Кульови́й сегме́нт — частина кулі, відрізана від неї площиною. Поверхнями кульового сегмента є сферичний сегмент і круг, утворений при перетині кулі площиною.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHlMekptTDFOd2FHVnlhV05oYkY5allYQmZaR2xoWjNKaGJTNTBhV1ptTDJ4dmMzTnNaWE56TFhCaFoyVXhMVEl5TUhCNExWTndhR1Z5YVdOaGJGOWpZWEJmWkdsaFozSmhiUzUwYVdabUxuQnVadz09LnBuZw==.png)
Якщо січна площина проходить через центр кулі, то такі кульові сегменти є однаковими і називаються півкулями.
Властивості тримірних фігур інколи ілюструють прикладами подібних алгебраїчних об'єктів, попри те що геометрично вони відмінні. Наприклад рівняння сфери та площини у тримірному просторі, за сталого значення однієї з координат чи проекції, відповідають рівнянням кола та прямої для двомірного випадку. Тому кажуть що круговий сегмент є двомірним випадком кульового сегмента. З тієї ж причини інколи розглядається багатовимірна, сфероїдна чи еліпсоїдна подоба.
Основні визначення
- Основа кульового сегмента — це круг радіуса a, утворений при перетині кулі площиною.
- Висота кульового сегмента (h) — найбільша відстань від січної площини (площини основи) до поверхні сегмента.
- Залежність між радіусом основи і висотою кульового сегмента має вигляд
.
Об'єм кульового сегмента
Через його параметри
Якщо радіус основи сегмента дорівнює , висота сегмента —
, тоді об'єм V кульового сегмента буде
,
Вираз через радіус сферичного сегмента та висоту
:
Двомірний випадок
Через радіус сегмента круга та висоту
, чи з кутом
та радіусом основи
:
Останній вираз ілюструє простий зв'язок з об'ємом сектора та його конічною частиною ,
,
. Для тримірного простору такий зв'язок менш очевидний, через те що подобою кута в радіанах є стерадіан, який пов'язаний із плоским аналогом більш складно.
Для довільної вимірності
- (рекурентний зв'язок):
- в явному вигляді
де
- між сусідніми вимірностями
де
Розрахунок через інтегрування
За алгебраїчного використання, коли вираз є проміжним, чи для ілюстрації залежності від параметрів бувають корисні вирази у інтегральній формі:
- інтегрування через висоту
де .
- інтегрування через кут
де
Оптимізація під алгебраїчну простоту на кожному кроці не завжди є оптимальною, оперування загальними виразами може бути корисним у доведеннях через те що вони є параметрами для загальних інваріантів.
Площа сферичної поверхні кульового сегмента
Площа сферичної частини поверхні сегмента (сегмента сфери) дорівнює
або
.
Параметри ,
і
пов'язані співвідношеннями
,
.
Підстановка останньої залежності у перший вираз для обчислення площі дає рівняння
.
Див. також
Примітки
- «Кульовий сегмент» [ 12 квітня 2017 у Wayback Machine.] / Українська радянська енциклопедія : у 12 т. / гол. ред. М. П. Бажан ; редкол.: О. К. Антонов та ін. — 2-ге вид. — К. : Головна редакція УРЕ, 1974–1985.
- Polyanin, Andrei D; Manzhirov, Alexander V. (2006), , CRC Press, с. 69, ISBN , архів оригіналу за 2 лютого 2017, процитовано 3 вересня 2017.
Посилання
- Кульовий сегмент [ 18 серпня 2017 у Wayback Machine.] / на сайті «ЯКлас».
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kulovi j segme nt chastina kuli vidrizana vid neyi ploshinoyu Poverhnyami kulovogo segmenta ye sferichnij segment i krug utvorenij pri peretini kuli ploshinoyu Priklad kulovogo segmenta zafarbovanij sinim Insha chastina kuli takozh ye kulovim segmentom Yaksho sichna ploshina prohodit cherez centr kuli to taki kulovi segmenti ye odnakovimi i nazivayutsya pivkulyami Vlastivosti trimirnih figur inkoli ilyustruyut prikladami podibnih algebrayichnih ob yektiv popri te sho geometrichno voni vidminni Napriklad rivnyannya sferi ta ploshini u trimirnomu prostori za stalogo znachennya odniyeyi z koordinat chi proekciyi vidpovidayut rivnyannyam kola ta pryamoyi dlya dvomirnogo vipadku Tomu kazhut sho krugovij segment ye dvomirnim vipadkom kulovogo segmenta Z tiyeyi zh prichini inkoli rozglyadayetsya bagatovimirna sferoyidna chi elipsoyidna podoba Osnovni viznachennyaOsnova kulovogo segmenta ce krug radiusa a utvorenij pri peretini kuli ploshinoyu Visota kulovogo segmenta h najbilsha vidstan