і є дійсними диференційованими функціями, є голоморфною тоді й лише тоді, коли рівняння (1a) і (1b) задовольняються на всій заданій [en]. [en] і навпаки. Це означає, що в комплексному аналізі, функція, яка комплексно диференційована на всій області (голоморфна), співпадає з аналітичною функцією. Це не вірно для дійсних диференційованих функцій.
Теорема
Для того, щоб функція , визначена в деякій області
комплексної площини, була диференційовна в точці
як функція комплексної змінної
, необхідно і достатньо, щоб її дійсна і уявна частини
і
були диференційовними в точці
як функції дійсних змінних
і
і щоб, крім того, в цій точці виконувалися умови Коші—Рімана:
В декартових координатах
;
.
В полярних координатах
;
Якщо умови Коші—Рімана виконані, то похідна може бути подана в будь-якій з наступних форм:
Наслідки
- Виконання умов Коші—Рімана, на відкритій підмножині
є необхідними умовами аналітичності функції.
- Якщо, крім того, часткові похідні неперервні, то функція є аналітичною.
Простий приклад
Нехай . Комплекснозначна функція
є диференційованою в будь-якій точці
комплексної площини,
Дійсна частина і уявна частина
мають вигляд
,
.
А їх частинні похідні:
Ці частинні похідні співвідносяться таким чином:
,
.
Дійсно функції та
задовольняють умови Коші—Рімана:
і
.
Історія
У комплексному аналізі умови Коші—Рімана, які названі на честь Оґюстена Коші та Бернгарда Рімана, складаються із [en] двох диференціальних рівнянь з частинними похідними, які разом із певними критеріями неперервності та диференційовності утворюють необхідну та достатню умову голоморфності (комплексно диференційованості) комплекснозначної функції. Коші користувався цими співвідношеннями для побудови теорії функцій, починаючи з мемуару, представленого Паризькій академії наук в 1814 р. Ця система рівнянь вперше з'явилася в роботі Жана Лерона д'Аламбера.. Пізніше Леонард Ейлер пов'язав цю систему з аналітичними функціями. Потім Коші використав ці рівняння для побудови своєї теорії функцій. У 1851 році з'явилася дисертація Рімана з теорії функцій.
Інтерпретація та переформулювання
Умови Коші—Рімана є одним із способів поглянути на умову диференційності функції в сенсі комплексного аналізу: іншими словами, вони включають в себе поняття функції комплексної змінної за допомогою звичайного диференціального числення. У теорії існує декілька інших основних підходів до цього поняття, і часто необхідно інтерпретувати умови іншою мовою.
Конформні відображення
Більше інформації: Конформне відображення
По-перше, умови Коші—Рімана можна записати у комплексній формі
| ( ) |
У цій формі рівняння структурно відповідають умові, що матриця Якобі має вигляд
де та
. Матриця такого вигляду є матричним представленням комплексного числа. Геометрично така матриця завжди є композицією обертання і масштабування і, зокрема, зберігає кути. Якобіан функції
бере нескінченно малі відрізки на перетині двох кривих у точці
і повертає їх до відповідних відрізків у точці
. Отже, функція, що задовольняє умови Коші—Рімана, з ненульовою похідною, зберігає кут між кривими на площині. Тобто умови Коші—Рімана є умовою конформності функції.
Більше того, оскільки композиція конформного перетворення з іншим конформним перетворенням також є конформним перетворенням, то конформне відображення переводить розв'язки рівнянь Коші—Рімана у розв'язки цих же рівнянь. Таким чином, рівняння Коші—Рімана є конформно інваріантними.
Комплексна диференційованість
Нехай
є функцією комплексної змінної . Тоді комплексна похідна від функції
у точці
визначається як
за умови існування цієї границі.
Якщо ця границя існує, то її можна обчислити, взявши границю при вздовж дійсної або уявної осі; в обох випадках це повинно дати однаковий результат. Прямуючи вздовж дійсної осі, отримаємо
З іншого боку, прямуючи уздовж уявної осі,
Із рівності похідних функції вздовж двох осей отримаємо
які є рівняннями Коші—Рімана (2) у точці .
І навпаки, якщо є функцією, яка диференційована, якщо розглядати її як функцію на
, то вона є комплексно диференційованою тоді й лише тоді, коли виконуються умови Коші—Рімана. Іншими словами, якщо
і
є дійснозначними диференційованими функціями двох дійсних змінних, тоді очевидно
є (комплекснозначною) дійснозначною диференційованою функцією, але
є комплексно диференційованою тоді й лише тоді, коли виконується умови Коші—Рімана.
Справді, слідуючи Рудіну, нехай — комплексна функція, що визначена на відкритій множині
. Тоді, записавши
для кожного
, можна розглядати
як відкриту підмножину
, і
як функцію двох дійсних змінних
і
, яка відображає
у
. Розглянемо умови Коші—Рімана у точці
. Нехай функція
є диференційованою у точці
як функція двох дійсних змінних з
в
. Це еквівалентно існуванню наступного лінійного наближення
де та
при
. Оскільки
і
, то вищезазначене можна переписати як
Визначаючи дві [en] як
при ,
рівність написану вище можна записати як
Тепер розглянемо потенційні значення , коли границя обчислюється в початку координат. Для
вздовж дійсної осі маємо, що
, а тому
. Аналогічно для чисто уявного
маємо, що
, а тому значення
не добре визначеним в початку координат. Легко перевірити, що
не є добре визначеним при будь-якому значенні
. Звідси функція
є комплексно диференційованою в точці
тоді й лише тоді, коли
у точці
. Але це в точності є умовами Коші—Рімана, а тому функція
диференційована в точці
тоді й лише тоді, коли в точці
виконуються умови Коші—Рімана.
Незалежність від комплексного спряження
Наведене вище доведення пропонує іншу інтерпретацію умов Коші—Рімана. Комплексно спряжене для числа , позначається як
, визначається як
для дійсних та
. Умови Коші—Рімана тоді можна записати як одне рівняння
| ( ) |
використовуючи [en]. У цій формі умови Коші—Рімана можна інтерпретувати як твердження, що функція є незалежною від змінної
. Таким чином, можна розглядати аналітичні функції як істинні функції однієї комплексної змінної, а не комплексні функції двох дійсних змінних.
Фізична інтерпретація
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWlMMkl3TDBOdmJuUnZkWEp6WDI5bVgyaHZiRzl0YjNKd2FHbGpYMloxYm1OMGFXOXVMbkJ1Wnk4eU1qQndlQzFEYjI1MGIzVnljMTl2Wmw5b2IyeHZiVzl5Y0docFkxOW1kVzVqZEdsdmJpNXdibWM9LnBuZw==.png)
Стандартна фізична інтерпретація умов Коші—Рімана, що бере свій початок з роботи Рімана по теорії функцій, полягає в тому, що функція є [en] нестисної стаціонарної течії рідини на площині, а
— [en]. Нехай пара (двічі неперервно диференційованих) функцій
,
задовольняє умови Коші—Рімана. Розглянемо функцію
як потенціал швидкості, це означає, що уявляємо течію рідини на площині так, що вектор швидкості рідини в кожній точці цієї площини дорівнює градієнту функції
, визначеному як
Диференціюючи умови Коші—Рімана вдруге, можна побачити, що функція є розв'язком рівняння Лапласа:
Тобто — гармонічна функція. Це означає, що дивергенція градієнта дорівнює нулю, а отже, рідина нестисна.
З аналогічних міркувань функція також задовольняє рівняння Лапласа. Крім того, з умов Коші—Рімана випливає, що скалярний добуток градієнтів функцій
та
дорівнює нулю, тобто
. Це означає, що градієнт функції
має вказувати на криві
; отже, це лінії току течії. Криві
є еквіпотенціальними кривими течії.
Отже, голоморфну функцію можна візуалізувати, побудувавши графік двох сімейств кривих рівнів і
. Поблизу точок, де градієнт функції
(або, еквівалентно, функції
) не дорівнює нулю, ці сім'ї утворюють ортогональне сімейство кривих. У точках, де
(стаціонарні точки течії), еквіпотенціальні криві для
перетинаються. Лінії току також перетинаються в цій самій точці, ділячи навпіл кути, що утворені еквіпотенціальними кривими.
Гармонічне векторне поле
Іншу інтерпретацію умов Коші—Рімана можна знайти в книзі Поя та Сего.. Нехай функції і
задовольняють умови Коші—Рімана у відкритій підмножині
, розглянемо векторне поле
яке трактується як (дійсний) двокомпонентний вектор. Тоді друга умова Коші—Рімана (1b) стверджує, що вектор є безвихровим (його ротор дорівнює 0):
Перша умова Коші—Рімана (1a) стверджує, що задане векторне поле є соленоїдним (його дивергенція дорівнює 0):
Відповідно до теореми Гріна та теореми Остроградського таке поле обов'язково є потенціальним, тобто у ньому немає джерел або поглиначів, і має нульовий чистий потік через будь-яку відкриту область без дірок. (Ці два спостереження поєднуються як дійсна та уявна частини в інтегральній теоремі Коші.) У гідродинаміці таке векторне поле є [en]. У магнітостатиці такі векторні поля моделюють статичні магнітні поля в області площини, яка не містить струму. В електростатиці вони моделюють статичні електричні поля в області площини, яка не містить електричного заряду.
Цю інтерпретацію можна еквівалентно переформулювати на мові диференціальних форм. Пара функцій ,
задовольняє умови Коші—Рімана тоді й лише тоді, коли 1-форма
одночасно [en] і козамкнена (гармонічна диференціальна форма).
Збереження комплексної структури
Інше формулювання умов Коші—Рімана включає [en] на площині, яка задана матрицею
Це комплексна структура в тому сенсі, що квадрат матриці є від'ємна одинична
матриця:
. Як і вище, якщо
,
— дві функції на площині, то покладемо
Матриця Якобі для функції — це матриця частинних похідних
Тоді пара функцій та
задовольняє умови Коші—Рімана тоді й лише тоді, коли
матриця
комутує з матрицею
.
Ця інтерпретація корисна в симплектичній геометрії, де вона є початковою точкою для вивчення псевдоголоморфних кривих.
Інше представлення
Інше представлення умов Коші—Рімана іноді виникають в інших системах координат. Якщо рівняння (1a) і (1b) виконуються для диференційованої пари функцій і
, то
для будь-якої системи координат такої, що пара
[en] і додатно орієнтована. Як наслідок, зокрема, у системі координат заданій полярним представленням
рівняння набувають вигляду
Об'єднавши їх в одне рівняння для функції , отримуємо
Неоднорідні умови Коші—Рімана складаються з двох рівнянь для пари невідомих функцій і
двох дійсних змінних
для деяких заданих функцій і
, що визначені у відкритій підмножині в
. Ці рівняння зазвичай об'єднують в одне рівняння
де і
.
Якщо функція є неперервно диференціовною функцією порядку
(гладкою функцією порядку
), то неоднорідне рівняння явно розв'язується в будь-якій обмеженій області
за умови, що функція
є неперервною на замиканні області
. Дійсно, за інтегральною формулою Коші
для всіх .
Узагальнення
Теорема Гурса та її узагальнення
Дивись також: Теорема Коші—Гурса
Нехай — комплекснозначна функція, яка диференційована як функція
. Тоді теорема [en] стверджує, що функція
є аналітичною у відкритій комплексній області
тоді й лише тоді, коли вона задовольняє умови Коші —Рімана в області. Зокрема, не потрібно вимагати неперервну диференційованість функції
. Умови теореми [en] можна значно послабити. Якщо функція
є неперервною на відкритій множині частинні похідні від функції
за змінними
і
існують на множині
і задовольняють умови Коші—Рімана на всій множині
, то функція
є голоморфною (і, отже, аналітичною). Це результат теореми Лумана—Меньшова.
Умова, що функція задовольняє умови Коші—Рімана на усій області
, є суттєвою. Можна побудувати неперервну функцію, яка задовольняє умови Коші—Рімана в точці, але не є аналітичною в цій точці (наприклад,
. Так само, крім умов Коші—Рімана, необхідні деякі додаткові припущення (наприклад, неперервність), як ілюструє наступний приклад
Функція скрізь задовольняє умови Коші—Рімана, але не є неперервною у точці .
Тим не менш, якщо функція задовольняє умови Коші—Рімана на відкритій множині в слабкому сенсі, то функція є аналітичною. Точніше:
Якщо функція локально інтегрована на відкритій області
і слабо задовольняє умови Коші—Рімана, то функція
майже скрізь співпадає з аналітичною функцією на області
.
Фактично це частинний випадок більш загального результату про регулярність розв'язків [en] диференціальних рівнянь з частинними похідними.
Випадок кількох змінних
Існують належним чином узагальнені умови Коші—Рімана і в [en]. Вони утворюють суттєво [en] диференціальних рівнянь з частинними похідними. Це робиться з використанням прямого узагальнення [en], де розглянута функція повинна мати (частинну) похідну Віртінгера відносно кожної комплексної змінної, яка дорівнює нулю.
Комплексні диференціальні форми
Як зазвичай формулюють, [en] анулює голоморфні функції. Це безпосередньо узагальнює формулювання
де
Перетворення Беклунда
З точки зору [en] умови Коші—Рімана є простим прикладом перетворення Беклунда. Більш складні, у загальному випадку нелінійні перетворення Беклунда, такі як рівняння синус-Ґордона, представляють значний інтерес у теорії солітонів та інтегрованих систем.
Означення в алгебрі Кліффорда
В алгебрі Кліффорда комплексне число представляється як
, де
. Оператор фундаментальної похідної в алгебрі Кліффорда комплексних чисел визначається як
. Функція
вважається аналітичною тоді й лише тоді, коли
, або у розгорнутому вигляді:
Після перегрупування отримаємо
Звідси, у традиційних позначеннях:
Конформні відображення для вищих розмірностей
Нехай — відкрита множина в евклідовому просторі
. Рівняння для відображення, що зберігає орієнтацію,
є конформним відображенням (тобто таке що зберігає кути), якщо
де — матриця Якобі,
— трансформована матриця Якобі,
— одинична матриця. У випадку
ця система еквівалентна стандартним умовам Коші—Рімана для комплексних змінних, а розв'язки цих умов є голоморфними функціями. У розмірності
ці умови все ще іноді називають системою Коші—Рімана, і з теореми Ліувіля випливає, за відповідних припущень про гладкість, що будь-яке таке відображення є перетворенням Мебіуса.
Див. також
Примітки
- d'Alembert, Jean (1752). Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides. Paris: David l'aîné. Reprint 2018 by Hachette Livre-BNF .
- Euler, Leonhard (1797). Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis. Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 10: 3–19.
- Cauchy, Augustin L. (1814). Mémoire sur les intégrales définies. Oeuvres complètes Ser. 1. Vol. 1. Paris (published 1882). pp. 319–506.
- Riemann, Bernhard (1851). Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse. In H. Weber (ed.). Riemann's gesammelte math. Werke (in German). Dover (published 1953). pp. 3–48.
- Rudin 1966.
- Див. Klein, Felix (1893). On Riemann's theory of algebraic functions and their integrals. Translated by Frances Hardcastle. Cambridge: MacMillan and Bowes.
- Pólya, George; Szegő, Gábor (1978). Problems and theorems in analysis I. Springer. .
- Chanson, H. (2007). "Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange" [Velocity Potential in Real Fluid Flows: Joseph-Louis Lagrange's Contribution]. Journal la Houille Blanche. 5: 127–131. doi:10.1051/lhb:2007072. ISSN 0018-6368. S2CID 110258050.
- Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1969). Foundations of differential geometry, volume 2. Wiley. Proposition IX.2.2.
- Rudin 1966, Theorem 11.2
- Dieudonné, Jean Alexandre (1969). Foundations of modern analysis. Academic Press. §9.10, Ex. 1.
- Looman 1923, p. 107.
- Gray & Morris 1978, Theorem 9.
- Iwaniec, T.; Martin, G. (2001). Geometric function theory and non-linear analysis. Oxford. p.~32.
Література
- Gray, J. D.; Morris, S. A. (April 1978). When is a Function that Satisfies the Cauchy–Riemann Equations Analytic?. The American Mathematical Monthly. 85 (4): 246—256. doi:10.2307/2321164. JSTOR 2321164.
- Looman, H. (1923). Über die Cauchy–Riemannschen Differentialgleichungen. Göttinger Nachrichten (нім.): 97—108.
- Rudin, Walter (1966). Real and complex analysis (вид. 3rd). McGraw Hill (опубліковано опубліковано 1987). ISBN .
Додаткова література
- Ahlfors, Lars (1953). Complex analysis (вид. 3rd). McGraw Hill (опубліковано опубліковано 1979). ISBN .
- Solomentsev, E.D. (2001). Cauchy–Riemann conditions. У Hazewinkel, Michiel. Encyclopedia of Mathematics. Springer. .
- Stewart, Ian; Tall, David (1983). Complex Analysis (вид. 1st). CUP (опубліковано опубліковано 1984). ISBN .
Зовнішні посилання
- Weisstein, Eric W. Cauchy–Riemann Equations(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Umovi Koshi Rimana abo umovi D Alambera Ejlera umovi na dijsnu u u x y displaystyle u u x y ta uyavnu v v x y displaystyle v v x y chastini funkciyi kompleksnoyi zminnoyi w f z u i v displaystyle w f z u rm i v z x i y displaystyle z x rm i y sho zabezpechuyut neskinchennu bezperervnu diferencijovnist f z displaystyle f z yak funkciyi kompleksnoyi zminnoyi Vizualne zobrazhennya vektora X displaystyle X v oblasti sho mnozhitsya na kompleksne chislo z displaystyle z a potim vidobrazhayetsya za dopomogoyu funkciyi f displaystyle f u porivnyani koli vektor spochatku vidobrazhayetsya za dopomogoyu funkciyi f displaystyle f a potim mnozhitsya na kompleksne chisloz displaystyle z Yaksho v oboh vipadkah otrimuyemo odnu i tu zh kincevu tochku dlya vsih X displaystyle X i z displaystyle z to funkciya f displaystyle f zadovolnyaye umovi Koshi Rimana Grafik funkciyi f x x 2 1 x 2 i 2 x 2 2 2 i displaystyle f x dfrac x 2 1 x 2 rm i 2 x 2 2 2 rm i Argument vidobrazhuye ton zobrazhennya a velichinu funkciyi nasichenist malyunka Umovi Koshi Rimana dlya pari dijsnoznachnih funkcij dvoh dijsnih zminnih u x y displaystyle u x y i v x y displaystyle v x y ye dvoma rivnyannyami u x v y displaystyle frac partial u partial x frac partial v partial y 1a u y v x displaystyle frac partial u partial y frac partial v partial x 1b Yak pravilo u displaystyle u ta v displaystyle v vvazhayutsya vidpovidno dijsnoyu ta uyavnoyu chastinami kompleksnoznachnoyi funkciyi odniyeyi kompleksnoyi zminnoyi z x i y displaystyle z x rm i y f x i y u x y v x y displaystyle f x rm i y u x y v x y Nehaj funkciyi u displaystyle u i v displaystyle v ye dijsnoznachnimi diferencijovanimi v tochci vidkritoyi pidmnozhini kompleksnoyi ploshini C displaystyle mathbb C yaki mozhna rozglyadati yak funkciyi z R 2 displaystyle mathbb R 2 v R displaystyle mathbb R Z cogo viplivaye sho chastinni pohidni vid funkcij u displaystyle u i v displaystyle v isnuyut hocha voni ne obov yazkovo povinni buti neperervnimi a tomu mozhemo linijno aproksimuvati mali variaciyi funkciyi f displaystyle f Todi f u i v displaystyle f u rm i v ye kompleksno diferencijovanoyu u cij tochci todi j lishe todi koli chastinni pohidni funkcij u displaystyle u ta v displaystyle v zadovolnyayut rivnyannya Koshi Rimana 1a ta 1b u cij tochci Tut isnuvannya chastinnih pohidnih yaki zadovolnyayut rivnyannyam Koshi Rimana ne zabezpechuye kompleksnoyi diferencijovnosti funkciyi u displaystyle u i v displaystyle v povinni buti dijsnimi diferencijovanimi sho ye bilsh silnoyu umovoyu nizh isnuvannya chastinnih pohidnih ale zagalom slabshoyu za neperervnu diferencijovanist Golomorfnist ce vlastivist kompleksnoyi funkciyi buti diferencijovanoyu v kozhnij tochci vidkritoyi ta zv yazanoyi pidmnozhini kompleksnoyi ploshini C displaystyle mathbb C ce nazivayetsya en v C displaystyle mathbb C Otzhe mozhna stverdzhuvati sho kompleksna funkciya f displaystyle f dijsni ta uyavni chastini yakoyi vidpovidno u displaystyle u i v displaystyle v ye dijsnimi diferencijovanimi funkciyami ye golomorfnoyu todi j lishe todi koli rivnyannya 1a i 1b zadovolnyayutsya na vsij zadanij en en i navpaki Ce oznachaye sho v kompleksnomu analizi funkciya yaka kompleksno diferencijovana na vsij oblasti golomorfna spivpadaye z analitichnoyu funkciyeyu Ce ne virno dlya dijsnih diferencijovanih funkcij TeoremaDlya togo shob funkciya w f z displaystyle w f z viznachena v deyakij oblasti D displaystyle D kompleksnoyi ploshini bula diferencijovna v tochci z 0 x 0 i y 0 displaystyle z 0 x 0 rm i y 0 yak funkciya kompleksnoyi zminnoyi z displaystyle z neobhidno i dostatno shob yiyi dijsna i uyavna chastini u displaystyle u i v displaystyle v buli diferencijovnimi v tochci x 0 y 0 displaystyle x 0 y 0 yak funkciyi dijsnih zminnih x displaystyle x i y displaystyle y i shob krim togo v cij tochci vikonuvalisya umovi Koshi Rimana V dekartovih koordinatah u x v y displaystyle frac partial u partial x frac partial v partial y u y v x displaystyle frac partial u partial y frac partial v partial x V polyarnih koordinatah u r 1 r v f displaystyle frac partial u partial r frac 1 r frac partial v partial varphi u f r v r displaystyle frac partial u partial varphi r frac partial v partial r Yaksho umovi Koshi Rimana vikonani to pohidna f z displaystyle f z mozhe buti podana v bud yakij z nastupnih form f z u x i v x v y i u y displaystyle f z frac partial u partial x rm i frac partial v partial x frac partial v partial y rm i frac partial u partial y NaslidkiVikonannya umov Koshi Rimana na vidkritij pidmnozhini C displaystyle mathbb C ye neobhidnimi umovami analitichnosti funkciyi Yaksho krim togo chastkovi pohidni neperervni to funkciya ye analitichnoyu Prostij prikladNehaj z x i y displaystyle z x rm i y Kompleksnoznachna funkciya f z z 2 displaystyle f z z 2 ye diferencijovanoyu v bud yakij tochci z displaystyle z kompleksnoyi ploshini f z x i y 2 x 2 y 2 2 i x y displaystyle f z x rm i y 2 x 2 y 2 2 rm i xy Dijsna chastina u x y displaystyle u x y i uyavna chastina v x y displaystyle v x y mayut viglyad u x y x 2 y 2 displaystyle u x y x 2 y 2 v x y 2 x y displaystyle v x y 2xy A yih chastinni pohidni u x 2 x u y 2 y v x 2 y v y 2 x displaystyle u x 2x quad u y 2y quad v x 2y quad v y 2x Ci chastinni pohidni spivvidnosyatsya takim chinom u x v y displaystyle frac partial u partial x frac partial v partial y u y v x displaystyle frac partial u partial y frac partial v partial x Dijsno funkciyi u x y displaystyle u x y ta v x y displaystyle v x y zadovolnyayut umovi Koshi Rimana u x v y displaystyle u x v y i u y v x displaystyle u y v x IstoriyaU kompleksnomu analizi umovi Koshi Rimana yaki nazvani na chest Ogyustena Koshi ta Berngarda Rimana skladayutsya iz en dvoh diferencialnih rivnyan z chastinnimi pohidnimi yaki razom iz pevnimi kriteriyami neperervnosti ta diferencijovnosti utvoryuyut neobhidnu ta dostatnyu umovu golomorfnosti kompleksno diferencijovanosti kompleksnoznachnoyi funkciyi Koshi koristuvavsya cimi spivvidnoshennyami dlya pobudovi teoriyi funkcij pochinayuchi z memuaru predstavlenogo Parizkij akademiyi nauk v 1814 r Cya sistema rivnyan vpershe z yavilasya v roboti Zhana Lerona d Alambera Piznishe Leonard Ejler pov yazav cyu sistemu z analitichnimi funkciyami Potim Koshi vikoristav ci rivnyannya dlya pobudovi svoyeyi teoriyi funkcij U 1851 roci z yavilasya disertaciya Rimana z teoriyi funkcij Interpretaciya ta pereformulyuvannyaUmovi Koshi Rimana ye odnim iz sposobiv poglyanuti na umovu diferencijnosti funkciyi v sensi kompleksnogo analizu inshimi slovami voni vklyuchayut v sebe ponyattya funkciyi kompleksnoyi zminnoyi za dopomogoyu zvichajnogo diferencialnogo chislennya U teoriyi isnuye dekilka inshih osnovnih pidhodiv do cogo ponyattya i chasto neobhidno interpretuvati umovi inshoyu movoyu Konformni vidobrazhennya Bilshe informaciyi Konformne vidobrazhennya Po pershe umovi Koshi Rimana mozhna zapisati u kompleksnij formi i f x f y displaystyle rm i frac partial f partial x frac partial f partial y 2 U cij formi rivnyannya strukturno vidpovidayut umovi sho matricya Yakobi maye viglyad a b b a displaystyle left begin matrix a amp b b amp a end matrix right de a u x v