Теорема Сарда, відома також як лема Сарда або теорема Морса—Сарда, одна з теорем математичного аналізу, яка стверджує, що образ множини критичних точок f, що діє з одного евклідового простору чи многовиду на інший, має Лебегову міру 0 — тобто, є . Це означає, що він — «малий», в деякому сенсі.
Постановка
Точніше, нехай є Ck, k разів неперервно диференційовною, де k ≥ max{n−m+1, 1}. Нехай, далі, X - множина критичних точок f, тобто, x в Rn, у яких матриця Якобі f має ранг < m. Тоді f(X) має Лебегову міру 0 в Rm.
Отож, хоча X сама може бути великою, її образ мусить бути малим: f може мати багато критичних точок (у області Rn), але має мало критичних значень (у цільовому просторі Rm).
Варіанти
Існує багато варіантів цього твердження, що відіграє важливу роль у теорії особливостей, як і в інших галузях науки, наприклад, теорії катастроф. Випадок m = 1 був розглянутий Ентоні Морсом (Anthony P. Morse) у 1939, а загальний випадок Артуром Сардом (Arthur Sard) у 1942.
Версія для нескінченновимірних банахових многовидів була доведена Стівеном Смейлом.
Твердження теореми є досить сильним, і доведення включає складні аналітичні міркування. У топології воно часто використовується — скажімо, у теоремі Брауера та деяких застосуваннях теорії Морса — щоб використати слабший наслідок “не стале гладке відображення має деяке регулярне значення”, і часом “...тому також і регулярну точку”.
У 1965 Сард узагальнив теорему наступним чином: якщо f : M → N є Ck для k ≥ max{n−m+1, 1} і якщо Ar ⊆ M це множина точок x ∈ M таких, що dfx має ранг не більший за r, то f(Ar) має розмірність Хаусдорфа щонайбільше r.
Джерела
- Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей, — М.: Мир, 1988.
- Encyclopaedia of Mathematics Ed. Michiel Hazewinkel, CWI, Amsterdam
- Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия,- М.:Наука,1987.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema Sarda vidoma takozh yak lema Sarda abo teorema Morsa Sarda odna z teorem matematichnogo analizu yaka stverdzhuye sho obraz mnozhini kritichnih tochok f sho diye z odnogo evklidovogo prostoru chi mnogovidu na inshij maye Lebegovu miru 0 tobto ye Ce oznachaye sho vin malij v deyakomu sensi PostanovkaTochnishe nehaj f Rn Rm displaystyle f colon mathbb R n rightarrow mathbb R m ye Ck k raziv neperervno diferencijovnoyu de k max n m 1 1 Nehaj dali X mnozhina kritichnih tochok f tobto x v Rn u yakih matricya Yakobi f maye rang lt m Todi f X maye Lebegovu miru 0 v Rm Otozh hocha X sama mozhe buti velikoyu yiyi obraz musit buti malim f mozhe mati bagato kritichnih tochok u oblasti Rn ale maye malo kritichnih znachen u cilovomu prostori Rm VariantiIsnuye bagato variantiv cogo tverdzhennya sho vidigraye vazhlivu rol u teoriyi osoblivostej yak i v inshih galuzyah nauki napriklad teoriyi katastrof Vipadok m 1 buv rozglyanutij Entoni Morsom Anthony P Morse u 1939 a zagalnij vipadok Arturom Sardom Arthur Sard u 1942 Versiya dlya neskinchennovimirnih banahovih mnogovidiv bula dovedena Stivenom Smejlom Tverdzhennya teoremi ye dosit silnim i dovedennya vklyuchaye skladni analitichni mirkuvannya U topologiyi vono chasto vikoristovuyetsya skazhimo u teoremi Brauera ta deyakih zastosuvannyah teoriyi Morsa shob vikoristati slabshij naslidok ne stale gladke vidobrazhennya maye deyake regulyarne znachennya i chasom tomu takozh i regulyarnu tochku U 1965 Sard uzagalniv teoremu nastupnim chinom yaksho f M N ye Ck dlya k max n m 1 1 i yaksho Ar M ce mnozhina tochok x M takih sho dfx maye rang ne bilshij za r to f Ar maye rozmirnist Hausdorfa shonajbilshe r DzherelaBrus Dzh Dzhiblin P Krivye i osobennosti Geometricheskoe vvedenie v teoriyu osobennostej M Mir 1988 Encyclopaedia of Mathematics Ed Michiel Hazewinkel CWI Amsterdam Postnikov M M Lekcii po geometrii Semestr III Gladkie mnogoobraziya M Nauka 1987 Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi