В математиці формула Ейлера — Маклорена визначає тісний зв'язок між інтегралами і рядами. Названа на честь швейцарського математика Леонарда Ейлера і шотландського математика Коліна Маклорена.
Твердження
Нехай p і q два цілих числа. Для 2k разів неперервно диференційованої на проміжку , функції :
де :
В даних формулах позначає i-й многочлен Бернуллі, — періодизований многочлен Бернуллі. Числа bi позначають числа Бернуллі : b1 = −1/2, b2 = 1/6, b3 = 0, b4 = −1/30, b5 = 0, b6 = 1/42, b7 = 0, b8 = −1/30.
Завдяки заміні змінних подібну формулу можна одержати для інтервалу межі якого не є цілими числами.
Доведення
Достатньо довести справедливість для інтервалу де ; загальна формула одержується за допомогою сумування.
Нехай g — функція неперервно диференційована на інтервалі . Використовуючи властивість многочленів Бернуллі : , одержуємо з інтегрування частинами :
Оскільки для , виконується , одержуємо :
Рекурентністю для k від 0 до 2p, приймаючи , одержується :
З властивості : , одержується :
Посилання
- Weisstein, Eric W. Euler-Maclaurin Integration Formulas(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Література
- Цегелик Г.Г. Чисельні методи. – Львів: Видавничий центр Львівського національного університету, 2004. – 408 с
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
- Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. pp. 495–519.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет