Ряд обернених квадратів — нескінченний ряд:
Задача знаходження суми цього ряду тривалий час залишалася нерозв'язаною. Оскільки увагу європейських математиків до цієї проблеми привернув базельський професор математики Якоб Бернуллі (1689 рік), в історії вона нерідко називається «базельською задачею» (або «базельською проблемою»). Першим суму ряду зумів отримати 1735 року 28-літній Леонард Ейлер, вона виявилася рівною
- (див. A013661).
Розв'язок цієї проблеми не лише приніс молодому Ейлеру світову славу, але й значно вплинув на подальший розвиток аналізу, теорії чисел, а згодом — комплексного аналізу. В черговий раз (після відкриття ряду Лейбніца) число вийшло за межі геометрії та підтвердило свою універсальність. Нарешті, ряд обернених квадратів виявився першим кроком до введення знаменитої дзета-функції Рімана.
Історія
Вперше роздуми про ряд обернених квадратів історики виявили в роботах італійського математика [en] (1644), але тоді задача не викликала загального інтересу. Пізніше знайти суму ряду безуспішно намагалися знайти багато видатних математиків, зокрема Лейбніц, Стірлінг, де Муавр, брати Якоб та Йоганн Бернуллі. Вони обчислили декілька значущих цифр суми ряду, Якоб Бернуллі строго довів, що ряд збігається до деякого скінченного значення, однак ніхто не зміг визначити, з чим це значення могло б бути пов'язане.
Якоб Бернуллі закликав у своїй книзі «Арифметичні пропозиції про нескінченні ряди» (1689): «Якщо комусь вдасться знайти те, що досі не піддавалося нашим зусиллям, і якщо він повідомить це нам, то ми будемо йому дуже зобов'язані». Але при житті Якоба Бернуллі розв'язок цієї задачі так і не з'явився.
Першим успіху добився Ейлер, майже через півстоліття після звернення Бернуллі. Швидше за все, про цю проблему Ейлеру розповів Йоганн Бернуллі, брат Якоба. Ейлер повідомив про відкриття у замітці «Про суми обернених рядів» (De summis serierum reciprocarum, Commentarii, 1735 рік) для журналу Петербурзької академії наук. Знайдене ним значення суми Ейлер також повідомив у листі своєму другу Даніелю Бернуллі, сину Йоганна Бернуллі:
Нещодавно я знайшов, і зовсім неочікувано, витончений вираз для суми ряду, пов'язаного з квадратурою круга… А саме, шестикратна сума цього ряду дорівнює квадрату периметра круга, діаметр якого 1.
Даніель розповів батькові, який засумнівався у справедливості розкладу синуса в нескінченний добуток (див. нижче), отриманого Ейлером. Тому 1748 року Ейлер більш строго обґрунтував результат у своїй монографії «Вступ до аналізу нескінченно малих» (Introductio in analysin infinitorum, том I, глава X).
Для контролю Ейлер обчислив вручну суму ряду з 20 знаками (мабуть, використовуючи формулу Ейлера — Маклорена, оскільки ряд обернених квадратів збігається доволі повільно). Потім він порівняв суму зі значенням використовуючи вже відоме у той час наближене значення числа , і впевнився, що обидва значення, у межах точності розрахунків, однакові. Пізніше (1743) Ейлер опублікував ще два різних способи підсумовування ряду обернених квадратів, один із них описаний нижче як 4-й спосіб із книги Г. М. Фіхтенгольца.
Доведення збіжності ряду
Достатньо довести, що збігається ряд:
тому що кожен доданок у ньому (крім першого) більший, ніж у ряді обернених квадратів. Подамо новий ряд у вигляді:
Очевидно, часткова сума цього ряду дорівнює тому ряд збігається, і його сума дорівнює 2. Отже, і ряд обернених квадратів збігається до деякого числа в інтервалі (1, 2).
Метод Ейлера для знаходження суми ряду
До кінця XVII століття, завдяки роботам Ньютона та інших математиків, був відомий розклад у ряд функції синуса:
Ейлер зумів отримати інший розклад синуса — не в суму, а в нескінченний добуток:
Прирівнявши обидва вирази та скорочуючи на отримаємо:
(1) |
Оскільки ця тотожність виконується при всіх коефіцієнти при в її лівій та правій частинах повинні бути рівні:
Помноживши обидві частини рівності на остаточно отримуємо:
Альтернативні способи знаходження суми
Ряд Фур'є
Апарат розкладу в ряд Фур'є для функції дозволяє особливо легко та швидко отримати суму ряду обернених квадратів. Для парної функції цей розклад має наступний загальний вигляд:
Обчислимо коефіцієнти за стандартними формулами:
В результаті розклад набуває вигляду:
Підставивши в цю формулу отримуємо
- або:
Поділивши на 4, отримаємо остаточний результат.
Якщо замість підставити отримаємо ще одну суму:
Інший спосіб розв'язування задачі — скористатися рівністю Парсеваля для ряду Фур'є тієї ж парної функції .
Методи з курсу аналізу Г. М. Фіхтенгольца
У другому томі тритомного «Курсу диференціального та інтегрального числення» Г. М. Фіхтенгольца наводиться декілька способів підсумовування ряду обернених квадратів.
Перший спосіб (стор. 461) базується на розкладі арксинуса:
При отримуємо
Але раніше в томі 2 (стор. 340) було показано, що ліва частина останнього рівняння дорівнює третині суми ряду обернених квадратів, звідки отримуємо суму ряду.
Другий спосіб (стор. 490) по суті такий самий, як і наведений вище метод Ейлера.
Третій спосіб цікавий тим, що одразу дає суми всіх рядів обернених парних степенів:
Він базується на двох формулах розкладу гіперболічного котангенса. Перша (стор. 484) справедлива при :
Друга (стор. 495) пов'язує гіперболічний котангенс з числами Бернуллі :
Прирівнюючи однакові степені в обидвох формулах, отримуємо формулу зв'язку сум рядів із числами Бернуллі:
Для , з врахуванням отримуємо очікуваний результат.
Четвертий спосіб (стор. 671), знайдений ще Ейлером 1741 року, базується на інтегруванні рядів. Позначимо:
Скористаємося розкладом арксинуса в ряд для проміжку [0, 1]:
Цей ряд збігається рівномірно, і можна інтегрувати його почленно:
Перший інтеграл дорівнює 1, а другий після підстановки виявляється рівним тому отримуємо:
Ця сума містить обернені квадрати непарних чисел. Потрібна нам сума ряду всіх обернених квадратів складається з двох частин, перша з яких дорівнює а друга містить обернені квадрати парних чисел:
Тобто звідки:
Інші підходи
Оґюстен-Луї Коші 1821 року запропонував оригінальний та строгий, хоча і доволі складний, метод підсумовування ряду. Детальний виклад цього способу наведений у статті І. В. Терещенко.
У статті К. П. Кохася наводиться декілька різних способів підсумовування ряду: через інтеграли, комплексні лишки, гамма-функцію, розклад арксинуса чи котангенса, піднесення до квадрату ряду Лейбніца.
Варіації та узагальнення
Виходячи з формули (1), Ейлер розрахував суми не лише для ряду обернених квадратів, але і для рядів із інших парних степенів, аж до 26-го, наприклад:
і т. д. Ейлер також виявив, що суми таких рядів пов'язані з числами Бернуллі наступним співвідношенням:
де — числа Бернуллі.
Ейлер підсумував і модифікацію ряду обернених квадратів, що містила (у знаменниках) квадрати чи інші парні степені непарних чисел; суми рядів виявилися також пов'язаними з числом
Для рядів із непарних степенів теоретичні вирази їхніх сум досі невідомі. Доведено лише, що сума ряду обернених кубів (стала Апері) — ірраціональне число.
Якщо розглядати показник степеня у загальному ряді обернених степенів як змінну (не обов'язково цілочисельну), то отримаємо дзета-функцію Рімана, що відіграє величезну роль в аналізі та теорії чисел:
Таким чином, сума ряду обернених квадратів — Перші дослідження властивостей дзета-функції виконав Ейлер. 1859 року з'явилася глибока робота Бернгарда Рімана, яка розширила визначення дзета-функції на комплексну область. На основі Ріман детально розглянув зв'язок дзета-функції з розподілом простих чисел.
Див. також
Примітки
- Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — С. 90—92, 103—109. — . (рос.)
- . Архів оригіналу за 17 березня 2008. Процитовано 16 квітня 2016. (англ.)
- Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — Изд. 2-е, исправленное. — М. : Наука, 1975. — С. 40. (рос.)
- Leonh. Eulero. E41 -- De summis serierum reciprocarum. Процитовано 17 квітня 2016.
- Наварро, Хоакин. До предела чисел. Процитовано 10 серпня 2016. (рос.)
- История математики, том III, 1972, с. 337.
- Антонио Дуран, 2014, с. 109.
- Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М. : ГИФМЛ, 1960. — С. 143—144. (рос.)
- Кохась К. П., 2004.
- Фихтенгольц Г. М., 1966.
- Cauchy A. L. Cours d'analyse de l'École royale polytechnique I.re partie: Analyse algébrique. — Paris : Impr. royale Debure frères, 1821. — 576 p. (фр.)
- Терещенко И. В. Базельская задача i. Метод Коши и его обобщение для вычисления сумм чисел обратных четвёртой степени // Научные труды КубГТУ. — 2014. — № №2. з джерела 10 листопада 2016. Процитовано 2017-01-02. (рос.)
- Жуков А. В. Вездесущее число «пи». — 2-е изд. — М. : Издательство ЛКИ, 2007. — С. 145. — . (рос.)
Література
- Дуран, Антонио. Поэзия чисел. Прекрасное и математика. — М. : Де Агостини, 2014. — 160 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 27) — . (рос.)
- Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М. : Наука, 1972. — Т. III. (рос.)
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М. : Наука, 1966. — Т. II. — С. 461—462, 490, 496, 671. — . (рос.)
Посилання
- The stunning geometry behind this surprising equation - відео з геометричним доведенням суми цього ряду
- Кохась К. П. Сумма обратных квадратов // Математическое просвещение. — 2004. — Вип. 8. — С. 142–163. (рос.)
- Соболевский А., доктор физ.-мат. наук (ИППИ РАН). Вокруг Базельской задачи: Бернулли, Эйлер, Риман. Процитовано 24 травня 2016. (рос.)
- Chapman, Robin. (1999). Evaluating ζ(2) (PDF) (англ.). Процитовано 17 квітня 2016. (англ.)
- Pengelley, David J. (2002). Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula (PDF) (англ.). Euler 2K+2 conference, Rumford, Maine. Процитовано 17 квітня 2016. (англ.)
- Weisstein, Eric W. Riemann Zeta Function zeta(2) (англ.). MathWorld - -A Wolfram Web Resource. Процитовано 17 квітня 2016. (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ryad obernenih kvadrativ neskinchennij ryad 112 122 132 142 152 displaystyle frac 1 1 2 frac 1 2 2 frac 1 3 2 frac 1 4 2 frac 1 5 2 dots Zadacha znahodzhennya sumi cogo ryadu trivalij chas zalishalasya nerozv yazanoyu Oskilki uvagu yevropejskih matematikiv do ciyeyi problemi privernuv bazelskij profesor matematiki Yakob Bernulli 1689 rik v istoriyi vona neridko nazivayetsya bazelskoyu zadacheyu abo bazelskoyu problemoyu Pershim sumu ryadu zumiv otrimati 1735 roku 28 litnij Leonard Ejler vona viyavilasya rivnoyu p26 1 6449340668 displaystyle frac pi 2 6 approx 1 6449340668 div A013661 Rozv yazok ciyeyi problemi ne lishe prinis molodomu Ejleru svitovu slavu ale j znachno vplinuv na podalshij rozvitok analizu teoriyi chisel a zgodom kompleksnogo analizu V chergovij raz pislya vidkrittya ryadu Lejbnica chislo p displaystyle pi vijshlo za mezhi geometriyi ta pidtverdilo svoyu universalnist Nareshti ryad obernenih kvadrativ viyavivsya pershim krokom do vvedennya znamenitoyi dzeta funkciyi Rimana Istoriya en Vpershe rozdumi pro ryad obernenih kvadrativ istoriki viyavili v robotah italijskogo matematika en 1644 ale todi zadacha ne viklikala zagalnogo interesu Piznishe znajti sumu ryadu bezuspishno namagalisya znajti bagato vidatnih matematikiv zokrema Lejbnic Stirling de Muavr brati Yakob ta Jogann Bernulli Voni obchislili dekilka znachushih cifr sumi ryadu Yakob Bernulli strogo doviv sho ryad zbigayetsya do deyakogo skinchennogo znachennya odnak nihto ne zmig viznachiti z chim ce znachennya moglo b buti pov yazane Leonard Ejler Yakob Bernulli zaklikav u svoyij knizi Arifmetichni propoziciyi pro neskinchenni ryadi 1689 Yaksho komus vdastsya znajti te sho dosi ne piddavalosya nashim zusillyam i yaksho vin povidomit ce nam to mi budemo jomu duzhe zobov yazani Ale pri zhitti Yakoba Bernulli rozv yazok ciyeyi zadachi tak i ne z yavivsya Pershim uspihu dobivsya Ejler majzhe cherez pivstolittya pislya zvernennya Bernulli Shvidshe za vse pro cyu problemu Ejleru rozpoviv Jogann Bernulli brat Yakoba Ejler povidomiv pro vidkrittya u zamitci Pro sumi obernenih ryadiv De summis serierum reciprocarum Commentarii 1735 rik dlya zhurnalu Peterburzkoyi akademiyi nauk Znajdene nim znachennya sumi Ejler takozh povidomiv u listi svoyemu drugu Danielyu Bernulli sinu Joganna Bernulli Neshodavno ya znajshov i zovsim neochikuvano vitonchenij viraz dlya sumi ryadu pov yazanogo z kvadraturoyu kruga A same shestikratna suma cogo ryadu dorivnyuye kvadratu perimetra kruga diametr yakogo 1 Daniel rozpoviv batkovi yakij zasumnivavsya u spravedlivosti rozkladu sinusa v neskinchennij dobutok div nizhche otrimanogo Ejlerom Tomu 1748 roku Ejler bilsh strogo obgruntuvav rezultat u svoyij monografiyi Vstup do analizu neskinchenno malih Introductio in analysin infinitorum tom I glava X Dlya kontrolyu Ejler obchisliv vruchnu sumu ryadu z 20 znakami mabut vikoristovuyuchi formulu Ejlera Maklorena oskilki ryad obernenih kvadrativ zbigayetsya dovoli povilno Potim vin porivnyav sumu zi znachennyam p26 displaystyle frac pi 2 6 vikoristovuyuchi vzhe vidome u toj chas nablizhene znachennya chisla p displaystyle pi i vpevnivsya sho obidva znachennya u mezhah tochnosti rozrahunkiv odnakovi Piznishe 1743 Ejler opublikuvav she dva riznih sposobi pidsumovuvannya ryadu obernenih kvadrativ odin iz nih opisanij nizhche yak 4 j sposib iz knigi G M Fihtengolca Dovedennya zbizhnosti ryaduDostatno dovesti sho zbigayetsya ryad 1 11 2 12 3 13 4 14 5 displaystyle 1 frac 1 1 cdot 2 frac 1 2 cdot 3 frac 1 3 cdot 4 frac 1 4 cdot 5 cdots tomu sho kozhen dodanok u nomu krim pershogo bilshij nizh u ryadi obernenih kvadrativ Podamo novij ryad u viglyadi 1 1 12 12 13 13 14 displaystyle 1 left 1 frac 1 2 right left frac 1 2 frac 1 3 right left frac 1 3 frac 1 4 right cdots Ochevidno chastkova suma Sn displaystyle S n cogo ryadu dorivnyuye 2 1n displaystyle 2 1 over n tomu ryad zbigayetsya i jogo suma dorivnyuye 2 Otzhe i ryad obernenih kvadrativ zbigayetsya do deyakogo chisla v intervali 1 2 Metod Ejlera dlya znahodzhennya sumi ryaduDo kincya XVII stolittya zavdyaki robotam Nyutona ta inshih matematikiv buv vidomij rozklad u ryad funkciyi sinusa sin x x x33 x55 x77 displaystyle sin x x frac x 3 3 frac x 5 5 frac x 7 7 cdots Ejler zumiv otrimati inshij rozklad sinusa ne v sumu a v neskinchennij dobutok sin x x 1 x2p2 1 x24p2 1 x29p2 1 x216p2 displaystyle sin x x left 1 frac x 2 pi 2 right left 1 frac x 2 4 pi 2 right left 1 frac x 2 9 pi 2 right left 1 frac x 2 16 pi 2 right cdots Pririvnyavshi obidva virazi ta skorochuyuchi na x displaystyle x otrimayemo 1 x2p2 1 x24p2 1 x29p2 1 x216p2 1 x23 x45 x67 displaystyle left 1 frac x 2 pi 2 right left 1 frac x 2 4 pi 2 right left 1 frac x 2 9 pi 2 right left 1 frac x 2 16 pi 2 right cdots 1 frac x 2 3 frac x 4 5 frac x 6 7 cdots 1 Oskilki cya totozhnist vikonuyetsya pri vsih x displaystyle x koeficiyenti pri x2 displaystyle x 2 v yiyi livij ta pravij chastinah povinni buti rivni 1p2 14p2 19p2 116p2 16 displaystyle frac 1 pi 2 frac 1 4 pi 2 frac 1 9 pi 2 frac 1 16 pi 2 cdots frac 1 6 Pomnozhivshi obidvi chastini rivnosti na p2 displaystyle pi 2 ostatochno otrimuyemo 112 122 132 142 152 p26 displaystyle frac 1 1 2 frac 1 2 2 frac 1 3 2 frac 1 4 2 frac 1 5 2 dots frac pi 2 6 Alternativni sposobi znahodzhennya sumiRyad Fur ye Aparat rozkladu v ryad Fur ye dlya funkciyi f x x2 displaystyle f x x 2 dozvolyaye osoblivo legko ta shvidko otrimati sumu ryadu obernenih kvadrativ Dlya parnoyi funkciyi cej rozklad maye nastupnij zagalnij viglyad f x a0 n 1 ancos nx displaystyle f x a 0 sum n 1 infty a n cos nx Obchislimo koeficiyenti an displaystyle a n za standartnimi formulami a0 12p ppx2dx p23 an 1p ppx2cos nx dx 1 n4n2 displaystyle a 0 frac 1 2 pi int limits pi pi x 2 dx pi 2 over 3 quad a n frac 1 pi int limits pi pi x 2 cos nx dx 1 n frac 4 n 2 V rezultati rozklad nabuvaye viglyadu x2 p23 n 1 1 n4cos nx n2 displaystyle x 2 pi 2 over 3 sum n 1 infty 1 n frac 4 cos nx n 2 Pidstavivshi v cyu formulu x p displaystyle x pi otrimuyemo p2 p23 n 1 1 n4 1 nn2 displaystyle pi 2 pi 2 over 3 sum n 1 infty 1 n frac 4 1 n n 2 abo 23p2 4 n 1 1n2 displaystyle 2 over 3 pi 2 4 sum n 1 infty frac 1 n 2 Podilivshi na 4 otrimayemo ostatochnij rezultat Yaksho zamist x p displaystyle x pi pidstaviti x 0 displaystyle x 0 otrimayemo she odnu sumu 112 122 132 142 152 p212 displaystyle frac 1 1 2 frac 1 2 2 frac 1 3 2 frac 1 4 2 frac 1 5 2 dots pi 2 over 12 Inshij sposib rozv yazuvannya zadachi skoristatisya rivnistyu Parsevalya dlya ryadu Fur ye tiyeyi zh parnoyi funkciyi f x x2 displaystyle f x x 2 Metodi z kursu analizu G M Fihtengolca U drugomu tomi tritomnogo Kursu diferencialnogo ta integralnogo chislennya G M Fihtengolca navoditsya dekilka sposobiv pidsumovuvannya ryadu obernenih kvadrativ Pershij sposib stor 461 bazuyetsya na rozkladi arksinusa 2 arcsin y 2 m 1 m 1 2 2m 2y 2m displaystyle 2 arcsin y 2 sum m 1 infty frac m 1 2 2m 2y 2m Pri y 12 displaystyle y 1 over 2 otrimuyemo m 1 m 1 2 2m p218 displaystyle sum m 1 infty frac m 1 2 2m frac pi 2 18 Ale ranishe v tomi 2 stor 340 bulo pokazano sho liva chastina ostannogo rivnyannya dorivnyuye tretini sumi ryadu obernenih kvadrativ zvidki otrimuyemo sumu ryadu Drugij sposib stor 490 po suti takij samij yak i navedenij vishe metod Ejlera Tretij sposib cikavij tim sho odrazu daye sumi vsih ryadiv obernenih parnih stepeniv S2n m 1 1m2n displaystyle S 2n sum m 1 infty frac 1 m 2n Vin bazuyetsya na dvoh formulah rozkladu giperbolichnogo kotangensa Persha stor 484 spravedliva pri x lt 1 displaystyle x lt 1 px cth px 1 2 n 1 1 n 1S2nx2n displaystyle pi x cdot operatorname cth pi x 1 2 sum n 1 infty 1 n 1 S 2n x 2n Druga stor 495 pov yazuye giperbolichnij kotangens z chislami Bernulli Bn displaystyle B n px cth px 1 n 1 1 n 1 2p 2nBn 2n x2n displaystyle pi x cdot operatorname cth pi x 1 sum n 1 infty 1 n 1 frac 2 pi 2n B n 2n x 2n Pririvnyuyuchi odnakovi stepeni v obidvoh formulah otrimuyemo formulu zv yazku sum ryadiv iz chislami Bernulli Bn 2 2n 2p 2nS2n displaystyle B n frac 2 2n 2 pi 2n S 2n Dlya n 1 displaystyle n 1 z vrahuvannyam B1 16 displaystyle B 1 1 over 6 otrimuyemo ochikuvanij rezultat Chetvertij sposib stor 671 znajdenij she Ejlerom 1741 roku bazuyetsya na integruvanni ryadiv Poznachimo E 01arcsin x1 x2 dx 01arcsin x darcsin x p28 displaystyle E int limits 0 1 frac arcsin x sqrt 1 x 2 dx int limits 0 1 arcsin x d arcsin x frac pi 2 8 Skoristayemosya rozkladom arksinusa v ryad dlya promizhku 0 1 arcsin x x n 1 2n 1 2n x2n 12n 1 displaystyle arcsin x x sum n 1 infty frac 2n 1 2n cdot frac x 2n 1 2n 1 Cej ryad zbigayetsya rivnomirno i mozhna integruvati jogo pochlenno E 01x1 x2 dx n 1 2n 1 2n 2n 1 01x2n 11 x2 dx displaystyle E int limits 0 1 frac x sqrt 1 x 2 dx sum n 1 infty frac 2n 1 2n 2n 1 int limits 0 1 frac x 2n 1 sqrt 1 x 2 dx Pershij integral dorivnyuye 1 a drugij pislya pidstanovki x sin t displaystyle x sin t viyavlyayetsya rivnim 2n 2n 1 displaystyle frac 2n 2n 1 tomu otrimuyemo E 1 n 1 1 2n 1 2 n 1 1 2n 1 2 displaystyle E 1 sum n 1 infty frac 1 2n 1 2 sum n 1 infty frac 1 2n 1 2 Cya suma mistit oberneni kvadrati neparnih chisel Potribna nam suma S displaystyle S ryadu vsih obernenih kvadrativ skladayetsya z dvoh chastin persha z yakih dorivnyuye E displaystyle E a druga mistit oberneni kvadrati parnih chisel S 112 122 132 142 E 122 142 162 p28 14S displaystyle S frac 1 1 2 frac 1 2 2 frac 1 3 2 frac 1 4 2 dots E frac 1 2 2 frac 1 4 2 frac 1 6 2 dots frac pi 2 8 1 over 4 S Tobto 34S p28 displaystyle 3 over 4 S frac pi 2 8 zvidki S p26 displaystyle S frac pi 2 6 Inshi pidhodi Ogyusten Luyi Koshi 1821 roku zaproponuvav originalnij ta strogij hocha i dovoli skladnij metod pidsumovuvannya ryadu Detalnij viklad cogo sposobu navedenij u statti I V Tereshenko U statti K P Kohasya navoditsya dekilka riznih sposobiv pidsumovuvannya ryadu cherez integrali kompleksni lishki gamma funkciyu rozklad arksinusa chi kotangensa pidnesennya do kvadratu ryadu Lejbnica Variaciyi ta uzagalnennyaVihodyachi z formuli 1 Ejler rozrahuvav sumi ne lishe dlya ryadu obernenih kvadrativ ale i dlya ryadiv iz inshih parnih stepeniv azh do 26 go napriklad 114 124 134 144 154 p490 displaystyle frac 1 1 4 frac 1 2 4 frac 1 3 4 frac 1 4 4 frac 1 5 4 dots frac pi 4 90 116 126 136 146 156 p6945 displaystyle frac 1 1 6 frac 1 2 6 frac 1 3 6 frac 1 4 6 frac 1 5 6 dots frac pi 6 945 i t d Ejler takozh viyaviv sho sumi takih ryadiv pov yazani z chislami Bernulli nastupnim spivvidnoshennyam S2k 1 k 1 2p 2k2 2k B2k displaystyle S 2k 1 k 1 frac 2 pi 2k 2 2k B 2k de B2k displaystyle B 2k chisla Bernulli Ejler pidsumuvav i modifikaciyu ryadu obernenih kvadrativ sho mistila u