Гармонічна функція

Функція ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ визначена на ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ називається гармонічною в цій області, якщо f є двічі неперервно диференційовною і є розв’язком рівняння Лапласа:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0.}$

Для позначення цього використовуються позначення ${\displaystyle \textstyle \Delta f=0}$ або ${\displaystyle \nabla ^{2}f=0.}$

Властивості

• Якщо D — скінченна область і гармонічна функція ${\displaystyle f\in C^{1}({\bar {D}})}$ тоді:

${\displaystyle \int _{S}{\frac {\partial f}{\partial \nu }}\,d\sigma =0.}$

• Теорема про середнє значення: якщо f(x) — гармонічна функція у кулі B(x₀,r) радіуса r з центром ${\displaystyle x_{0}}$ і ${\displaystyle f\in C^{1}({\bar {B}})}$ то її значення в центрі кулі дорівнює середньому арифметичному її значень на сфері S(x₀,r), тобто

${\displaystyle u(x_{0})={\frac {1}{n\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x_{0},r)}u\,d\sigma ={\frac {1}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x_{0},r)}u\,dy}$

де ${\displaystyle \omega _{n}}$ — об'єм одиничної кулі в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

У припущенні неперервності f(x) ця властивість може бути прийнята як визначення гармонічної функції.

• Принцип екстремуму: якщо D — область в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, що не містить усередині точки ${\displaystyle \infty ,}$ f(x) — гармонічна функція у D, ${\displaystyle f(x)\neq const}$, то ні в якій точці ${\displaystyle x_{0}\in D}$ функція f(x) не може досягати локального екстремуму, тобто в будь-якому околі V(x₀) кожної точки ${\displaystyle x_{0}\in D}$ знайдеться точка ${\displaystyle x^{*}\in V(x_{0})}$, у якій ${\displaystyle f(x^{*})>f(x_{0})}$, і знайдеться точка ${\displaystyle x^{*}\in V(x_{0})}$, у якій ${\displaystyle f(x^{*})<f(x_{0}).}$

Якщо, крім того, і ${\displaystyle x\in C({\bar {D}})}$, то найбільше і найменше значення f(x) в замкнутій області ${\displaystyle {\bar {D}}}$ досягаються тільки в точках межі ${\displaystyle \partial D}$. Відповідно, якщо ${\displaystyle |f(x)|\leq M}$ на ${\displaystyle \partial D}$, то ${\displaystyle |f(x)|\leq M}$ на всій множині ${\displaystyle {\bar {D}}}$.

• Якщо f(x) — гармонічна функція у всьому просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\,n\geq }$ 2 обмежена зверху або знизу, то f(x)= const.((Теорема Ліувіля))

• Якщо f(x) — гармонічна функція у околі точки ${\displaystyle x_{0}=((x_{1})_{0},\ldots ,(x_{n})_{0}),}$ то f(x) розкладається в цьому околі у степеневий ряд за змінними ${\displaystyle x_{1}-(x_{1})_{0},\ldots ,x_{n}-(x_{n})_{0},}$ тобто довільна гармонічна функція є аналітичною функцією і має часткові похідні всіх порядків, які в свою чергу є гармонічними функціями.

• Властивість єдиності: якщо f(x) — гармонічна функція у області ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ і ${\displaystyle f(x)\equiv 0}$ в деякому n-вимірному околі довільної точки ${\displaystyle x_{0}\in D}$ то ${\displaystyle f(x)\equiv 0}$ в D.

Якщо f(x) — аналітична функція дійсних змінних у області ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ і якщо в деякому n-вимірному околі точки ${\displaystyle x_{0}\in D}$ функція f(x) є гармонічною то вона є гармонічною в усій області D.

• Принцип симетрії: Нехай межа ${\displaystyle \partial D}$ області ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ містить відкриту в площині x_n=0 множину G, і f(x) — гармонічна функція у D і f(x) = 0 і неперервна усюди на G. Якщо ${\displaystyle {\hat {D}}}$ — область, симетрична з D відносно гіперплощини x_n=0 тоді f(x) гармонійно продовжується в область ${\displaystyle D\cup G\cup {\hat {D}}}$ за формулою:

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})=-f(x_{1},\ldots ,x_{n-1},-x_{n}),\quad (x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})\in {\hat {D}}.}$

• Перша теорема Гарнака: якщо послідовність ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$ гармонічних функцій у обмеженій області D, неперервних в замкнутій області ${\displaystyle {\bar {D}}}$, є рівномірно збіжною на межі ${\displaystyle \partial D}$, то вона є рівномірно збіжною у D, причому гранична функція ${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$ є гармонічною функцією у D.

• Друга теорема Гарнака: якщо послідовність ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$ гармонічних функцій в області D, є монотонною і збігається принаймні в одній точці ${\displaystyle x_{0}\in D}$, то вона збігається усюди в D і гранична функція ${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$ є гармонічною.

Див. також

• Бігармонічна функція
• Голоморфна функція
• Плюрігармонічна функція
• Рівняння Лапласа
• Субгармонічна функція

Література

• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985
• Перестюк М.О., Маринець В.В. (Zip) – К.: Либідь, 2001. – 336 с.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2100+ с.(укр.)
• Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.— Л., 1950;
• Тиман А. Ф., Трофимов В. Н., Введение в теорию гармонических функций, М., 1968;
• Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey. Harmonic Function Theory [ 17 липня 2011 у Wayback Machine.] Springer,