Куля (геометрія)

Куля — тіло, утворене обертанням круга навколо його діаметра. Центром кулі називають центр круга, обертанням якого її утворено. Відрізок, який сполучає центр кулі з довільною точкою її поверхні, — радіус кулі. Відрізок, який сполучає дві довільні точки поверхні кулі, — її хорда. Хорда кулі, яка проходить через центр, — діаметр кулі.

Куля з витнутою 1/8 і позначенням радіусу

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Куля (значення).

Запит «Кулька» перенаправляє сюди; див. також інші значення.

Куля може бути закритою (включати точки на межі які утворюють сферу) і відкритою (не включати їх).

Також можливе інше визначення терміна «куля» — це множина всіх точок простору, що перебувають від заданої точки ${\displaystyle O}$ на відстані, не більшій за дану відстань ${\displaystyle R}$. При цьому точка ${\displaystyle O}$ називається центром, а ${\displaystyle R}$ — радіусом кулі. Будь-який відрізок, який сполучає центр кулі з точкою кульової поверхні, також називається радіусом.

Поверхня кулі називається сферою. Також дуже часто кулею називають частину простору, обмежену сферою.

Куля в аналітичній геометрії

${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\leqslant R^{2}}$ — рівняння кулі з центром в точці з координатами ${\displaystyle (a,b,c)}$ та радіусом ${\displaystyle R}$.

Взагалі, рівняння кулі в n-вимірному просторі виглядає як

${\displaystyle (x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+\ldots +(x_{n}-a_{n})^{2}\leqslant R^{2}}$, де ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$ — координати її центра.

Куля в 2-вимірному просторі — круг, а в n-вимірному, якщо ${\displaystyle n\geqslant 4}$, вона називається гіперкулею.

Площа сфери та об'єм кулі

Площу сфери, яка обмежує кулю з радіусом ${\displaystyle R}$, можна підрахувати за формулою

${\displaystyle S=4\pi R^{2}\,\!}$, що приблизно дорівнює ${\displaystyle 12,6R^{2}\,\!}$.

Площа поверхні кулі є найменшою серед площ поверхонь стереометричних тіл з однаковим об'ємом.
Об'єм кулі можна знайти за формулою

${\displaystyle V={\frac {4\pi R^{3}}{3}}\approx 4,2R^{3}\,\!}$.

Переріз кулі площиною

Будь-який переріз кулі площиною є круг. Центр цього круга є основою перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину. Радіус такого перерізу визначається формулою

${\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-l^{2}}}}$, де ${\displaystyle R}$ — радіус кулі, ${\displaystyle l}$ — відстань від центра кулі до перерізу.

Площина, яка проходить через центр кулі, називається діаметральною площиною, переріз нею кулі — великим кругом, а переріз сфери — великим колом. Радіус великого круга та великого кола дорівнює радіусові кулі. Будь-яка діаметральна площина кулі є її площиною симетрії.

Частини кулі

Частини кулі: зеленим кольором позначено сектор, сірим — сегмент, жовтим — зріз кулі.

Сегмент

Докладніше: Кульовий сегмент

Сегмент кулі — це та її частина, що утворюється внаслідок перерізу площиною. Основними величинами, які характеризують сегмент, є радіус кулі ${\displaystyle R}$ та довжина перпендикуляра, опущеного на центр перерізу зі сфери, ${\displaystyle H}$. Довжина цього перпендикуляра також дорівнює різниці між радіусом ${\displaystyle R}$ і відстанню від центра до перерізу ${\displaystyle l}$, тобто ${\displaystyle H=R-l}$. Таким чином об'єм сегмента дорівнює

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi H^{2}(3R-H)}$,

а площа поверхні —

${\displaystyle S=2\pi RH\,\!}$

Зріз

Докладніше: Кульовий шар

Зріз (кульовий шар) — це стереометричне тіло, утворене перерізами кулі двома паралельними площинами. Він характеризується такими величинами:

• Радіус відповідної кулі, ${\displaystyle R}$;
• Відстань між двома перерізами, ${\displaystyle H}$;
• Радіуси обох перерізів, ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$.

Об'єм зрізу визначається формулою

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\pi H^{3}+{\frac {1}{2}}\pi (r_{1}^{2}+r_{2}^{2})H}$,

а площа поверхні —

${\displaystyle S=2\pi RH\,\!}$.

Сектор

Докладніше: Кульовий сектор

Сектор складається з кульового сегмента та конуса, основа якого збігається з основою сегмента, а вершина — з центром кулі. Сектор характеризують радіус кулі ${\displaystyle R}$ та довжина перпендикуляра, опущеного на центр основи конуса зі сфери, ${\displaystyle H}$. Об'єм сектора:

${\displaystyle V={\frac {2}{3}}\pi R^{2}H}$.

Площа його поверхні:

${\displaystyle \pi R(2H+{\sqrt {2HR-H^{2}}})}$.

Вписані й описані кулі

Описана куля

Докладніше: Описана сфера

Куля називається описаною навколо багатогранника, якщо всі вершини багатогранника лежать на поверхні кулі (сфери). В цьому випадку багатогранник називають вписаним в кулю. Центр кулі, описаної навколо багатогранника, рівновіддалений від всіх його вершин, тобто є точкою перетину площин, проведених через середини ребер багатогранника (призми, піраміди) перпендикулярно до них. Відстань від центра кулі до вершин багатогранника — його радіус.

Вписана куля

Докладніше: Вписана сфера

Куля називається вписаною в багатогранник, якщо всі грані багатогранника дотикаються до кулі. Багатогранник у цьому випадку називається описаним навколо кулі (сфери). Центр кулі, вписаної у багатогранник, рівновіддалений від усіх його граней. Він є точкою перетину півплощин, проведених через ребра двогранних кутів, утворених двома суміжними гранями, які поділяють цей кут навпіл. Відстань від центра кулі до граней — його радіус.

Додаткові відомості

Куля так само, як циліндр і конус, є тілом обертання. Вона утворюється при обертанні навколо його діаметра як осі. Цей діаметр називають віссю кулі, а його кінці — полюсами кулі.
Відрізок, який сполучає дві точки кульової поверхні і проходить через центр кулі, називається діаметром. Кінці будь-якого діаметра називаються діаметрально протилежними точками кулі.

Див. також

• Сфера
• Круг і Коло
• Тіла обертання
• Площа і Об'єм

Посилання

• Куля // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 114. — .