Сума ряду

Ряд — в математиці, це операція додавання нескінченної кількості величин, послідовно одна за одною, починаючи із заданої величини.

Для кожного ряду зазвичай розглядають послідовності часткових сум (ряду) та елементів (ряду).

Розглядаються числові ряди двох видів:

• Дробові числові ряди — вивчаються в математичному аналізі;
• Комплексні числові ряди — вивчаються в комплексному аналізі;

Важливіше питання дослідження числових рядів — це збіжність числових рядів. Числові ряди застосовуються як система наближень до чисел. Узагальненням поняття ряду є поняття ^[ru].

Тривалий час, думка про те, що така потенційно нескінченна сума може мати скінченний результат, математиками і філософами розглядалася як парадокс. Цей парадокс було вирішено з виникненням поняття границі під час 19-го століття. Парадокс Зенона про (Ахілла та черепаху) ілюструє цю контрінтуїтивну властивість скінченних рядів: Ахілл біжить услід за черепахою, але коли він наздоганяє черепаху на початку гонки, вона вже досягає другої позиції; коли він досягає другої позиції черепахи, вона буде вже на третій позиції, і так далі. Зенон розрахував, що Ахілл ніколи не зможе досягнути черепаху, і що таким робом такого моменту не існує. Зенон розділив цю гонку на нескінченно велику кількість частин гонки, кожна з яких займає скінченну частину часу, так, що загальний час, за який Ахілл добіжить до черепахи, заданий рядом. Вирішенням цього парадоксу є те, що, хоча ряд має нескінченно велику кількість елементів, він має скінченну суму, яка і є тим часом, за який Ахілл наздожене та впіймає черепаху.

У сучасній термінології, будь-яка (впорядкована) нескінченна послідовність ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$ з термів (що можуть бути числами, функціями, або будь-чого, що може додаватися) визначає ряд, який є операцією додавання ${\displaystyle a_{i}}$ між собою. Аби підкреслити те, що існує нескінченна кількість термів, ряд може називатися нескінченним рядом. Такий ряд записується у вигляді такого математичного виразу:

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$.

Загалом поняття ряду виникло з поняття кільця, що часто є полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ дійсних чисел або полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексних чисел. У такому разі множина всіх рядів сама собою є кільцем (або навіть асоціативною алгеброю), у якій операція додавання визначає додавання рядів поелементно, терм за термом, а множення є операцією добутку Коші●.

Визначення

Нехай  ${\displaystyle \{a_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ — послідовність; розглянемо також послідовність

${\displaystyle \{s_{n}\}_{n=1}^{\infty },}$ кожен елемент якої є n-тою частковою сумою членів початкової послідовності

${\displaystyle s_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}.}$

Рядом називається сукупність цих двох послідовностей. Позначається:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}.}$

Тоді, за визначенням:

• Числовий ряд збігається, якщо збігається послідовність його часткових сум;
• Числовий ряд розбігається, якщо розбігається послідовність його часткових сум;
• Числовий ряд збігається абсолютно, якщо збігається ряд з модулів його членів.

Якщо числовий ряд збігається, то границя ${\displaystyle S}$ послідовності його часткових сум має назву суми ряду:

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i},}$

Ознаки збіжності

Докладніше: Ознаки збіжності

Необхідні умови збіжності

Докладніше: Границя доданків ряду

Теорема 01

Якщо числовий ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

збігається, то кінцевий член ряду

${\displaystyle a_{n}\rightarrow 0}$, ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

Доведення. ${\displaystyle \vartriangleright }$ Дійсно, оскільки ${\displaystyle a_{n}=S_{n}-S_{n-1}}$, ${\displaystyle n\geqslant 2}$ та ${\displaystyle S_{n}\rightarrow S\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$, то ${\displaystyle a_{n}\rightarrow S-S=0}$, ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$. ${\displaystyle \vartriangleleft }$

Теорема 02

Якщо числовий ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

збігається, то залишок ряду

${\displaystyle a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{2n}\rightarrow 0}$, ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

Доведення. ${\displaystyle \vartriangleright }$ Розглянемо ${\displaystyle a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{2n}=S_{2n}-S_{n}\rightarrow S-S=0}$, ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$. ${\displaystyle \vartriangleleft }$

Теореми 01 та 02 дають необхідні умови збіжності ряду (1).

Критерій Коші

Для того щоб ряд (1) збігався, необхідно і достатньо, щоб

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists N\in \mathbb {N} \;\forall n\geqslant N\;\forall p\in \mathbb {N} \colon \quad |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon }$.

${\displaystyle \vartriangleright }$ Цей критерій являє собою критерій Коші для числовой послідовності ${\displaystyle \{S_{n}\colon n\geqslant 1\}}$. ${\displaystyle \vartriangleleft }$

Критерій абсолютної збіжності

Ряд з дійсних чисел збігається абсолютно тоді й тільки тоді, коли збігаються обидва ряди: ряд з додатних його членів і ряд з від'ємних членів.

Операції над рядами

Нехай задано два збіжні ряди ${\displaystyle a=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ та ${\displaystyle b=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$. Тоді:

• Їхньою сумою називається ряд ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})}$ і його сама рівна ${\displaystyle a+b}$.
• Їхнім добутком за Коші називається ряд ${\displaystyle \sum c_{n}}$, де ${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}}$

Якщо обидва ряди збігаються абсолютно, то добуток рядів збігається.

Приклади числових рядів

Докладніше: Список рядів та сум

Приклад 01. Ряди

${\displaystyle 1+1+1+\cdots +1+\cdots }$

${\displaystyle 1-1+1-\cdots +(-1)^{n+1}+\cdots }$

є розбіжними згідно з теоремою 01. Дійсно, ${\displaystyle a_{n}=1\nrightarrow 0}$, ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ у випадку ряду (1) та ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n+1}\nrightarrow 0}$ у випадку ряду (2).

Приклад 02. Доведемо, що

${\displaystyle {\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}+\cdots =1}$

${\displaystyle \vartriangleright }$ Дійсно, для ${\displaystyle n\geqslant 1}$

${\displaystyle S_{n}={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}=(1-{\frac {1}{2}})+({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}})+({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}})+\cdots +({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}})=1-{\frac {1}{n+1}}}$.

Отже, ${\displaystyle S_{n}\rightarrow 1}$, ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$. ${\displaystyle \vartriangleleft }$

• Геометричний ряд — це такий ряд, ц якому кожен наступний елемент утворений множенням попереднього на стале число (що зветься сталим відношенням ряду). Наприклад:

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}.}$

Загалом геометричний ряд

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}={\frac {1}{1-z}}}$

збігається тоді й тільки тоді, коли ${\textstyle |z|<1}$.

•  — це узагальнення геометричного ряду, коефіцієнти сталого відношення якого дорівнюють елементам в арифметичній прогресії. Наприклад:

${\displaystyle 3+{5 \over 2}+{7 \over 4}+{9 \over 8}+{11 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(3+2n) \over 2^{n}}.}$

• Гармонічний ряд — це ряд виду

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.}$

Гармонічні ряди є (розбіжними), оскільки за теоремою 02 ${\displaystyle S_{2n}-S_{n}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}\geqslant n{\frac {1}{2n}}={\frac {1}{2}}}$.

•  — це ряд, у якому елементи можуть змінювати свій знак. У таких рядах доданки є як додатні, так і від'ємні. Наприклад:

${\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)^{n-1} \over n}=\ln(2)\quad }$ (знакозмінний гармонічний ряд)

і

${\displaystyle -1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{9}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}}{2n-1}}=-{\frac {\pi }{4}}}$

• Узагальнений гармонічний ряд або p-ряд:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}$

збігається, коли p > 1, і є розбіжним, коли p ≤ 1. Функція відносно p, що є сумою цього ряду є дзета-функцією Рімана.

• Телескопічний ряд:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})}$

збігається, якщо послідовність b_n збігається до границі L, притому як n прямує до нескінченності. Значення ряду тоді дорівнюватиме b₁ − L.

π

Апроксимація числа π за допомогою ряду

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(4)}{2n-1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots =\pi }$

Натуральний логарифм 2

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=\ln 2}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)(n+2)}}=2\ln(2)-1}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)}}=2\ln(2)-1}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}=\ln 2}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3^{n}}}+{\frac {1}{4^{n}}}\right){\frac {1}{n}}=\ln 2}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n(2n-1)}}=\ln 2}$

Натуральний логарифм за основою e

Докладніше: e (число)

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots ={\frac {1}{e}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e}$

Література

• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — .(укр.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)
• Математический анализ. — 10-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 1. — 564 с. — .(рос.)
• Ряди // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 496. — 594 с.
• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)