znamennikah kvadrati chi inshi parni stepeni neparnih chisel sumi ryadiv viyavilisya takozh pov yazanimi z chislom p displaystyle pi Dlya ryadiv iz neparnih stepeniv teoretichni virazi yihnih sum dosi nevidomi Dovedeno lishe sho suma ryadu obernenih kubiv stala Aperi irracionalne chislo Yaksho rozglyadati pokaznik stepenya u zagalnomu ryadi obernenih stepeniv yak zminnu ne obov yazkovo cilochiselnu to otrimayemo dzeta funkciyu Rimana sho vidigraye velicheznu rol v analizi ta teoriyi chisel z s n 1 1ns displaystyle zeta s sum n 1 infty frac 1 n s Takim chinom suma ryadu obernenih kvadrativ z 2 displaystyle zeta 2 Pershi doslidzhennya vlastivostej dzeta funkciyi vikonav Ejler 1859 roku z yavilasya gliboka robota Berngarda Rimana yaka rozshirila viznachennya dzeta funkciyi na kompleksnu oblast Na osnovi Riman detalno rozglyanuv zv yazok dzeta funkciyi z rozpodilom prostih chisel Div takozhDzeta funkciya Rimana Stala Aperi Ryad obernenih do prostih chiselPrimitkiDerbishir Dzhon Prostaya oderzhimost Bernhard Riman i velichajshaya nereshennaya problema v matematike Astrel 2010 S 90 92 103 109 ISBN 978 5 271 25422 2 ros Arhiv originalu za 17 bereznya 2008 Procitovano 16 kvitnya 2016 angl Poja D Matematika i pravdopodobnye rassuzhdeniya Izd 2 e ispravlennoe M Nauka 1975 S 40 ros Leonh Eulero E41 De summis serierum reciprocarum Procitovano 17 kvitnya 2016 Navarro Hoakin Do predela chisel Procitovano 10 serpnya 2016 ros Istoriya matematiki tom III 1972 s 337 Antonio Duran 2014 s 109 Vilejtner G Istoriya matematiki ot Dekarta do serediny XIX stoletiya M GIFML 1960 S 143 144 ros Kohas K P 2004 Fihtengolc G M 1966 Cauchy A L Cours d analyse de l Ecole royale polytechnique I re partie Analyse algebrique Paris Impr royale Debure freres 1821 576 p fr Tereshenko I V Bazelskaya zadacha i Metod Koshi i ego obobshenie dlya vychisleniya summ chisel obratnyh chetvyortoj stepeni Nauchnye trudy KubGTU 2014 2 z dzherela 10 listopada 2016 Procitovano 2017 01 02 ros Zhukov A V Vezdesushee chislo pi 2 e izd M Izdatelstvo LKI 2007 S 145 ISBN 978 5 382 00174 6 ros LiteraturaDuran Antonio Poeziya chisel Prekrasnoe i matematika M De Agostini 2014 160 s Mir matematiki v 45 tomah tom 27 ISBN 978 5 9774 0722 9 ros Matematika XVIII stoletiya Istoriya matematiki Pod redakciej A P Yushkevicha v tryoh tomah M Nauka 1972 T III ros Fihtengolc G M Kurs differencialnogo i integralnogo ischisleniya izd 6 e M Nauka 1966 T II S 461 462 490 496 671 ISBN 5 9221 0155 2 ros PosilannyaThe stunning geometry behind this surprising equation video z geometrichnim dovedennyam sumi cogo ryadu Kohas K P Summa obratnyh kvadratov Matematicheskoe prosveshenie 2004 Vip 8 S 142 163 ros Sobolevskij A doktor fiz mat nauk IPPI RAN Vokrug Bazelskoj zadachi Bernulli Ejler Riman Procitovano 24 travnya 2016 ros Chapman Robin 1999 Evaluating z 2 PDF angl Procitovano 17 kvitnya 2016 angl Pengelley David J 2002 Dances between continuous and discrete Euler s summation formula PDF angl Euler 2K 2 conference Rumford Maine Procitovano 17 kvitnya 2016 angl Weisstein Eric W Riemann Zeta Function zeta 2 angl MathWorld A Wolfram Web Resource Procitovano 17 kvitnya 2016 angl