Лінійне наближення

В математиці лінійним наближенням, або лінійною апроксимацією, називають наближення похідної функції за допомогою лінійної функції. Застосовується для наближених розрахунків і в методі кінцевих різниць для розв'язування диференціальних рівнянь.

Визначення

Розглянемо безперервно диференційовану функцію дійсного числа ${\displaystyle f(x)}$ в околі точки ${\displaystyle a}$. За теоремою Тейлора, має місце рівність:

${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(x)(x-a)+R_{2}}$

де ${\displaystyle R_{2}(x)=o(|x-a|)}$ — залишковий член.

Лінійне наближення g (x) виходить в результаті ігнорування залишкового члена:

${\displaystyle g(x)=f(a)+f'(a)(x-a).}$

У найближчому околі точки ${\displaystyle a}$ значення цієї функції близькі до значень ${\displaystyle f(x)}$ і її можна використовувати як заміну значень ${\displaystyle f(x)}$ в наближених обчисленнях. При цьому в загальному випадку похибка зростає при видаленні від a і дорівнює R2.

Легко помітити, що графік функції ${\displaystyle g(x)}$ — це дотична до графіка ${\displaystyle f(x)}$ в точці ${\displaystyle a}$.

Література

• Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E. Calculus III. — Berlin: Springer-Verlag, 1984. — P. 775. — ISBN 0-387-90985-0.
• Strang, Gilbert. Calculus. — Wellesley College, 1991. — P. 94. — ISBN 0-9614088-2-0.
• Bock, David; Hockett, Shirley O. How to Prepare for the AP Calculus. — Hauppauge, NY: Barrons Educational Series, 2005. — P. 118. — ISBN 0-7641-2382-3.