Список рядів та сум

Цей список містить формули для рядів та сум.

• Тут ${\displaystyle 0^{0}}$ приймається рівним ${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle \{x\}}$ позначає дробову частину ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle n \choose k}$ — біноміальний коефіцієнт
• ${\displaystyle \exp(x)}$ — експоненційна функція
• ${\displaystyle B_{n}(x)}$ — ${\displaystyle n}$-тий поліном Бернуллі
• ${\displaystyle B_{n}}$ — ${\displaystyle n}$-те число Бернуллі
• ${\displaystyle E_{n}}$ — ${\displaystyle n}$-те число Ейлера
• ${\displaystyle \Gamma (z)}$ — гамма-функція
• ${\displaystyle \psi _{n}(z)}$ — полігамма-функція
• ${\displaystyle \zeta (s)}$ — дзета-функція Рімана
• ${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$ — полілогарифм

Суми степенів

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{s}={\frac {(n+1)^{s+1}}{s+1}}+\sum _{k=1}^{s}{\frac {B_{k}}{s-k+1}}{s \choose k}(n+1)^{s-k+1}}$ — ^[en]

Значення при ${\displaystyle n=1,2,\dots ,12:}$

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {(n+1)^{3}-n^{3}-1}{6}}\,\!}$
• ${\displaystyle \sum _{k=p}^{q}k=p+(p+1)+(p+2)+(p+3)+\ldots +(q-1)+q={\frac {(p+q)(q-p+1)}{2}}}$

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}2k=2+4+6+8+10+12+14+16+\ldots +(2n-2)+2n=n(n+1)}$

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}}$ — ^[en]
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{5}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}(2n^{2}+2n-1)}{12}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{6}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{4}+6n^{3}-3n+1)}{42}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{7}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}(3n^{4}+6n^{3}-n^{2}-4n+2)}{24}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{8}={\frac {n(n+1)(2n+1)(5n^{6}+15n^{5}+5n^{4}-15n^{3}-n^{2}+9n-3)}{24}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{9}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}(n^{2}+n-1)(2n^{4}+4n^{3}-n^{2}-3n+3)}{20}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{10}={\frac {n(n+1)(2n+1)(n^{2}+n-1)(3n^{6}+9n^{5}+2n^{4}-11n^{3}+3n^{2}+10n-5)}{66}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{11}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}(2n^{8}+8n^{7}+4n^{6}-16n^{5}-5n^{4}+26n^{3}-3n^{2}-20n+10)}{24}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{12}={\frac {n(n+1)(2n+1)(105n^{10}+525n^{9}+525n^{8}-1050n^{7}-1190n^{6}+2310n^{5}+1420n^{4}-3285n^{3}-287n^{2}+2073n-691)}{2730}}}$

Суми степенів непарних чисел:

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(2k-1)=1+3+5+7+9+\ldots +(2n-3)+(2n-1)=n^{2}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(2k-1)^{2}=1^{2}+3^{2}+5^{2}+7^{2}+9^{2}+\ldots +(2n-3)^{2}+(2n-1)^{2}={\frac {n(4n^{2}-1)}{3}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(2k-1)^{3}=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+\ldots +(2n-3)^{3}+(2n-1)^{3}=n^{2}(2n^{2}-1)}$

^[en]:

• ${\displaystyle \zeta (2n)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2n}}}=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}$

Значення при ${\displaystyle n=1,2,3:}$

• ${\displaystyle \zeta (2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ — ряд обернених квадратів
• ${\displaystyle \zeta (4)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}}$
• ${\displaystyle \zeta (6)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{6}}}={\frac {\pi ^{6}}{945}}}$

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k^{2s}}}=\left(1-{\frac {1}{2^{2s-1}}}\right)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2s}}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{96}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{6}}}={\frac {\pi ^{6}}{960}}}$

Степеневі ряди

Полілогарифми

Скінченні суми:

• ${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}z^{k}={\frac {z^{m}-z^{n+1}}{1-z}}}$ — геометрична прогресія
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}z^{k}={\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}z^{k}={\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}-1={\frac {z-z^{n+1}}{1-z}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}kz^{k}=z{\frac {1-(n+1)z^{n}+nz^{n+1}}{(1-z)^{2}}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}z^{k}=z{\frac {1+z-(n+1)^{2}z^{n}+(2n^{2}+2n-1)z^{n+1}-n^{2}z^{n+2}}{(1-z)^{3}}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{m}z^{k}=\left(z{\frac {d}{dz}}\right)^{m}{\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}}$

Нескінченні суми, виконується при ${\displaystyle |z|<1}$:

• ${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{n}}}}$

Корисна властивість для рекурсивного обчислення полілогарифмів:

• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {Li} _{n}(z)={\frac {\operatorname {Li} _{n-1}(z)}{z}}}$

Полілогарифми малих по модулю цілих порядків:

• ${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k}}=-\ln(1-z)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }z^{k}={\frac {z}{1-z}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Li} _{-1}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }kz^{k}={\frac {z}{(1-z)^{2}}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Li} _{-2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }k^{2}z^{k}={\frac {z(1+z)}{(1-z)^{3}}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Li} _{-3}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }k^{3}z^{k}={\frac {z(1+4z+z^{2})}{(1-z)^{4}}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Li} _{-4}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }k^{4}z^{k}={\frac {z(1+z)(1+10z+z^{2})}{(1-z)^{5}}}}$

Експоненціальні функції

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=e^{z}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }k{\frac {z^{k}}{k!}}=ze^{z}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }k^{2}{\frac {z^{k}}{k!}}=(z+z^{2})e^{z}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }k^{3}{\frac {z^{k}}{k!}}=(z+3z^{2}+z^{3})e^{z}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }k^{4}{\frac {z^{k}}{k!}}=(z+7z^{2}+6z^{3}+z^{4})e^{z}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }k^{n}{\frac {z^{k}}{k!}}=z{\frac {d}{dz}}\sum _{k=0}^{\infty }k^{n-1}{\frac {z^{k}}{k!}}\,\!=e^{z}T_{n}(z)}$

де ${\displaystyle T_{n}(z)}$ — ^[en].

Тригонометричні, обернені тригонометричні, гіперболічні та обернені гіперболічні функції

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}=\sin z}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}}=\operatorname {sh} z}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}=\cos z}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}=\operatorname {ch} z}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(2^{2k}-1)2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\operatorname {tg} z,|z|<{\frac {\pi }{2}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2^{2k}-1)2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\operatorname {th} z,|z|<{\frac {\pi }{2}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\operatorname {ctg} z,|z|<\pi }$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\operatorname {cth} z,|z|<\pi }$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(2^{2k}-2)B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\csc z,|z|<\pi }$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-(2^{2k}-2)B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\operatorname {csch} z,|z|<\pi }$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}E_{2k}z^{2k}}{(2k)!}}=\operatorname {sech} z,|z|<{\frac {\pi }{2}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {E_{2k}z^{2k}}{(2k)!}}=\sec z,|z|<{\frac {\pi }{2}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{(2k)!}}=\operatorname {ver} z}$ — синус-верзус
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{2(2k)!}}=\operatorname {hav} z}$ — гаверсинус
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!z^{2k+1}}{2^{2k}(k!)^{2}(2k+1)}}=\arcsin z,|z|\leqslant 1}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2k)!z^{2k+1}}{2^{2k}(k!)^{2}(2k+1)}}=\operatorname {arsh} {z},|z|\leqslant 1}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{2k+1}}=\operatorname {arctg} z,|z|<1}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{2k+1}}=\operatorname {arth} z,|z|<1}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(2k)!z^{2k}}{2^{2k+1}k(k!)^{2}}}=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1+z^{2}}}}{2}}\right),|z|\leqslant 1}$

Інші ряди з факторіалами у знаменниках

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!}{2^{4k}{\sqrt {2}}(2k)!(2k+1)!}}z^{k}={\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-z}}}{z}}},|z|<1}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{2k}(k!)^{2}}{(k+1)(2k+1)!}}z^{2k+2}=\left(\arcsin {z}\right)^{2},|z|\leqslant 1}$
• ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(4k^{2}+\alpha ^{2})}{(2n)!}}z^{2n}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha \prod _{k=0}^{n-1}[(2k+1)^{2}+\alpha ^{2}]}{(2n+1)!}}z^{2n+1}=e^{\alpha \arcsin {z}},|z|\leqslant 1}$

Біноміальні коефіцієнти

• ${\displaystyle (1+z)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}z^{k},|z|<1}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{{\alpha +k-1} \choose k}z^{k}={\frac {1}{(1-z)^{\alpha }}},|z|<1}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k+1}}{2k \choose k}z^{k}={\frac {1-{\sqrt {1-4z}}}{2z}},|z|\leq {\frac {1}{4}}}$ — генератриса чисел Каталана
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{2k \choose k}z^{k}={\frac {1}{\sqrt {1-4z}}},|z|<{\frac {1}{4}}}$ — генератриса центральних біноміальних коефіцієнтів
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{2k+\alpha \choose k}z^{k}={\frac {1}{\sqrt {1-4z}}}\left({\frac {1-{\sqrt {1-4z}}}{2z}}\right)^{\alpha },|z|<{\frac {1}{4}}}$

Гармонічні числа

Докладніше: Гармонічне число

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }H_{k}z^{k}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}},|z|<1}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k+1}}z^{k+1}={\frac {1}{2}}\left[\ln(1-z)\right]^{2},\qquad |z|<1}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}H_{2k}}{2k+1}}z^{2k+1}={\frac {1}{2}}\operatorname {arctg} {z}\log {(1+z^{2})},\qquad |z|<1}$
• ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{2n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}{\frac {z^{4n+2}}{4n+2}}={\frac {1}{4}}\operatorname {arctg} {z}\log {\frac {1+z}{1-z}},\qquad |z|<1}$

Суми біноміальних коефіцієнтів

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}=0,}$ де ${\displaystyle n\neq 0}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{k \choose m}={n+1 \choose m+1}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{m+k-1 \choose k}={n+m \choose n}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\alpha \choose k}{\beta \choose n-k}={\alpha +\beta \choose n}}$ — тотожність Вандермонда

Тригонометричні функції

Ряди Фур'є

Докладніше: Ряд Фур'є

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos(k\theta )}{k}}=-{\frac {1}{2}}\ln(2-2\cos \theta )=-\ln \left(2\sin {\frac {\theta }{2}}\right),0<\theta <2\pi }$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(k\theta )}{k}}={\frac {\pi -\theta }{2}},0<\theta <2\pi }$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}\cos(k\theta )={\frac {1}{2}}\ln(2+2\cos \theta )=\ln \left(2\cos {\frac {\theta }{2}}\right),0\leq \theta <\pi }$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}\sin(k\theta )={\frac {\theta }{2}},-{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos(2k\theta )}{2k}}=-{\frac {1}{2}}\ln(2\sin \theta ),0<\theta <\pi }$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2k\theta )}{2k}}={\frac {\pi -2\theta }{4}},0<\theta <\pi }$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos[(2k+1)\theta ]}{2k+1}}={\frac {1}{2}}\ln \left(\operatorname {ctg} {\frac {\theta }{2}}\right),0<\theta <\pi }$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin[(2k+1)\theta ]}{2k+1}}={\frac {\pi }{4}},0<\theta <\pi }$,
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}=\pi \left({\dfrac {1}{2}}-\{x\}\right),\ x\in \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi kx\right)}{k^{2n-1}}}=(-1)^{n}{\frac {(2\pi )^{2n-1}}{2(2n-1)!}}B_{2n-1}(\{x\}),\ x\in \mathbb {R} ,\ n\in \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi kx\right)}{k^{2n}}}=(-1)^{n-1}{\frac {(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}B_{2n}(\{x\}),\ x\in \mathbb {R} ,\ n\in \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle B_{n}(x)=-{\frac {n!}{2^{n-1}\pi ^{n}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n}}}\cos \left(2\pi kx-{\frac {\pi n}{2}}\right),0<x<1}$

Скінченні суми

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sin(\theta +k\alpha )={\frac {\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}\sin(\theta +{\frac {n\alpha }{2}})}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\cos(\theta +k\alpha )={\frac {\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}\cos(\theta +{\frac {n\alpha }{2}})}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {\pi k}{n}}=\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{2n}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {2\pi k}{n}}=0}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\csc ^{2}\left(\theta +{\frac {\pi k}{n}}\right)=n^{2}\csc ^{2}(n\theta )}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\csc ^{2}{\frac {\pi k}{n}}={\frac {n^{2}-1}{3}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\csc ^{4}{\frac {\pi k}{n}}={\frac {n^{4}+10n^{2}-11}{45}}}$

Ряди раціональних функцій

Ряд раціональних функцій від ${\displaystyle n}$ можна звести до скінченної суми полігамма-функцій за допомогою розкладання на прості дроби. Це також можна застосувати до обчислення скінченних сум раціональних функцій за (сталий час), навіть якщо сума містить велику кількість членів.

• ${\displaystyle \sum _{n=a+1}^{\infty }{\frac {a}{n^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2}}H_{2a}}$
• ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+a^{2}}}={\frac {1+a\pi \operatorname {cth} (a\pi )}{2a^{2}}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}+4a^{4}}}={\dfrac {1}{8a^{4}}}+{\dfrac {\pi (\operatorname {sh} (2\pi a)+\sin(2\pi a))}{8a^{3}(\operatorname {ch} (2\pi a)-\cos(2\pi a))}}}$

Ряди експоненціальних функцій

• ${\displaystyle \displaystyle {\dfrac {1}{\sqrt {p}}}\sum _{n=0}^{p-1}\exp \left({\frac {2\pi in^{2}q}{p}}\right)={\dfrac {e^{\pi i/4}}{\sqrt {2q}}}\sum _{n=0}^{2q-1}\exp \left(-{\frac {\pi in^{2}p}{2q}}\right)}$ — ^[en]
• ${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\pi n^{2}}={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}}$

Числові ряди

Ці числові ряди можна знайти за допомогою рядів, наведених вище.

Чергування знаків в гармонійному ряді

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\ln 2}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{2k-1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}$

Суми обернених факторіалів

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k)!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{4!}}+{\frac {1}{6!}}+{\frac {1}{8!}}+\cdots ={\frac {1}{2}}(e+{\frac {1}{e}})=\operatorname {ch} 1}$

Тригонометрія і π

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}={\frac {1}{1!}}-{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{5!}}-{\frac {1}{7!}}+{\frac {1}{9!}}+\cdots =\sin 1}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}={\frac {1}{0!}}-{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{4!}}-{\frac {1}{6!}}+{\frac {1}{8!}}+\cdots =\cos 1}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}+1}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{17}}+\cdots ={\frac {1}{2}}(\pi \operatorname {cth} \pi -1)}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k^{2}+1}}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{17}}+\cdots ={\frac {1}{2}}(\pi \operatorname {csch} \pi -1)}$
• ${\displaystyle 3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots =\pi }$

Обернені трикутні числа

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{T_{k}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}+\cdots =2}$

де ${\displaystyle T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k}$ — ${\displaystyle n}$-те трикутне число

Обернені тетраедричні числа

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{Te_{k}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{35}}+\cdots ={\frac {3}{2}}}$

де ${\displaystyle Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}}$ — ${\displaystyle n}$-те тетраедричне число

Логарифми

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)(2k+2)}}={\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{3\times 4}}+{\frac {1}{5\times 6}}+{\frac {1}{7\times 8}}+{\frac {1}{9\times 10}}+\cdots =\ln 2}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}k}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{64}}+{\frac {1}{160}}+\cdots =\ln 2}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{2^{k}k}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{3^{k}k}}={\Bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}{\Bigg )}-{\Bigg (}{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{18}}{\Bigg )}+{\Bigg (}{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{81}}{\Bigg )}-{\Bigg (}{\frac {1}{64}}+{\frac {1}{324}}{\Bigg )}+\cdots =\ln 2}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{k}k}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{k}k}}={\Bigg (}{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}{\Bigg )}+{\Bigg (}{\frac {1}{18}}+{\frac {1}{32}}{\Bigg )}+{\Bigg (}{\frac {1}{81}}+{\frac {1}{192}}{\Bigg )}+{\Bigg (}{\frac {1}{324}}+{\frac {1}{1024}}{\Bigg )}+\cdots =\ln 2}$

Див. також

• Тригонометричні функції
• Гіперболічні функції
• Ряд Тейлора
• Енциклопедія послідовностей цілих чисел

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)

Примітки

1. Weisstein, Eric W. Haversine. MathWorld. Wolfram Research, Inc. оригіналу за 10 березня 2005.
2. Wilf, Herbert R. (1994). generatingfunctionology (PDF). Academic Press, Inc.
3. Знайдіть розклад в ряд Фур’є функції ${\displaystyle f(x)={\frac {\pi }{4}}}$ на інтервалі ${\displaystyle 0<x<\pi }$:
   • ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\sin nx+d_{n}\cos nx}$
   ${\displaystyle \Rightarrow {\begin{cases}c_{n}={\begin{cases}{\frac {1}{n}},\quad n{\text{- непарне}}\\0,\quad n{\text{- парне}}\end{cases}}\\d_{n}=0,\quad n\in \mathbb {N} \end{cases}}}$
4. Bernoulli polynomials: Series representations (subsection 06/02). Wolfram Research.
5. Hofbauer, Josef. A simple proof of 1 + 1/2² + 1/3² + ··· = π²/6 and related identities (PDF).
6. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene (1964). 6.4 Polygamma functions. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. с. 260. ISBN .