Додатно визначена матриця

Дода́тно ви́значена ма́триця — окремий випадок ермітової матриці, є аналогом додатних чисел, якщо розглядати ермітові матриці як узагальнення дійсних чисел.

Поняття додатно визначеної матриці тісно пов'язане з поняттям дода́тно ви́значеної квадратичної форми.

Визначення

Ермітова матриця ${\displaystyle M\!}$ є додатно визначеною тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє одну з наступних еквівалентних умов:

1. ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {C} ^{n},\;x\neq 0:\;\;x^{*}Mx>0}$   (для ермітових матриць ${\displaystyle x^{*}Mx\!}$ — завжди дійсне число).
2. Всі власні значення ${\displaystyle M\!}$ є додатними числами.
3. Задовольняє критерій Сильвестра.
4. Сесквілінійна форма (білінійна форма для випадку дійсних чисел)

${\displaystyle \langle {\textbf {x,y}}\rangle ={\textbf {x}}^{*}M{\textbf {y}}}$

задовольняє всім вимогам ермітового скалярного добутку (простого скалярного добутку для випадку дійсних чисел).

Невід'ємно визначена і від'ємно визначена матриці

• Ермітова матриця ${\displaystyle M\!}$ називається невід'є́мно ви́значеною (або іноді додатно напіввизначеною), якщо

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {C} ^{n}:\;\;x^{*}Mx\geq 0}$

Всі власні значення невід'ємно визначеної матриці — невід'ємні числа.

• Ермітова матриця ${\displaystyle M\!}$ називається від'є́мно ви́значеною, якщо

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {C} ^{n},\;x\neq 0:\;\;x^{*}Mx<0}$

Всі власні значення від'ємно визначеної матриці — від'ємні числа.

Невизначена

Ермітова матриця, яка не є ані додатно визначеною, ані від'ємновизначеною, ані додатно напіввизначеною, ані від'ємно напіввизначеною, називається неви́значеною. Невизначені матриці також характеризуються тим, що мають як додатні, так і від'ємні власні значення одночасно.

Властивості

• Всі додатньо визначені матриці мають повний ранг, їх визначник не рівний нулю і для них існує обернена матриця.
• Для будь-якої матриці ${\displaystyle M\!}$, матриці ${\displaystyle MM^{*},M^{*}M\!}$ — будуть невід'ємно визначені та матимуть однакові власні значення.

• Якщо ${\displaystyle M,N\!}$ — додатньо визначені матриці і ${\displaystyle r>0\!}$ — додатне число, тоді матриці

${\displaystyle rM,\;M+N,\;MNM,\;NMN\!}$ — також є додатньо визначеними матрицями.

І якщо ${\displaystyle \ MN=NM}$ (є переставними), тоді ${\displaystyle MN\!}$ — теж є додатньо визначеною.

• Якщо ${\displaystyle M\!}$ — додатньо визначена матриця, тоді і тільки тоді існує єдина матриця B > 0, що B²=M.

${\displaystyle M>0\iff \exists !\;B>0:\;B^{2}=M\!}$

Хоча можуть існувати не додатньо визначені матриці B, що виконуватиметься B²=M.

Див. також

• Теорія матриць
• Нормальна матриця
• Полярний розклад матриці

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
• Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)