Центральний біноміальний коефіцієнт

У математиці ${\displaystyle n}$-й центральний біноміальний коефіцієнт визначається таким виразом у термінах біноміальних коефіцієнтів

${\displaystyle {2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}}$ для всіх ${\displaystyle n\geq 0}$.

Вони отримали назву тому, що вони містяться точно посередині парних рядів у трикутнику Паскаля. Перші кілька центральних біноміальних коефіцієнтів, починаючи з ${\displaystyle n=0}$, виписано нижче:

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, … послідовність A000984 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Властивості

Твірна функція:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .}$

За отримуємо:

${\displaystyle {2n \choose n}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ .

Корисні обмеження:

${\displaystyle {\frac {4^{n}}{\sqrt {4n}}}\leq {2n \choose n}\leq {\frac {4^{n}}{\sqrt {3n+1}}}}$ для кожного ${\displaystyle n\geq 1}$

Якщо потрібна більша точність:

${\displaystyle {2n \choose n}={\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {c_{n}}{n}}\right)}$ де ${\displaystyle {\frac {1}{9}}<c_{n}<{\frac {1}{8}}}$ для всіх ${\displaystyle n\geq 1}$.

З цим поняттям тісно пов'язані так звані (числа Каталана), ${\displaystyle C_{n}}$_. Їх формула:

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}}$ для кожного ${\displaystyle n\geq 0}$.

Узагальненням центральних біноміальних коефіцієнтів можна вважати числа ${\displaystyle {\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2}}}={\frac {1}{n\mathrm {B} (n+1,n)}}}$, для всіх дійсних ${\displaystyle n}$, за яких вираз визначений, де ${\displaystyle \Gamma (x)}$ — гамма-функція, а ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)}$ — бета-функція.

Див. також

• Припущення Ердеша про безквадратність

Посилання

• Центральний біноміальний коефіцієнт на PlanetMath [ 24 квітня 2021 у Wayback Machine.] (англ.)
• Біноміальний коефіцієнт на PlanetMath [ 6 лютого 2021 у Wayback Machine.] (англ.)
• Трикутник Паскаля на PlanetMath [ 14 травня 2011 у Wayback Machine.] (англ.)
• Числа Каталана на PlanetMath [ 12 липня 2021 у Wayback Machine.] (англ.)