Гіперповерхнею називається многовид розмірності , який вкладений у евклідів простір на одиницю більшої розмірності .
Одиничний вектор нормалі
Нехай гіперповерхня задана параметричними рівняннями:
Будемо скрізь в цій статті вважати функції (1) достатньо гладкими (неперервні другі похідні), з невиродженим метричним тензором .
Координатні вектори в точці многовида
задають афінний підпростір - дотичну до многовида гіперплощину. Ортогональним доповненням до гіперплощини є пряма
, що проходить через дану точку многовида і перпендикулярна до неї. Виберемо (якийсь один із двох можливих) напрям цієї прямої і відкладемо на прямій одиничний вектор
. В сусідній (близькій до точки
) точці
многовида ортогональна пряма
буде близькою за напрямком до прямої
, тому проєкція вектора
на
уже однозначно задає додатній напрям на прямій
. Відкладемо в цьому додатньому напрямку прямої
одиничний вектор
. Таким чином, рухаючись від однієї точки многовида до іншої в деякій області многовида, ми матимемо векторну функцію:
Ця функція буде неперервною (оскільки гіперповерхня (1) гладка, без особливих точок). Спробуємо поширити функцію на весь многовид. Це можна зробити в тому разі, коли рухаючись по будь-якому замкнутому контуру, що лежить в гіперповерхні, почавши з точки
і обчислюючи по неперервності вектор нормалі, ми вернемося в точку
з тим самим напрямком вектора нормалі. Така гіперповерхня називається двосторонньою або орієнтовною. Але бувають і такі гіперповерхні, що обійшовши деякий замкнутий контур ми повернемось в точку
з протилежним вектором нормалі. Такі гіперповерхні називають односторонніми або неорієнтовними. Прикладами односторонніх гіперповерхонь є стрічка Мебіуса та пляшка Клейна.
Із ортогональності вектора нормалі до координатних векторів гіперповерхні маємо рівняння:
а одинична довжина вектора нормалі описується рівнянням:
Тензор повної кривини
Із розкладу
і того факту, що існує лише один напрям , ортогональний до векторів
, слідує, що всі вектори
колінеарні вектору
, тобто ми можемо записати:
Числа є проєкціями векторів
на вектор нормалі
, а тому можуть бути як додатніми так і від'ємними. Відповідно до формули (6), кривина всіх геодезичних ліній, що проходять через фіксовану точку
многовиду, паралельна вектору
(центри кривини лежать на прямій, що ортогональна до многовиду):
Похідні вектора нормалі
Диференціювання по координатах многовида формули (4) дає:
тобто похідні одиничного вектора нормалі ортогональні до самого вектора нормалі
, а тому лежать в дотичній до многовида гіперплощині. Ми можемо розкласти вектор
по базисних векторах дотичного простору:
Знайдемо коефіцієнти розкладу . Для цього помножимо ліву і праву частини формули (9) скалярно на вектор
.
Для лівої частини маємо:
А для правої:
Із формул (9-11) одержуємо наступну формулу для обчислення похідних одиничного вектора нормалі через тензор повної кривини:
Відмітимо, що вектор ортогональний до координат на многовиді, а тому його коваріантна похідна збігається з частинною похідною (подібно до градієнта скаляра):
Для геодезичної лінії, яку ми розглянемо як криву лінію в охоплюючому -вимірному евклідовому просторі, вектор нормалі до гіперповерхні
буде збігатися з головним вектором нормалі до кривої, якщо число
в формулі (7а) додатне, або буде протилежним вектором (якщо
). Знайдемо кручення геодезичної
:
Із формули (16) ми бачимо, що кручення геодезичної лінії буде дорівнювати нулю, якщо вектор дотичної буде власним вектором матриці
:
Головні кривини і напрямки гіперповерхні
Симетричний тензор в дотичному в точці
до гіперповерхні векторному просторі задає лінійне перетворення:
і ми можемо поставити задачу на власні числа і вектори цього перетворення. Спочатку перейдемо в систему координат, яка буде прямокутною декартовою в точці (дивіться ). Оскільки метричний тензор в цій точці одиничний (
), то коваріантні і контраваріантні координати тензора
будуть однакові, тому перетворення (18) здійснюється симетричною матрицею
. Як відомо з теорії матриць, симетрична матриця має
взаємно ортогональних власних векторів
(ми можемо їх вважати також одиничними), причому всі відповідні їм власні числа є дійсними числами
(що можуть бути як додатніми так і від'ємними). В обраній системі координат маємо:
Формула (19) має тензорний характер, а тому справедлива в будь-якій системі координат, так само і ортогональність власних векторів (20) можна записати в будь-якій системі координат через метричний тензор:
За формулою (7a) ми можемо знайти кривину геодезичної лінії, що проведена паралельно одному з власних векторів :
Власні числа називаються головними кривинами гіперповерхні, а відповідні їм власні вектори - головними напрямками.
В системі координат, яка в точці гіперповерхні має координатні вектори
що збігаються з головними напрямками, матриця тензора повної кривини
буде діагональною:
Те ж саме можна записати в тензорних позначеннях:
у цій формулі додавання за індексом не проводиться.
Запишемо спектральний розклад тензора , користуючись власними числами і векторами. В довільній системі координат маємо:
Рівняння Петерсона-Кодацці
Розглянемо дію комутатора коваріантних похідних на координатні вектори:
Цей комутатор ми можемо записати через тензор повної кривини:
Порівнюючи формули (26) і (27) знаходимо:
Рівняння (29) називається рівнянням Петерсона-Кодацці. Цю рівність можна трактувати таким чином: коваріантна похідна тензора повної кривини для гіперповерхні є симетричним тензором з трьома індексами:
Тензор внутрішньої кривини
Підставимо в формулу (28) спектральний розклад (25). Знаходимо тензор Рімана:
Введемо позначення бівектора - орієнтованої площадки , побудованої на двох векторах головних напрямків:
або те саме в компонентах:
Ці бівектори мають одиничну площу і взаємно ортогональні:
У правій частині формули (31) діагональні доданки з однаковими індексами () дорівнюють нулю, а недіагональні розбиваються на дві однакові за кількістю групи: доданки з
, і доданки з
. Тому формулу (31) можна переписати так:
Із формули (36) і властивості бівектора легко видно, що має виконуватися алгебраїчна тотожність Біанкі. Адже для будь-якого бівектора (орієнтованої площадки) маємо тотожність:
В системі координат, що побудована на головних напрямках гіперповерхні, власні вектори мають координати:
Тут у виразі в дужках одиниця стоїть на -тому місці, а решта координат дорівнюють нулю.
Легко можна записати і координати бівекторів , скориставшись формулами (33):
Із (39) і (36) знаходимо ненульові компоненти тензора Рімана:
Далі, оскільки в обраній системі координат метричний тензор дорівнює одиничній матриці, знаходимо тензор Річчі і скалярну кривину:
Відображення в одиничну гіперсферу
Для кожної точки гіперповерхні маємо одиничний вектор нормалі
(формула 3), який ми відкладемо від початку декартової системи координат в евклідовому
-вимірному просторі. Кінець цього вектора (точка) лежить на гіперсфері одиничного радіуса. Задамось питанням, яким може бути на цій гіперсфері образ всієї нашої гіперповерхні.
Якщо наша гіперповерхня плоска, то її образом буде лише одна точка на гіперсфері. Образом циліндра або конуса буде лінія на гіперсфері (коло - для кругового циліндра чи конуса). В загальнішому випадку це буде деяка область на гіперсфері, яка може зокрема покривати і всю гіперсферу, навіть і неоднократно. Отже для замкнутого многовида ми маємо деяку цілочислену характеристику - скільки разів його образ покриває одиничну гіперсферу. Очевидно, що при малих деформаціях многовида ця характеристика не змінюється і є топологічним інваріантом гіперповерхні. Поставимо за мету вивести інтегральну формулу для обчислення цього інваріанта.
Для цього нам потрібна формула для перетворення об'ємів при відображенні в одиничну гіперсферу .
Спочатку розглянемо маленький відрізок на многовиді, який ми представимо вектором . Його образом на гіперсфері буде відрізок:
Тепер ми можемо розглянути паралелепіпед, побудований на векторах:
Об'єм цього паралелепіпеда буде величиною мультивектора, складеного з цих векторів:
Образами векторів (44) на гіперсфері будуть такі вектори:
З цих образів ми також складаємо мультивектор:
З формули (47) видно, що образ мультивектора пропорційний оригіналу з коефіцієнтом пропорційності, який ми позначимо так:
і назвемо кривиною Ґаусса -го степеня. Цей коефіцієнт з точністю до знаку дорівнює добутку головних кривин гіперповерхні.
Властивості добутку головних кривин двовимірної гіперповерхні вперше вивчив німецький математик Карл Фрідріх Ґаусс у 1827 році.
Інтеграл Ґаусса
Розглянемо замкнуту гіперповерхню (подібну до сфери, тора і т.д.), і проінтегруємо кривину Ґаусса по всій нашій гіперповерхні (це і є інтегралом Ґаусса):
Підінтегральний вираз внаслідок (47) дорівнює елементу об'єму одиничної гіперсфери , взятому зі знаком "плюс" або "мінус" залежно від знаку кривини Ґаусса. Образ на гіперсфері може мати складки, коли одна і та ж точка гіперсфери покривається зі знаком "плюс" для одної точки многовида, і зі знаком "мінус" для деякої іншої точки многовида. В цьому разі відповідні вклади в інтеграл (49) компенсуються. Але оскільки образ не має обірваних країв (для двосторонніх гіперповерхонь), то він повинен покривати всю гіперсферу, можливо кілька разів. Цей факт можна записати у вигляді такої формули:
де - ціле число (для двосторонніх гіперповерхонь), яке може бути як додатнім, так і від'ємним, а
- об'єм одиничної гіперсфери:
Для односторонніх гіперповерхонь також справедлива формула (50), але в ній число напівціле (оскільки одна й та ж точка многовиду має два образи - діаметрально протилежні точки на гіперсфері).
Зазначимо, що не для всіх цілих та напівцілих чисел існує гладка замкнута гіперповерхня, для якої виконується рівність (50). Наприклад, при розмірності гіперповерхні
, тобто кривої на площині, число
не може бути напівцілим (у кривої що має форму краплі, є хвіст, в якому вектори нормалі протилежні, але ця точка не є регулярною точкою). Цілі числа
реалізуються кривими, які (із самоперетином)
разів обкручуються довкола фіксованої точки площини. Формула (50) для кривої
запишеться так:
де - кривина кривої, взята зі знаком плюс або мінус в залежності від того, за чи проти годинникової стрілки вигинається крива. Число
реалізується для кривої у формі вісімки.
Для двомірної гіперповерхні (
) в тривимірному просторі, число
дорівнює половині Ейлерової характеристики:
а тому може набувати всіх цілих та напівцілих значень менших або рівних одиниці:
Джерела
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1966. — Т. 3. — 656 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Giperpoverhneyu nazivayetsya mnogovid rozmirnosti n displaystyle n yakij vkladenij u evklidiv prostir na odinicyu bilshoyi rozmirnosti n 1 displaystyle n 1 Odinichnij vektor normaliNehaj giperpoverhnya zadana parametrichnimi rivnyannyami 1 r r u1 u2 un displaystyle 1 qquad mathbf r mathbf r u 1 u 2 dots u n Budemo skriz v cij statti vvazhati funkciyi 1 dostatno gladkimi neperervni drugi pohidni z nevirodzhenim metrichnim tenzorom gij ri rj displaystyle g ij mathbf r i cdot mathbf r j Koordinatni vektori ri r ui displaystyle mathbf r i partial mathbf r over partial u i v tochci mnogovida P displaystyle P zadayut afinnij pidprostir dotichnu do mnogovida giperploshinu Ortogonalnim dopovnennyam do giperploshini ye pryama L displaystyle L sho prohodit cherez danu tochku mnogovida i perpendikulyarna do neyi Viberemo yakijs odin iz dvoh mozhlivih napryam ciyeyi pryamoyi i vidklademo na pryamij odinichnij vektor n displaystyle mathbf n V susidnij blizkij do tochki P displaystyle P tochci P displaystyle P mnogovida ortogonalna pryama L displaystyle L bude blizkoyu za napryamkom do pryamoyi L displaystyle L tomu proyekciya vektora n displaystyle mathbf n na L displaystyle L uzhe odnoznachno zadaye dodatnij napryam na pryamij L displaystyle L Vidklademo v comu dodatnomu napryamku pryamoyi L displaystyle L odinichnij vektor n displaystyle mathbf n Takim chinom ruhayuchis vid odniyeyi tochki mnogovida do inshoyi v deyakij oblasti