Півплощина

Півплощина в математиці — множина точок площини, що лежать по один бік від деякої прямої на цій площині.

Верхня півплощина

Координатні подання

Декартові координати

Координати точок півплощини задовольняють нерівності:

${\displaystyle Ax+By+C>0}$

де ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ — деякі сталі, причому ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ одночасно не дорівнюють нулю.

Якщо сама пряма ${\displaystyle Ax+By+C=0}$ (межа півплощини) зараховується до цієї півплощини, то таку півплощину називають замкнутою.

Комплексні координати

На комплексній площині ${\displaystyle z=x+iy}$ розглядають:

• верхню півплощину ${\displaystyle y={\text{Im }}z>0}$,
• нижню півплощину ${\displaystyle y={\text{Im }}z<0}$,
• ліву півплощину ${\displaystyle x={\text{Re }}z<0}$,
• праву півплощину ${\displaystyle x={\text{Re }}z>0}$.

Властивості

• Дві точки лежать по один бік від прямої тоді й лише тоді, коли відрізок між ними не перетинається з цією прямою.
• Півплощина комплексної площини конформно відображається на коло за допомогою дробово-лінійної функції. Таке відображення з верхньої півплощини в одиничне коло (і назад) називають перетворенням Келі.

Див. також

• Промінь
• Півпростір