vid sichnoyi ploshini ploshini osnovi do poverhni segmenta Zalezhnist mizh radiusom osnovi i visotoyu kulovogo segmenta maye viglyad a h 2 r h displaystyle a sqrt h 2r h Ob yem kulovogo segmentaCherez jogo parametri Yaksho radius osnovi segmenta dorivnyuye a displaystyle a visota segmenta h displaystyle h todi ob yem V kulovogo segmenta bude V p h 6 3 a 2 h 2 displaystyle V frac pi h 6 3a 2 h 2 Viraz cherez radius sferichnogo segmenta r displaystyle r ta visotu h displaystyle h n 3 V d o m e 1 3 p h 2 3 r h displaystyle n 3 V dome frac 1 3 pi h 2 3r h Dvomirnij vipadok Cherez radius segmenta kruga r displaystyle r ta visotu h displaystyle h chi z kutom 8 displaystyle theta ta radiusom osnovi a displaystyle a n 2 V d o m e r 2 A r c C o s r h r r h h 2 r h r 2 8 a r h displaystyle n 2 V dome r 2 ArcCos left frac r h r right r h sqrt h 2r h r 2 theta a r h Ostannij viraz ilyustruye prostij zv yazok z ob yemom sektora ta jogo konichnoyu chastinoyu V d o m e V s e c t o r V c o n e displaystyle textstyle V dome V sector V cone V c o n e r h n r h n V b a l l a n 1 displaystyle textstyle V cone r h n tfrac r h n V ball a n 1 V b a l l r k r k p k 2 G k 2 1 displaystyle textstyle V ball r k frac r k pi k 2 Gamma left k 2 1 right Dlya trimirnogo prostoru takij zv yazok mensh ochevidnij cherez te sho podoboyu kuta v radianah ye steradian yakij pov yazanij iz ploskim analogom bilsh skladno Dlya dovilnoyi vimirnosti rekurentnij zv yazok v yavnomu viglyadi V d o m e r t i 2 2 p r 2 i 2 V d o m e r t i r V b a l l r i 1 i 1 t 1 t 2 i 1 2 displaystyle V dome r t i 2 tfrac 2 pi r 2 i 2 left V dome r t i tfrac rV ball r i 1 i 1 t left 1 t 2 right frac i 1 2 right de i 1 t cos 8 r h r V b a l l r 0 1 displaystyle i geqslant 1 t cos theta tfrac r h r V ball r 0 1 mizh susidnimi vimirnostyami V d o m e r h i 0 2 a V d o m e r x h x i 1 d x displaystyle V dome r h i int limits 0 2a V dome left r x h x i 1 right dx de i 1 r h r x r 1 a x r 2 h x r x r h a h 2 r h displaystyle textstyle i geqslant 1 r geqslant h r x r sqrt 1 left frac a x r right 2 h x r x r h a sqrt h 2r h Rozrahunok cherez integruvannya Za algebrayichnogo vikoristannya koli viraz ye promizhnim chi dlya ilyustraciyi zalezhnosti vid parametriv buvayut korisni virazi u integralnij formi integruvannya cherez visotu V d o m e r h n r h r V b a l l a x n 1 d x r V b a l l r n 1 t 1 1 x 2 n 1 2 d x displaystyle V dome r h n int limits r h r V ball left a x n 1 right dx r V ball r n 1 int limits t 1 1 x 2 frac n 1 2 dx de a x r 2 x 2 t cos 8 r h r displaystyle a x sqrt r 2 x 2 t cos theta frac r h r integruvannya cherez kut V d o m e r h n r V b a l l r n 1 0 8 sin n ϕ d ϕ displaystyle V dome r h n r V ball r n 1 int limits 0 theta sin n phi d phi de cos 8 r h r displaystyle cos theta frac r h r Optimizaciya pid algebrayichnu prostotu na kozhnomu kroci ne zavzhdi ye optimalnoyu operuvannya zagalnimi virazami mozhe buti korisnim u dovedennyah cherez te sho voni ye parametrami dlya zagalnih invariantiv Plosha sferichnoyi poverhni kulovogo segmentaPlosha sferichnoyi chastini poverhni segmenta segmenta sferi dorivnyuye A 2 p r h displaystyle A 2 pi rh abo A 2 p r 2 1 cos 8 displaystyle A 2 pi r 2 1 cos theta Parametri a displaystyle a h displaystyle h i r displaystyle r pov yazani spivvidnoshennyami r 2 r h 2 a 2 r 2 h 2 2 r h a 2 displaystyle r 2 r h 2 a 2 r 2 h 2 2rh a 2 r a 2 h 2 2 h displaystyle r frac a 2 h 2 2h Pidstanovka ostannoyi zalezhnosti u pershij viraz dlya obchislennya ploshi daye rivnyannya A 2 p a 2 h 2 2 h h p a 2 h 2 displaystyle A 2 pi frac a 2 h 2 2h h pi a 2 h 2 Div takozhSferichnij segment Kulovij shar Kulovij sektor Sferichna obolonkaPrimitki Kulovij segment 12 kvitnya 2017 u Wayback Machine Ukrayinska radyanska enciklopediya u 12 t gol red M P Bazhan redkol O K Antonov ta in 2 ge vid K Golovna redakciya URE 1974 1985 Polyanin Andrei D Manzhirov Alexander V 2006 CRC Press s 69 ISBN 9781584885023 arhiv originalu za 2 lyutogo 2017 procitovano 3 veresnya 2017 PosilannyaKulovij segment 18 serpnya 2017 u Wayback Machine na sajti YaKlas