mnogovida mi matimemo vektornu funkciyu 2 n n P n u1 u2 un displaystyle 2 qquad mathbf n mathbf n P mathbf n u 1 u 2 dots u n Cya funkciya bude neperervnoyu oskilki giperpoverhnya 1 gladka bez osoblivih tochok Sprobuyemo poshiriti funkciyu n n P displaystyle mathbf n mathbf n P na ves mnogovid Ce mozhna zrobiti v tomu razi koli ruhayuchis po bud yakomu zamknutomu konturu sho lezhit v giperpoverhni pochavshi z tochki P displaystyle P i obchislyuyuchi po neperervnosti vektor normali mi vernemosya v tochku P displaystyle P z tim samim napryamkom vektora normali Taka giperpoverhnya nazivayetsya dvostoronnoyu abo oriyentovnoyu Ale buvayut i taki giperpoverhni sho obijshovshi deyakij zamknutij kontur mi povernemos v tochku P displaystyle P z protilezhnim vektorom normali Taki giperpoverhni nazivayut odnostoronnimi abo neoriyentovnimi Prikladami odnostoronnih giperpoverhon ye strichka Mebiusa ta plyashka Klejna Iz ortogonalnosti vektora normali do koordinatnih vektoriv giperpoverhni mayemo rivnyannya 3 n ri 0 displaystyle 3 qquad mathbf n cdot mathbf r i 0 a odinichna dovzhina vektora normali opisuyetsya rivnyannyam 4 n2 n n 1 displaystyle 4 qquad mathbf n 2 mathbf n cdot mathbf n 1 Tenzor povnoyi kriviniIz rozkladu 5 rij Gijkrk bij displaystyle 5 qquad mathbf r ij Gamma ij k mathbf r k mathbf b ij i togo faktu sho isnuye lishe odin napryam n displaystyle mathbf n ortogonalnij do vektoriv ri displaystyle mathbf r i sliduye sho vsi vektori bij displaystyle mathbf b ij kolinearni vektoru n displaystyle mathbf n tobto mi mozhemo zapisati 6 bij nbij displaystyle 6 qquad mathbf b ij mathbf n b ij Chisla bij displaystyle b ij ye proyekciyami vektoriv bij displaystyle mathbf b ij na vektor normali n displaystyle mathbf n a tomu mozhut buti yak dodatnimi tak i vid yemnimi Vidpovidno do formuli 6 krivina vsih geodezichnih linij sho prohodyat cherez fiksovanu tochku P displaystyle P mnogovidu paralelna vektoru n displaystyle mathbf n centri krivini lezhat na pryamij sho ortogonalna do mnogovidu 7 k bijtitj nbijtitj nk displaystyle 7 qquad mathbf k mathbf b ij tau i tau j mathbf n b ij tau i tau j mathbf n k 7a k bijtitj displaystyle 7a qquad k b ij tau i tau j Pohidni vektora normaliDiferenciyuvannya po koordinatah mnogovida formuli 4 daye 8 uin2 2 n ni 0 displaystyle 8 qquad partial over partial u i mathbf n 2 2 mathbf n cdot mathbf n i 0 tobto pohidni odinichnogo vektora normali ni n ui displaystyle mathbf n i partial mathbf n over partial u i ortogonalni do samogo vektora normali n displaystyle mathbf n a tomu lezhat v dotichnij do mnogovida giperploshini Mi mozhemo rozklasti vektor ni displaystyle mathbf n i po bazisnih vektorah dotichnogo prostoru 9 ni aijrj displaystyle 9 qquad mathbf n i alpha i j mathbf r j Znajdemo koeficiyenti rozkladu aij displaystyle alpha i j Dlya cogo pomnozhimo livu i pravu chastini formuli 9 skalyarno na vektor rk displaystyle mathbf r k Dlya livoyi chastini mayemo 10 ni rk i n rk n rik bik displaystyle 10 qquad mathbf n i cdot mathbf r k partial i mathbf n cdot mathbf r k mathbf n cdot mathbf r ik b ik A dlya pravoyi 11 aij rj rk aijgjk aik displaystyle 11 qquad alpha i j mathbf r j cdot mathbf r k alpha i j g jk alpha ik Iz formul 9 11 oderzhuyemo nastupnu formulu dlya obchislennya pohidnih odinichnogo vektora normali cherez tenzor povnoyi krivini 12 ni bijrj displaystyle 12 qquad mathbf n i b i j mathbf r j Vidmitimo sho vektor n displaystyle mathbf n ortogonalnij do koordinat na mnogovidi a tomu jogo kovariantna pohidna zbigayetsya z chastinnoyu pohidnoyu podibno do gradiyenta skalyara 13 in in ni displaystyle 13 qquad nabla i mathbf n partial i mathbf n mathbf n i Dlya geodezichnoyi liniyi yaku mi rozglyanemo yak krivu liniyu v ohoplyuyuchomu n 1 displaystyle n 1 vimirnomu evklidovomu prostori vektor normali do giperpoverhni n displaystyle mathbf n bude zbigatisya z golovnim vektorom normali do krivoyi yaksho chislo k displaystyle k v formuli 7a dodatne abo bude protilezhnim vektorom yaksho k lt 0 displaystyle k lt 0 Znajdemo kruchennya geodezichnoyi ϰ displaystyle boldsymbol varkappa 14 dnds kt ϰ displaystyle 14 qquad d mathbf n over ds k boldsymbol tau boldsymbol varkappa 15 dnds niduids niti bjitjri displaystyle 15 qquad d mathbf n over ds mathbf n i du i over ds mathbf n i tau i b j i tau j mathbf r i 16 ϰ dnds kt bjitj kti ri displaystyle 16 qquad boldsymbol varkappa d mathbf n over ds k boldsymbol tau b j i tau j k tau i mathbf r i Iz formuli 16 mi bachimo sho kruchennya geodezichnoyi liniyi bude dorivnyuvati nulyu yaksho vektor dotichnoyi ti displaystyle tau i bude vlasnim vektorom matrici bji displaystyle b j i 17 bjitj kti displaystyle 17 qquad b j i tau j k tau i Golovni krivini i napryamki giperpoverhniSimetrichnij tenzor bij displaystyle b ij v dotichnomu v tochci P displaystyle P do giperpoverhni vektornomu prostori zadaye linijne peretvorennya 18 yi bijxj displaystyle 18 qquad y i b i j x j i mi mozhemo postaviti zadachu na vlasni chisla i vektori cogo peretvorennya Spochatku perejdemo v sistemu koordinat yaka bude pryamokutnoyu dekartovoyu v tochci P displaystyle P divitsya Oskilki metrichnij tenzor v cij tochci odinichnij gij dij displaystyle g ij delta ij to kovariantni i kontravariantni koordinati tenzora bij displaystyle b ij budut odnakovi tomu peretvorennya 18 zdijsnyuyetsya simetrichnoyu matriceyu bij displaystyle b i j Yak vidomo z teoriyi matric simetrichna matricya maye n displaystyle n vzayemno ortogonalnih vlasnih vektoriv t s s 1 2 n displaystyle boldsymbol tau s s 1 2 dots n mi mozhemo yih vvazhati takozh odinichnimi prichomu vsi vidpovidni yim vlasni chisla ye dijsnimi chislami k s displaystyle k s sho mozhut buti yak dodatnimi tak i vid yemnimi V obranij sistemi koordinat mayemo 19 bijtj s k s ti s displaystyle 19 qquad b i j tau j s k s tau i s 20 iti s ti p t s t p dsp 1 s p0 s p displaystyle 20 qquad sum i tau i s tau i p boldsymbol tau s cdot boldsymbol tau p delta sp begin cases 1 amp s p 0 amp s neq p end cases Formula 19 maye tenzornij harakter a tomu spravedliva v bud yakij sistemi koordinat tak samo i ortogonalnist vlasnih vektoriv 20 mozhna zapisati v bud yakij sistemi koordinat cherez metrichnij tenzor 21 gijti s tj p gijt s it p j dsp displaystyle 21 qquad g ij tau i s tau j p g ij tau s i tau p j delta sp Za formuloyu 7a mi mozhemo znajti krivinu geodezichnoyi liniyi sho provedena paralelno odnomu z vlasnih vektoriv t s displaystyle boldsymbol tau s 22 k bijt s it s j k s tj s t s j k s displaystyle 22 qquad k b ij tau s i tau s j k s tau j s tau s j k s Vlasni chisla k 1 k 2 k n displaystyle k 1 k 2 dots k n nazivayutsya golovnimi krivinami giperpoverhni a vidpovidni yim vlasni vektori golovnimi napryamkami V sistemi koordinat yaka v tochci P displaystyle P giperpoverhni maye koordinatni vektori ri displaystyle mathbf r i sho zbigayutsya z golovnimi napryamkami matricya tenzora povnoyi krivini bij bij displaystyle b ij b i j bude diagonalnoyu 23 B bij k 1 0 00k 2 0 00 k n displaystyle 23 qquad B b ij begin bmatrix k 1 amp 0 amp cdots amp 0 0 amp k 2 amp cdots amp 0 cdots amp cdots amp ddots amp cdots 0 amp 0 amp cdots amp k n end bmatrix Te zh same mozhna zapisati v tenzornih poznachennyah 24 bij k i dij displaystyle 24 qquad b ij k i delta ij u cij formuli dodavannya za indeksom i displaystyle i ne provoditsya Zapishemo spektralnij rozklad tenzora bij displaystyle b ij koristuyuchis vlasnimi chislami i vektorami V dovilnij sistemi koordinat mayemo 25 bij sk s ti s tj s displaystyle 25 qquad b ij sum s k s tau i s tau j s Rivnyannya Petersona KodacciRozglyanemo diyu komutatora kovariantnih pohidnih na koordinatni vektori 26 j k ri Rijksrs displaystyle 26 qquad nabla j nabla k mathbf r i R ijk s mathbf r s Cej komutator mi mozhemo zapisati cherez tenzor povnoyi krivini 27 j k ri j kri k jri jbki kbji displaystyle 27 qquad nabla j nabla k mathbf r i nabla j nabla k mathbf r i nabla k nabla j mathbf r i nabla j mathbf b ki nabla k mathbf b ji jn bki n jbki kn bji n kbji bjsbki bksbji rs n jbki kbji displaystyle qquad nabla j mathbf n b ki mathbf n nabla j b ki nabla k mathbf n b ji mathbf n nabla k b ji b j s b ki b k s b ji mathbf r s mathbf n nabla j b ki nabla k b ji Porivnyuyuchi formuli 26 i 27 znahodimo 28 Rijks bjsbki bksbji Rijkl bikbjl bilbjk displaystyle 28 qquad R ijk s b j s b ki b k s b ji qquad R ijkl b ik b jl b il b jk 29 jbki kbji displaystyle 29 qquad nabla j b ki nabla k b ji Rivnyannya 29 nazivayetsya rivnyannyam Petersona Kodacci Cyu rivnist mozhna traktuvati takim chinom kovariantna pohidna tenzora povnoyi krivini dlya giperpoverhni ye simetrichnim tenzorom z troma indeksami 30 ibjk bijk displaystyle 30 qquad nabla i b jk b ijk Tenzor vnutrishnoyi kriviniPidstavimo v formulu 28 spektralnij rozklad 25 Znahodimo tenzor Rimana 31 Rijkl bikbjl bilbjk p s k p ti p tk p k s tj s tl s k p ti p tl p k s tj s tk s displaystyle 31 qquad R ijkl b ik b jl b il b jk sum p s left k p tau i p tau k p k s tau j s tau l s k p tau i p tau l p k s tau j s tau k s right p sk p k s ti p tj s tk p tl s tl p tk s displaystyle qquad sum p s k p k s tau i p tau j s left tau k p tau l s tau l p tau k s right Vvedemo poznachennya bivektora oriyentovanoyi ploshadki s ps displaystyle boldsymbol sigma ps pobudovanoyi na dvoh vektorah golovnih napryamkiv 32 s ps t p t s displaystyle 32 qquad boldsymbol sigma ps boldsymbol tau p wedge boldsymbol tau s abo te same v komponentah 33 sij ps ti p tj s tj p ti s displaystyle 33 qquad sigma ij ps tau i p tau j s tau j p tau i s Ci bivektori mayut odinichnu ploshu i vzayemno ortogonalni 34 s ps t p t s sin ϕ 1 displaystyle 34 qquad boldsymbol sigma ps boldsymbol tau p boldsymbol tau s sin phi 1 35 sij ps s kl ij 0 if ps kl displaystyle 35 qquad sigma ij ps sigma kl ij 0 mbox if ps neq kl U pravij chastini formuli 31 diagonalni dodanki z odnakovimi indeksami p s displaystyle p s dorivnyuyut nulyu a nediagonalni rozbivayutsya na dvi odnakovi za kilkistyu grupi dodanki z p lt s displaystyle p lt s i dodanki z p gt s displaystyle p gt s Tomu formulu 31 mozhna perepisati tak 36 Rijkl p lt sk p k s sij ps skl ps displaystyle 36 qquad R ijkl sum p lt s k p k s sigma ij ps sigma kl ps Iz formuli 36 i vlastivosti bivektora legko vidno sho maye vikonuvatisya algebrayichna totozhnist Bianki Adzhe dlya bud yakogo bivektora s ij displaystyle sigma ij oriyentovanoyi ploshadki mayemo totozhnist 37 sijskl sjksil skisjl 0 displaystyle 37 qquad sigma ij sigma kl sigma jk sigma il sigma ki sigma jl 0 V sistemi koordinat sho pobudovana na golovnih napryamkah giperpoverhni vlasni vektori mayut koordinati 38 ti s dis t s 0 0 1 0 0 displaystyle 38 qquad tau i s delta i s qquad boldsymbol tau s 0 0 dots 1 0 dots 0 Tut u virazi v duzhkah odinicya stoyit na s displaystyle s tomu misci a reshta koordinat dorivnyuyut nulyu Legko mozhna zapisati i koordinati bivektoriv sij ps displaystyle sigma ij ps skoristavshis formulami 33 39 sij ps 1 i p j s 1 i s j p0 for any other i j displaystyle 39 sigma ij ps begin cases 1 amp i p j s 1 amp i s j p 0 amp mbox for any other i j end cases Iz 39 i 36 znahodimo nenulovi komponenti tenzora Rimana 40 Rijij Rijji k i k j i j displaystyle 40 qquad R ijij R ijji k i k j qquad i neq j Dali oskilki v obranij sistemi koordinat metrichnij tenzor dorivnyuye odinichnij matrici znahodimo tenzor Richchi i skalyarnu krivinu 41 Rij sRisjs 0 if i j displaystyle 41 qquad R ij sum s R isjs 0 qquad mbox if i neq j 41a Rii j iRijij k i j ik j displaystyle 41a qquad R ii sum j neq i R ijij k i sum j neq i k j 42 R i ji jk i k j 2 i lt jk i k j displaystyle 42 qquad R sum i j over i neq j k i k j 2 sum i lt j k i k j Vidobrazhennya v odinichnu gipersferu Sn displaystyle mathbb S n Dlya kozhnoyi tochki giperpoverhni r r u1 u2 un displaystyle mathbf r mathbf r u 1 u 2 dots u n mayemo odinichnij vektor normali n n u1 u2 un displaystyle mathbf n mathbf n u 1 u 2 dots u n formula 3 yakij mi vidklademo vid pochatku dekartovoyi sistemi koordinat v evklidovomu n 1 displaystyle n 1 vimirnomu prostori Kinec cogo vektora tochka lezhit na gipersferi odinichnogo radiusa Zadamos pitannyam yakim mozhe buti na cij gipersferi obraz vsiyeyi nashoyi giperpoverhni Yaksho nasha giperpoverhnya ploska to yiyi obrazom bude lishe odna tochka na gipersferi Obrazom cilindra abo konusa bude liniya na gipersferi kolo dlya krugovogo cilindra chi konusa V zagalnishomu vipadku ce bude deyaka oblast na gipersferi yaka mozhe zokrema pokrivati i vsyu gipersferu navit i neodnokratno Otzhe dlya zamknutogo mnogovida mi mayemo deyaku cilochislenu harakteristiku skilki raziv jogo obraz pokrivaye odinichnu gipersferu Ochevidno sho pri malih deformaciyah mnogovida cya harakteristika ne zminyuyetsya i ye topologichnim invariantom giperpoverhni Postavimo za metu vivesti integralnu formulu dlya obchislennya cogo invarianta Dlya cogo nam potribna formula dlya peretvorennya ob yemiv pri vidobrazhenni v odinichnu gipersferu Sn displaystyle mathbb S n Spochatku rozglyanemo malenkij vidrizok na mnogovidi yakij mi predstavimo vektorom dr ridui displaystyle d mathbf r mathbf r i du i Jogo obrazom na gipersferi bude vidrizok 43 dn nidui bijdui rj displaystyle 43 qquad d mathbf n mathbf n i du i b i j du i mathbf r j Teper mi mozhemo rozglyanuti paralelepiped pobudovanij na n displaystyle n vektorah 44 dr 1 r1du1 dr 2 r2du2 dr n rndun displaystyle 44 qquad d mathbf r 1 mathbf r 1 du 1 d mathbf r 2 mathbf r 2 du 2 dots d mathbf r n mathbf r n du n Ob yem cogo paralelepipeda bude velichinoyu multivektora skladenogo z cih vektoriv 45 dt r r1 r2 rn du1du2 dun displaystyle 45 qquad d boldsymbol tau mathbf r mathbf r 1 wedge mathbf r 2 wedge cdots wedge mathbf r n du 1 du 2 cdots du n Obrazami vektoriv 44 na gipersferi Sn displaystyle mathbb S n budut taki vektori 46 dn 1 n1du1 i1b1i1ri1 du1 dn 2 n2du2 i2b2i2ri2 du2 dn n nndun inbninrin dun displaystyle 46 qquad begin matrix d mathbf n 1 mathbf n 1 du 1 sum i 1 b 1 i 1 mathbf r i 1 du 1 d mathbf n 2 mathbf n 2 du 2 sum i 2 b 2 i 2 mathbf r i 2 du 2 cdots d mathbf n n mathbf n n du n sum i n b n i n mathbf r i n du n end matrix Z cih obraziv mi takozh skladayemo multivektor 47 dt n n1 n2 nn du1du2 dun 1 ndet bji dt r displaystyle 47 qquad d boldsymbol tau mathbf n mathbf n 1 wedge mathbf n 2 wedge cdots wedge mathbf n n du 1 du 2 cdots du n 1 n det b j i d boldsymbol tau mathbf r Z formuli 47 vidno sho obraz multivektora proporcijnij originalu z koeficiyentom proporcijnosti yakij mi poznachimo tak 48 K n 1 ndet bji k 1 k 2 k n displaystyle 48 qquad K n 1 n det b j i k 1 k 2 cdots k n i nazvemo krivinoyu Gaussa n displaystyle n go stepenya Cej koeficiyent z tochnistyu do znaku dorivnyuye dobutku golovnih krivin giperpoverhni Vlastivosti dobutku golovnih krivin dvovimirnoyi giperpoverhni vpershe vivchiv nimeckij matematik Karl Fridrih Gauss u 1827 roci Integral GaussaRozglyanemo zamknutu giperpoverhnyu M displaystyle M podibnu do sferi tora i t d i prointegruyemo krivinu Gaussa po vsij nashij giperpoverhni ce i ye integralom Gaussa 49 I MK n dt r displaystyle 49 qquad I int M K n d tau mathbf r Pidintegralnij viraz vnaslidok 47 dorivnyuye elementu ob yemu odinichnoyi gipersferi Sn displaystyle mathbb S n vzyatomu zi znakom plyus abo minus zalezhno vid znaku krivini Gaussa Obraz na gipersferi mozhe mati skladki koli odna i ta zh tochka gipersferi pokrivayetsya zi znakom plyus dlya odnoyi tochki mnogovida i zi znakom minus dlya deyakoyi inshoyi tochki mnogovida V comu razi vidpovidni vkladi v integral 49 kompensuyutsya Ale oskilki obraz ne maye obirvanih krayiv dlya dvostoronnih giperpoverhon to vin povinen pokrivati vsyu gipersferu mozhlivo kilka raziv Cej fakt mozhna zapisati u viglyadi takoyi formuli 50 MK n dt r Nwn 1 displaystyle 50 qquad int M K n d tau mathbf r N omega n 1 de N displaystyle N cile chislo dlya dvostoronnih giperpoverhon yake mozhe buti yak dodatnim tak i vid yemnim a wn 1 displaystyle omega n 1 ob yem odinichnoyi gipersferi 51 wn 1 w Sn 2pn 12G n 12 displaystyle 51 qquad omega n 1 omega mathbb S n 2 pi n 1 over 2 over Gamma n 1 over 2 Dlya odnostoronnih giperpoverhon takozh spravedliva formula 50 ale v nij chislo N displaystyle N napivcile oskilki odna j ta zh tochka mnogovidu maye dva obrazi diametralno protilezhni tochki na gipersferi Zaznachimo sho ne dlya vsih cilih ta napivcilih chisel N displaystyle N isnuye gladka zamknuta giperpoverhnya dlya yakoyi vikonuyetsya rivnist 50 Napriklad pri rozmirnosti giperpoverhni n 1 displaystyle n 1 tobto krivoyi na ploshini chislo N displaystyle N ne mozhe buti napivcilim u krivoyi sho maye formu krapli ye hvist v yakomu vektori normali protilezhni ale cya tochka ne ye regulyarnoyu tochkoyu Cili chisla N displaystyle N realizuyutsya krivimi yaki iz samoperetinom N displaystyle N raziv obkruchuyutsya dovkola fiksovanoyi tochki ploshini Formula 50 dlya krivoyi L displaystyle L zapishetsya tak 51 Lkds 2pN displaystyle 51 qquad oint L kds 2 pi N de k displaystyle k krivina krivoyi vzyata zi znakom plyus abo minus v zalezhnosti vid togo za chi proti godinnikovoyi strilki viginayetsya kriva Chislo N 0 displaystyle N 0 realizuyetsya dlya krivoyi u formi visimki Dlya dvomirnoyi giperpoverhni S displaystyle S n 2 displaystyle n 2 v trivimirnomu prostori chislo N displaystyle N dorivnyuye polovini Ejlerovoyi harakteristiki 52 N 12x S displaystyle 52 qquad N 1 over 2 chi S a tomu mozhe nabuvati vsih cilih ta napivcilih znachen menshih abo rivnih odinici N 1 displaystyle N leq 1 DzherelaFihtengolc G M Kurs differencialnogo i integralnogo ischisleniya Moskva Nauka 1966 T 3 656 s ros