Збіжний ряд

Ряд — в математиці це сума членів нескінченної послідовності чисел. Тобто, нескінченна послідовність ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$ визначає ряд S:

${\displaystyle S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.}$

n-на S_n — це сума перших n членів послідовності:

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}$

Ряд є збіжним (або збігається) тоді й лише тоді, коли послідовність ${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3},\dots )}$ часткових сум має границю; що означає, після деякого ${\displaystyle a_{k}}$ всі подальні часткові суми будуть все ближче до границі. Формально, ряд збігається тоді і лише тоді:

${\displaystyle \exists \ell :\forall (\varepsilon >0)\exists N\forall n>N:\left|S_{n}-\ell \right|<\varepsilon .}$

Якщо ряд збігається, тоді (існує і єдине) число ${\displaystyle \ell }$ називається сумою ряду.

Приклади

...

Властивості

...

Ознаки збіжності

Докладніше: Ознаки збіжності

Див. також

• Абсолютна збіжність
• Умовна збіжність
• Рівномірна збіжність

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)