Плюрігармонічна функція

Плюрігармонічна функція — два рази неперервно диференційовна, функція комплексних змінних ${\displaystyle f\colon G\subset {\mathbb {C} }^{n}\to {\mathbb {C} }}$, така що для будь-якої комплексної прямої ${\displaystyle \{a+bz\mid z\in {\mathbb {C} }\}}$ функція

${\displaystyle z\mapsto f(a+bz)}$

є гармонічною на множині

${\displaystyle \{z\in {\mathbb {C} }\mid a+bz\in G\}}$.

Аналогічним означення є і для функцій кількох комплексних змінних зі значенням у множині дійсних чисел.

Для дійснозначних функцій також можна дати еквівалентне означення через часткові похідні. Нехай ${\displaystyle f\colon G\subset {\mathbb {C} }^{n}\to {\mathbb {R} }:(z_{1},\ldots ,z_{n})\to f(z_{1},\ldots ,z_{n})}$ така функція і ${\displaystyle z_{k}=x_{k}+y_{k}i,\;k=1,\ldots ,n}$ — запис комплексних змінних через їх дійсні й уявні складові. Функція ${\displaystyle f}$ є плюрісубгармонічною тоді і тільки тоді, коли вона має неперервні часткові похідні по змінних ${\displaystyle x_{k},y_{l}}$ до другого порядку включно і задовольняє систему рівнянь:

${\displaystyle {\begin{cases}{\partial ^{2}f \over \partial x_{k}\partial x_{l}}+{\partial ^{2}f \over \partial y_{k}\partial y_{l}}=0,\\{\partial ^{2}f \over \partial x_{k}\partial y_{l}}-{\partial ^{2}f \over \partial y_{k}\partial x_{l}}=0,\end{cases}}}$

де ${\displaystyle k,l=1,\ldots ,n.}$

Позначаючи, як звично:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),}$

дану систему можна записати у більш зручному виді:

${\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial z_{k}\partial {\bar {z}}_{l}}=0,\;\;k,l=1,\ldots ,n.}$

Комплекснозначна функція буде плюрігармонічною тоді і тільки тоді, коли її дійсна і уявна частини задовольнятимуть рівнянням вище.

Властивості

• Кожна плюрігармонічна функція є гармонічною функцією. У випадку функцій однієї комплексної змінної правильним є і обернене твердження. Натомість для функцій більш ніж однієї змінної обернене твердження є неправильним. Наприклад дійснозначна функція ${\displaystyle f(x_{1}+iy_{1},x_{2}+iy_{2})=x_{1}y_{2}}$ є гармонічною в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$⁣, але вона не є плюрігармонічною оскільки, наприклад, на прямій ${\displaystyle (z,iz)}$ її значення рівні ${\displaystyle f(z,iz)=({\text{Re}}\;z)^{2}}$ і ${\displaystyle ({\text{Re}}\;z)^{2}}$ не є гармонічною функцією. Плюрігармонічні функції кількох комплексних змінних також є правильним підкласом кратногармонічних функцій.
• Також плюрігармонічні функції є правильним підкласом плюрісубгармонічних функцій, що для ${\displaystyle n>1}$ є правильним підкласом субгармонічних функцій.
• Важливість плюрігармонічних функцій у комплексному аналізі кількох змінних пояснюється тим, що для голоморфної функції декількох комплексних змінних її дійсна (і уявна) частини є плюрігармонічними функціями. Плюрігармонічні функції, що є дійсною і уявною частинами голоморфної функції називаються спряженими.
• Навпаки, якщо дано плюрігармонічну функцію ${\displaystyle u}$ в однозв'язному околі V точки ${\displaystyle z_{0}}$, то в цьому околі існує голоморфна функція ${\displaystyle f=u+iv}$, дійсна частина якої дорівнює ${\displaystyle u}$. Завдання визначення цієї голоморфної функції ${\displaystyle g}$ зводиться до знаходження спряженої плюрігармонічної функції за формулою

${\displaystyle v(z)=\int _{z_{0}}^{z}\textstyle \sum _{k=1}^{n}\left(-{\partial u \over \partial y_{k}}dx_{k}+{\partial u \over \partial x_{k}}dy_{k}\right)+C,\;\;z\in V.}$

Див. також

• Гармонічна функція
• Плюрісубгармонічна функція
• Субгармонічна функція

Література

• Gunning, Robert C. (1990), Introduction to Holomorphic of Several Complex Variables. Vol. 1 Function theory, Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series, Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN .
• Krantz, Steven G. (1992), Function Theory of Several Complex Variables, Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series (вид. Second), Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole, с. xvi+557, ISBN , MR 1162310, Zbl 776.32001.