y displaystyle a partial u partial x partial v partial y ta b v x u y displaystyle b partial v partial x partial u partial y Matricya takogo viglyadu ye matrichnim predstavlennyam kompleksnogo chisla Geometrichno taka matricya zavzhdi ye kompoziciyeyu obertannya i masshtabuvannya i zokrema zberigaye kuti Yakobian funkciyi f z displaystyle f z bere neskinchenno mali vidrizki na peretini dvoh krivih u tochci z displaystyle z i povertaye yih do vidpovidnih vidrizkiv u tochci f z displaystyle f z Otzhe funkciya sho zadovolnyaye umovi Koshi Rimana z nenulovoyu pohidnoyu zberigaye kut mizh krivimi na ploshini Tobto umovi Koshi Rimana ye umovoyu konformnosti funkciyi Bilshe togo oskilki kompoziciya konformnogo peretvorennya z inshim konformnim peretvorennyam takozh ye konformnim peretvorennyam to konformne vidobrazhennya perevodit rozv yazki rivnyan Koshi Rimana u rozv yazki cih zhe rivnyan Takim chinom rivnyannya Koshi Rimana ye konformno invariantnimi Kompleksna diferencijovanist Nehaj f z u z i v z displaystyle f z u z rm i cdot v z ye funkciyeyu kompleksnoyi zminnoyi z x i y displaystyle z x rm i y Todi kompleksna pohidna vid funkciyi f displaystyle f u tochci z 0 displaystyle z 0 viznachayetsya yak lim h 0 h C f z 0 h f z 0 h f z 0 displaystyle lim underset h in mathbb C h to 0 frac f z 0 h f z 0 h f z 0 za umovi isnuvannya ciyeyi granici Yaksho cya granicya isnuye to yiyi mozhna obchisliti vzyavshi granicyu pri h 0 displaystyle h to 0 vzdovzh dijsnoyi abo uyavnoyi osi v oboh vipadkah ce povinno dati odnakovij rezultat Pryamuyuchi vzdovzh dijsnoyi osi otrimayemo lim h 0 h R f z 0 h f z 0 h f x z 0 displaystyle lim underset h in mathbb R h to 0 frac f z 0 h f z 0 h frac partial f partial x z 0 Z inshogo boku pryamuyuchi uzdovzh uyavnoyi osi lim h 0 h R f z 0 i h f z 0 i h 1 i f y z 0 displaystyle lim underset eta in mathbb R eta to 0 frac f z 0 rm i eta f z 0 i eta frac 1 rm i frac partial f partial y z 0 Iz rivnosti pohidnih funkciyi f displaystyle f vzdovzh dvoh osej otrimayemo i f x z 0 f y z 0 displaystyle rm i frac partial f partial x z 0 frac partial f partial y z 0 yaki ye rivnyannyami Koshi Rimana 2 u tochci z 0 displaystyle z 0 I navpaki yaksho f C C displaystyle f colon mathbb C rightarrow mathbb C ye funkciyeyu yaka diferencijovana yaksho rozglyadati yiyi yak funkciyu na R 2 displaystyle mathbb R 2 to vona ye kompleksno diferencijovanoyu todi j lishe todi koli vikonuyutsya umovi Koshi Rimana Inshimi slovami yaksho u displaystyle u i v displaystyle v ye dijsnoznachnimi diferencijovanimi funkciyami dvoh dijsnih zminnih todi ochevidno u i v displaystyle u rm i v ye kompleksnoznachnoyu dijsnoznachnoyu diferencijovanoyu funkciyeyu ale u i v displaystyle u rm i v ye kompleksno diferencijovanoyu todi j lishe todi koli vikonuyetsya umovi Koshi Rimana Spravdi sliduyuchi Rudinu nehaj f displaystyle f kompleksna funkciya sho viznachena na vidkritij mnozhini W C displaystyle Omega subset mathbb C Todi zapisavshi z x i y displaystyle z x rm i y dlya kozhnogo z W displaystyle z in Omega mozhna rozglyadati W displaystyle Omega yak vidkritu pidmnozhinu R 2 displaystyle mathbb R 2 i f displaystyle f yak funkciyu dvoh dijsnih zminnih x displaystyle x i y displaystyle y yaka vidobrazhaye W R 2 displaystyle Omega subset mathbb R 2 u C displaystyle mathbb C Rozglyanemo umovi Koshi Rimana u tochci z z 0 displaystyle z z 0 Nehaj funkciya f displaystyle f ye diferencijovanoyu u tochci z 0 displaystyle z 0 yak funkciya dvoh dijsnih zminnih z W displaystyle Omega v C displaystyle mathbb C Ce ekvivalentno isnuvannyu nastupnogo linijnogo nablizhennya f z 0 D z f z 0 f x D x f y D y h D z D z displaystyle f z 0 Delta z f z 0 f x Delta x f y Delta y eta Delta z Delta z de z x i y displaystyle z x rm i y ta h D z 0 displaystyle eta Delta z rightarrow 0 pri D z 0 displaystyle Delta z rightarrow 0 Oskilki D z D z 2 D x displaystyle Delta z Delta bar z 2 Delta x i D z D z 2 i D y displaystyle Delta z Delta bar z 2 rm i Delta y to vishezaznachene mozhna perepisati yak D f z 0 f x i f y 2 D z f x i f y 2 D z h D z D z displaystyle Delta f z 0 frac f x rm i f y 2 Delta z frac f x rm i f y 2 Delta bar z eta Delta z Delta z Viznachayuchi dvi en yak z 1 2 x i y z 1 2 x i y displaystyle frac partial partial z frac 1 2 left frac partial partial x rm i frac partial partial y right quad frac partial partial bar z frac 1 2 left frac partial partial x rm i frac partial partial y right pri D z 0 displaystyle Delta z to 0 D z 0 displaystyle Delta bar z to 0 rivnist napisanu vishe mozhna zapisati yak d f d z z z 0 f z z z 0 f z z z 0 d z d z h D z D z 0 displaystyle left frac rm d f rm d z right z z 0 left frac partial f partial z right z z 0 left frac partial f partial bar z right z z 0 cdot frac rm d bar z rm d z eta Delta z quad Delta z neq 0 Teper rozglyanemo potencijni znachennya d z d z displaystyle rm d bar z rm d z koli granicya obchislyuyetsya v pochatku koordinat Dlya z displaystyle z vzdovzh dijsnoyi osi mayemo sho z z displaystyle bar z z a tomu d z d z 1 displaystyle rm d bar z rm d z 1 Analogichno dlya chisto uyavnogo z displaystyle z mayemo sho d z d z 1 displaystyle rm d bar z rm d z 1 a tomu znachennya d z d z displaystyle rm d bar z rm d z ne dobre viznachenim v pochatku koordinat Legko pereviriti sho d z d z displaystyle rm d bar z rm d z ne ye dobre viznachenim pri bud yakomu znachenni z displaystyle z Zvidsi funkciya f displaystyle f ye kompleksno diferencijovanoyu v tochci z 0 displaystyle z 0 todi j lishe todi koli f z 0 displaystyle left partial f partial bar z right 0 u tochci z z 0 displaystyle z z 0 Ale ce v tochnosti ye umovami Koshi Rimana a tomu funkciya f displaystyle f diferencijovana v tochci z 0 displaystyle z 0 todi j lishe todi koli v tochci z 0 displaystyle z 0 vikonuyutsya umovi Koshi Rimana Nezalezhnist vid kompleksnogo spryazhennya Navedene vishe dovedennya proponuye inshu interpretaciyu umov Koshi Rimana Kompleksno spryazhene dlya chisla z displaystyle z poznachayetsya yak z displaystyle bar z viznachayetsya yak x i y x i y displaystyle overline x rm i y x rm i y dlya dijsnih x displaystyle x ta y displaystyle y Umovi Koshi Rimana todi mozhna zapisati yak odne rivnyannya f z 0 displaystyle frac partial f partial bar z 0 3 vikoristovuyuchi en U cij formi umovi Koshi Rimana mozhna interpretuvati yak tverdzhennya sho funkciya f displaystyle f ye nezalezhnoyu vid zminnoyi z displaystyle bar z Takim chinom mozhna rozglyadati analitichni funkciyi yak istinni funkciyi odniyeyi kompleksnoyi zminnoyi a ne kompleksni funkciyi dvoh dijsnih zminnih Fizichna interpretaciya Vizualne zobrazhennya vektora X displaystyle X v oblasti sho mnozhitsya na kompleksne chislo z displaystyle z a potim vidobrazhayetsya za dopomogoyu funkciyi f displaystyle f u porivnyani koli vektor spochatku vidobrazhayetsya za dopomogoyu funkciyi f displaystyle f a potim mnozhitsya na kompleksne chislo z displaystyle z Yaksho v oboh vipadkah otrimuyemo odnu i tu zh kincevu tochku dlya vsih X displaystyle X i z displaystyle z to funkciya f displaystyle f zadovolnyaye umovi Koshi Rimana Standartna fizichna interpretaciya umov Koshi Rimana sho bere svij pochatok z roboti Rimana po teoriyi funkcij polyagaye v tomu sho funkciya u displaystyle u ye en nestisnoyi stacionarnoyi techiyi ridini na ploshini a v displaystyle v en Nehaj para dvichi neperervno diferencijovanih funkcij u displaystyle u v displaystyle v zadovolnyaye umovi Koshi Rimana Rozglyanemo funkciyu u displaystyle u yak potencial shvidkosti ce oznachaye sho uyavlyayemo techiyu ridini na ploshini tak sho vektor shvidkosti ridini v kozhnij tochci ciyeyi ploshini dorivnyuye gradiyentu funkciyi u displaystyle u viznachenomu yak u u x i u y j displaystyle nabla u frac partial u partial x boldsymbol i frac partial u partial y boldsymbol j Diferenciyuyuchi umovi Koshi Rimana vdruge mozhna pobachiti sho funkciya u displaystyle u ye rozv yazkom rivnyannya Laplasa 2 u x 2 2 u y 2 0 displaystyle frac partial 2 u partial x 2 frac partial 2 u partial y 2 0 Tobto u displaystyle u garmonichna funkciya Ce oznachaye sho divergenciya gradiyenta dorivnyuye nulyu a otzhe ridina nestisna Z analogichnih mirkuvan funkciya v displaystyle v takozh zadovolnyaye rivnyannya Laplasa Krim togo z umov Koshi Rimana viplivaye sho skalyarnij dobutok gradiyentiv funkcij u displaystyle u ta v displaystyle v dorivnyuye nulyu tobto u v 0 displaystyle nabla u cdot nabla v 0 Ce oznachaye sho gradiyent funkciyi u displaystyle u maye vkazuvati na krivi v const displaystyle v text const otzhe ce liniyi toku techiyi Krivi u const displaystyle u text const ye ekvipotencialnimi krivimi techiyi Otzhe golomorfnu funkciyu mozhna vizualizuvati pobuduvavshi grafik dvoh simejstv krivih rivniv u const displaystyle u text const i v const displaystyle v text const Poblizu tochok de gradiyent funkciyi u displaystyle u abo ekvivalentno funkciyi v displaystyle v ne dorivnyuye nulyu ci sim yi utvoryuyut ortogonalne simejstvo krivih U tochkah de u 0 displaystyle nabla u 0 stacionarni tochki techiyi ekvipotencialni krivi dlya u const displaystyle u text const peretinayutsya Liniyi toku takozh peretinayutsya v cij samij tochci dilyachi navpil kuti sho utvoreni ekvipotencialnimi krivimi Garmonichne vektorne pole Inshu interpretaciyu umov Koshi Rimana mozhna znajti v knizi Poya ta Sego Nehaj funkciyi u displaystyle u i v displaystyle v zadovolnyayut umovi Koshi Rimana u vidkritij pidmnozhini R 2 displaystyle mathbb R 2 rozglyanemo vektorne pole f u v displaystyle bar f begin bmatrix u v end bmatrix yake traktuyetsya yak dijsnij dvokomponentnij vektor Todi druga umova Koshi Rimana 1b stverdzhuye sho vektor f displaystyle bar f ye bezvihrovim jogo rotor dorivnyuye 0 v x u y 0 displaystyle frac partial v partial x frac partial u partial y 0 Persha umova Koshi Rimana 1a stverdzhuye sho zadane vektorne pole ye solenoyidnim jogo divergenciya dorivnyuye 0 u x v y 0 displaystyle frac partial u partial x frac partial v partial y 0 Vidpovidno do teoremi Grina ta teoremi Ostrogradskogo take pole obov yazkovo ye potencialnim tobto u nomu nemaye dzherel abo poglinachiv i maye nulovij chistij potik cherez bud yaku vidkritu oblast bez dirok Ci dva sposterezhennya poyednuyutsya yak dijsna ta uyavna chastini v integralnij teoremi Koshi U gidrodinamici take vektorne pole ye en U magnitostatici taki vektorni polya modelyuyut statichni magnitni polya v oblasti ploshini yaka ne mistit strumu V elektrostatici voni modelyuyut statichni elektrichni polya v oblasti ploshini yaka ne mistit elektrichnogo zaryadu Cyu interpretaciyu mozhna ekvivalentno pereformulyuvati na movi diferencialnih form Para funkcij u displaystyle u v displaystyle v zadovolnyaye umovi Koshi Rimana todi j lishe todi koli 1 forma v d x u d y displaystyle v rm d x u rm d y odnochasno en i kozamknena garmonichna diferencialna forma Zberezhennya kompleksnoyi strukturi Inshe formulyuvannya umov Koshi Rimana vklyuchaye en na ploshini yaka zadana matriceyu J 0 1 1 0 displaystyle J begin bmatrix 0 amp 1 1 amp 0 end bmatrix Ce kompleksna struktura v tomu sensi sho kvadrat matrici J displaystyle J ye vid yemna odinichna 2 2 displaystyle 2 times 2 matricya J 2 I displaystyle J 2 I Yak i vishe yaksho u x y displaystyle u x y v x y displaystyle v x y dvi funkciyi na ploshini to poklademo f x y u x y v x y displaystyle f x y begin bmatrix u x y v x y end bmatrix Matricya Yakobi dlya funkciyi f displaystyle f ce matricya chastinnih pohidnih D f x y u x u y v x v y displaystyle Df x y begin bmatrix dfrac partial u partial x amp dfrac partial u partial y dfrac partial v partial x amp dfrac partial v partial y end bmatrix Todi para funkcij u displaystyle u ta v displaystyle v zadovolnyaye umovi Koshi Rimana todi j lishe todi koli 2 2 displaystyle 2 times 2 matricya D f displaystyle Df komutuye z matriceyu J displaystyle J Cya interpretaciya korisna v simplektichnij geometriyi de vona ye pochatkovoyu tochkoyu dlya vivchennya psevdogolomorfnih krivih Inshe predstavlennya Inshe predstavlennya umov Koshi Rimana inodi vinikayut v inshih sistemah koordinat Yaksho rivnyannya 1a i 1b vikonuyutsya dlya diferencijovanoyi pari funkcij u displaystyle u i v displaystyle v to u n v s v n u s displaystyle frac partial u partial n frac partial v partial s quad frac partial v partial n frac partial u partial s dlya bud yakoyi sistemi koordinat n x y s x y displaystyle n x y s x y takoyi sho para n s displaystyle nabla n nabla s en i dodatno oriyentovana Yak naslidok zokrema u sistemi koordinat zadanij polyarnim predstavlennyam z r e i 8 displaystyle z r rm e rm i theta rivnyannya nabuvayut viglyadu u r 1 r v 8 v r 1 r u 8 displaystyle frac partial u partial r frac 1 r frac partial v partial theta quad frac partial v partial r frac 1 r frac partial u partial theta Ob yednavshi yih v odne rivnyannya dlya funkciyi f displaystyle f otrimuyemo f r 1 i r f 8 displaystyle frac partial f partial r frac 1 rm i r frac partial f partial theta Neodnoridni umovi Koshi Rimana skladayutsya z dvoh rivnyan dlya pari nevidomih funkcij u x y displaystyle u x y i v x y displaystyle v x y dvoh dijsnih zminnih u x v y a x y displaystyle frac partial u partial x frac partial v partial y alpha x y u y v x b x y displaystyle frac partial u partial y frac partial v partial x beta x y dlya deyakih zadanih funkcij a x y displaystyle alpha x y i b x y displaystyle beta x y sho viznacheni u vidkritij pidmnozhini v R 2 displaystyle mathbb R 2 Ci rivnyannya zazvichaj ob yednuyut v odne rivnyannya f z f z z displaystyle frac partial f partial bar z varphi z bar z de f u i v displaystyle f u rm i v i f a i b 2 displaystyle varphi alpha rm i beta 2 Yaksho funkciya f displaystyle varphi ye neperervno diferenciovnoyu funkciyeyu poryadku k displaystyle k gladkoyu funkciyeyu poryadku k displaystyle k to neodnoridne rivnyannya yavno rozv yazuyetsya v bud yakij obmezhenij oblasti D displaystyle D za umovi sho funkciya f displaystyle varphi ye neperervnoyu na zamikanni oblasti D displaystyle D Dijsno za integralnoyu formuloyu Koshi f z z 1 2 p i D f z z d z d z z z displaystyle f left zeta bar zeta right frac 1 2 pi rm i iint D varphi left z bar z right frac rm d z wedge rm d bar z z zeta dlya vsih z D displaystyle zeta in D UzagalnennyaTeorema Gursa ta yiyi uzagalnennya Divis takozh Teorema Koshi Gursa Nehaj f u i v displaystyle f u rm i v kompleksnoznachna funkciya yaka diferencijovana yak funkciya f R 2 R 2 displaystyle f colon mathbb R 2 rightarrow mathbb R 2 Todi teorema en stverdzhuye sho funkciya f displaystyle f ye analitichnoyu u vidkritij kompleksnij oblasti W displaystyle Omega todi j lishe todi koli vona zadovolnyaye umovi Koshi Rimana v oblasti Zokrema ne potribno vimagati neperervnu diferencijovanist funkciyi f displaystyle f Umovi teoremi en mozhna znachno poslabiti Yaksho funkciya f u i v displaystyle f u rm i v ye neperervnoyu na vidkritij mnozhini chastinni pohidni vid funkciyi f displaystyle f za zminnimi x displaystyle x i y displaystyle y isnuyut na mnozhini W displaystyle Omega i zadovolnyayut umovi Koshi Rimana na vsij mnozhini W displaystyle Omega to funkciya f displaystyle f ye golomorfnoyu i otzhe analitichnoyu Ce rezultat teoremi Lumana Menshova Umova sho funkciya f displaystyle f zadovolnyaye umovi Koshi Rimana na usij oblasti W displaystyle Omega ye suttyevoyu Mozhna pobuduvati neperervnu funkciyu yaka zadovolnyaye umovi Koshi Rimana v tochci ale ne ye analitichnoyu v cij tochci napriklad f z z 5 z 4 displaystyle f z z 5 z 4 Tak samo krim umov Koshi Rimana neobhidni deyaki dodatkovi pripushennya napriklad neperervnist yak ilyustruye nastupnij priklad f z exp z 4 yaksho z 0 0 yaksho z 0 displaystyle f z begin cases exp left z 4 right amp text yaksho z not 0 0 amp text yaksho z 0 end cases Funkciya skriz zadovolnyaye umovi Koshi Rimana ale ne ye neperervnoyu u tochci z 0 displaystyle z 0 Tim ne mensh yaksho funkciya zadovolnyaye umovi Koshi Rimana na vidkritij mnozhini v slabkomu sensi to funkciya ye analitichnoyu Tochnishe Yaksho funkciya f z displaystyle f z lokalno integrovana na vidkritij oblasti W C displaystyle Omega subset mathbb C i slabo zadovolnyaye umovi Koshi Rimana to funkciya f displaystyle f majzhe skriz spivpadaye z analitichnoyu funkciyeyu na oblasti W displaystyle Omega Faktichno ce chastinnij vipadok bilsh zagalnogo rezultatu pro regulyarnist rozv yazkiv en diferencialnih rivnyan z chastinnimi pohidnimi Vipadok kilkoh zminnih Isnuyut nalezhnim chinom uzagalneni umovi Koshi Rimana i v en Voni utvoryuyut suttyevo en diferencialnih rivnyan z chastinnimi pohidnimi Ce robitsya z vikoristannyam pryamogo uzagalnennya en de rozglyanuta funkciya povinna mati chastinnu pohidnu Virtingera vidnosno kozhnoyi kompleksnoyi zminnoyi yaka dorivnyuye nulyu Kompleksni diferencialni formi Yak zazvichaj formulyuyut en displaystyle bar partial anulyuye golomorfni funkciyi Ce bezposeredno uzagalnyuye formulyuvannya f z 0 displaystyle frac partial f partial bar z 0 de f z 1 2 f x i f y displaystyle frac partial f partial bar z frac 1 2 left frac partial f partial x rm i frac partial f partial y right Peretvorennya Beklunda Z tochki zoru en umovi Koshi Rimana ye prostim prikladom peretvorennya Beklunda Bilsh skladni u zagalnomu vipadku nelinijni peretvorennya Beklunda taki yak rivnyannya sinus Gordona predstavlyayut znachnij interes u teoriyi solitoniv ta integrovanih sistem Oznachennya v algebri Klifforda V algebri Klifforda kompleksne chislo z x i y displaystyle z x rm i y predstavlyayetsya yak z x I y displaystyle z equiv x Iy de I s 1 s 2 displaystyle I equiv sigma 1 sigma 2 Operator fundamentalnoyi pohidnoyi v algebri Klifforda kompleksnih chisel viznachayetsya yak s 1 x s 2 y displaystyle nabla equiv sigma 1 partial x sigma 2 partial y Funkciya f u I v displaystyle f u Iv vvazhayetsya analitichnoyu todi j lishe todi koli f 0 displaystyle nabla f 0 abo u rozgornutomu viglyadi 0 f s 1 x s 2 y u s 1 s 2 v s 1 x u s 1 s 1 s 2 s 2 x v s 2 y u s 2 s 1 s 2 s 1 y v 0 displaystyle begin aligned 0 nabla f amp sigma 1 partial x sigma 2 partial y u sigma 1 sigma 2 v amp sigma 1 partial x u underbrace sigma 1 sigma 1 sigma 2 sigma 2 partial x v sigma 2 partial y u underbrace sigma 2 sigma 1 sigma 2 sigma 1 partial y v 0 end aligned Pislya peregrupuvannya otrimayemo f s 1 x u y v s 2 x v y u 0 x u y v 0 x v y u 0 displaystyle begin aligned nabla f sigma 1 partial x u partial y v sigma 2 partial x v partial y u 0 begin cases partial x u partial y v 0 partial x v partial y u 0 end cases end aligned Zvidsi u tradicijnih poznachennyah u x v y u y v x displaystyle begin cases dfrac partial u partial x dfrac partial v partial y dfrac partial u partial y dfrac partial v partial x end cases Konformni vidobrazhennya dlya vishih rozmirnostej Nehaj W displaystyle Omega vidkrita mnozhina v evklidovomu prostori R n displaystyle mathbb R n Rivnyannya dlya vidobrazhennya sho zberigaye oriyentaciyu f W R n displaystyle f colon Omega to mathbb R n ye konformnim vidobrazhennyam tobto take sho zberigaye kuti yaksho D f T D f det D f 2 n I displaystyle Df mathsf T Df det Df 2 n I de D f displaystyle Df matricya Yakobi D f T displaystyle Df mathsf T transformovana matricya Yakobi I displaystyle I odinichna matricya U vipadku n 2 displaystyle n 2 cya sistema ekvivalentna standartnim umovam Koshi Rimana dlya kompleksnih zminnih a rozv yazki cih umov ye golomorfnimi funkciyami U rozmirnosti n gt 2 displaystyle n gt 2 ci umovi vse she inodi nazivayut sistemoyu Koshi Rimana i z teoremi Liuvilya viplivaye za vidpovidnih pripushen pro gladkist sho bud yake take vidobrazhennya ye peretvorennyam Mebiusa Div takozhGolomorfna funkciya Teorema Lumana Menshova Teorema MoreriPrimitkid Alembert Jean 1752 Essai d une nouvelle theorie de la resistance des fluides Paris David l aine Reprint 2018 by Hachette Livre BNF ISBN 978 2012542839 Euler Leonhard 1797 Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 10 3 19 Cauchy Augustin L 1814 Memoire sur les integrales definies Oeuvres completes Ser 1 Vol 1 Paris published 1882 pp 319 506 Riemann Bernhard 1851 Grundlagen fur eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veranderlichen komplexen Grosse In H Weber ed Riemann s gesammelte math Werke in German Dover published 1953 pp 3 48 Rudin 1966 Div Klein Felix 1893 On Riemann s theory of algebraic functions and their integrals Translated by Frances Hardcastle Cambridge MacMillan and Bowes Polya George Szego Gabor 1978 Problems and theorems in analysis I Springer ISBN 3 540 63640 4 Chanson H 2007 Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Reels la Contribution de Joseph Louis Lagrange Velocity Potential in Real Fluid Flows Joseph Louis Lagrange s Contribution Journal la Houille Blanche 5 127 131 doi 10 1051 lhb 2007072 ISSN 0018 6368 S2CID 110258050 Kobayashi Shoshichi Nomizu Katsumi 1969 Foundations of differential geometry volume 2 Wiley Proposition IX 2 2 Rudin 1966 Theorem 11 2 Dieudonne Jean Alexandre 1969 Foundations of modern analysis Academic Press 9 10 Ex 1 Looman 1923 p 107 Gray amp Morris 1978 Theorem 9 Iwaniec T Martin G 2001 Geometric function theory and non linear analysis Oxford p 32 LiteraturaGray J D Morris S A April 1978 When is a Function that Satisfies the Cauchy Riemann Equations Analytic The American Mathematical Monthly 85 4 246 256 doi 10 2307 2321164 JSTOR 2321164 Looman H 1923 Uber die Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen Gottinger Nachrichten nim 97 108 Rudin Walter 1966 Real and complex analysis vid 3rd McGraw Hill opublikovano opublikovano 1987 ISBN 0 07 054234 1 Dodatkova literaturaAhlfors Lars 1953 Complex analysis vid 3rd McGraw Hill opublikovano opublikovano 1979 ISBN 0 07 000657 1 Solomentsev E D 2001 Cauchy Riemann conditions U Hazewinkel Michiel Encyclopedia of Mathematics Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Stewart Ian Tall David 1983 Complex Analysis vid 1st CUP opublikovano opublikovano 1984 ISBN 0 521 28763 4 Zovnishni posilannyaWeisstein Eric W Cauchy Riemann Equations angl na sajti Wolfram MathWorld