Спря́женими числами (також комплексно-спря́женими числами) називаються два комплексні числа, які мають таку саму дійсну частину та протилежні за знаком уявні частини. Наприклад, спряженими є числа 3 + 4i та 3 − 4i. Число спряжене до числа позначається . У загальному випадку, спряженим до числа
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODJMelk1TDBOdmJYQnNaWGhmWTI5dWFuVm5ZWFJsWDNCcFkzUjFjbVV1YzNabkx6SXlNSEI0TFVOdmJYQnNaWGhmWTI5dWFuVm5ZWFJsWDNCcFkzUjFjbVV1YzNabkxuQnVadz09LnBuZw==.png)
де та — дійсні числа, є
Наприклад,
На комплексній площині спряжені числа представлені точками, симетричними відносно дійсної осі. У полярній системі координат спряжені числа мають вигляд та , що безпосередньо випливає з формули Ейлера.
Спряженими числами є корені квадратного рівняння з дійсними коефіцієнтами та від'ємним дискримінантом.
Властивості
Для довільних комплексних чисел та
:
є дійсним числом
для всіх цілих
, (тобто, спряження є інволюцією)
, якщо z не дорівнює нулю. За допомогою цієї властивості обчислюють обернене комплексного числа заданого у прямокутних координатах.
- Якщо
є голоморфною функцією, звуження якої на множину дійсних чисел є дійсною функцією, та визначено
, то
Визначення координат числа та спряження
Прямокутні та полярні координати комплексного числа можуть бути визначені за допомогою формул:
(якщо z не дорівнює нулю).
Див. також
Примітки
- Weisstein, Eric W. Complex Conjugates(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Ця стаття потребує додаткових для поліпшення її . (квітень 2020) |
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Sprya zhenimi chislami takozh kompleksno sprya zhenimi chislami nazivayutsya dva kompleksni chisla yaki mayut taku samu dijsnu chastinu ta protilezhni za znakom uyavni chastini Napriklad spryazhenimi ye chisla 3 4i ta 3 4i Chislo spryazhene do chisla z displaystyle z poznachayetsya z displaystyle overline z U zagalnomu vipadku spryazhenim do chisla z displaystyle z Geometrichne predstavlennya z displaystyle z ta jogo spryazhenogo z displaystyle bar z na kompleksnij ploshini z a i b displaystyle z a ib de a displaystyle a ta b displaystyle b dijsni chisla ye z a i b displaystyle overline z a ib Napriklad 3 2 i 3 2 i displaystyle overline 3 2i 3 2i 7 7 displaystyle overline 7 7 i i displaystyle overline i i Na kompleksnij ploshini spryazheni chisla predstavleni tochkami simetrichnimi vidnosno dijsnoyi osi U polyarnij sistemi koordinat spryazheni chisla mayut viglyad r e i ϕ displaystyle re i phi ta r e i ϕ displaystyle re i phi sho bezposeredno viplivaye z formuli Ejlera Spryazhenimi chislami ye koreni kvadratnogo rivnyannya z dijsnimi koeficiyentami ta vid yemnim diskriminantom VlastivostiDlya dovilnih kompleksnih chisel z displaystyle z ta w displaystyle w z w z w displaystyle overline z pm w overline z pm overline w z w z w displaystyle overline zw overline z overline w z z z displaystyle overline z z Leftrightarrow z ye dijsnim chislom z n z n displaystyle overline z n overline z n dlya vsih cilih n displaystyle n z z displaystyle left overline z right left z right z 2 z z z z displaystyle left z right 2 z overline z overline z z z z displaystyle overline overline z z tobto spryazhennya ye involyuciyeyu z 1 z z 2 displaystyle z 1 frac overline z left z right 2 yaksho z ne dorivnyuye nulyu Za dopomogoyu ciyeyi vlastivosti obchislyuyut obernene kompleksnogo chisla zadanogo u pryamokutnih koordinatah Yaksho ϕ displaystyle phi ye golomorfnoyu funkciyeyu zvuzhennya yakoyi na mnozhinu dijsnih chisel ye dijsnoyu funkciyeyu ta viznacheno ϕ z displaystyle phi z to ϕ z ϕ z displaystyle phi overline z overline phi z Zokrema exp z exp z displaystyle exp overline z overline exp z log z log z displaystyle log overline z overline log z yaksho z ne dorivnyuye nulyu Yaksho p displaystyle p polinom z dijsnimi koeficiyentami i p z 0 displaystyle p z 0 to takozh p z 0 displaystyle p overline z 0 Otzhe kompleksni ne dijsni koreni takih polinomiv zavzhdi utvoryuyut kompleksno spryazheni pari Viznachennya koordinat chisla ta spryazhennyaPryamokutni ta polyarni koordinati kompleksnogo chisla mozhut buti viznacheni za dopomogoyu formul x Re z z z 2 displaystyle x operatorname Re z z overline z 2 y Im z z z 2 i displaystyle y operatorname Im z z overline z 2i r z z z displaystyle rho left z right sqrt z cdot overline z e i 8 z z e i arg z z z displaystyle e i theta z left z right e i arg z sqrt z overline z yaksho z ne dorivnyuye nulyu Div takozhErmitovo spryazhena matricyaPrimitkiWeisstein Eric W Complex Conjugates angl na sajti Wolfram MathWorld Cya stattya potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya yiyi perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno kviten 2020 Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi