Ціла функція

Ціла функція — функція, голоморфна на всій комплексній площині. Вона розкладається в степеневий ряд:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n},\quad a_{n}={\frac {f^{(n)}(z)}{n!}},}$

що є збіжним у всій площині ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Прикладами цілих функцій є многочлени, тригонометричні функції, експонента.

Властивості

• Ціла функція, що має на нескінченності полюс, повинна бути многочленом. Таким чином, всі цілі функції, що не є многочленами мають на нескінченності істотно особливу точку. Такі функції називаються трансцендентними цілими функціями.

• Якщо ${\displaystyle f(z)\neq 0}$ усюди, то ${\displaystyle f(z)=e^{P(z)}}$, де P(z) — ціла функція.

• Якщо функція приймає значення нуль в скінченній множині точок ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$, то:

${\displaystyle f(z)=(z-z_{1})\ldots (z-z_{k})e^{P(z)}}$

• У загальному випадку, коли у f(z) має нескінченно багато нулів ${\displaystyle z_{1},z_{2},\ldots ,}$ має місце представлення:

${\displaystyle f(z)=z^{\lambda }e^{P(z)}\prod _{1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{2}+\dots +{\frac {1}{p_{n}}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{p_{n}}\right),}$

де Р(z) є цілою функцією, а ${\displaystyle \lambda =0}$, якщо ${\displaystyle f(0)\neq 0}$ і ${\displaystyle \lambda }$ рівне кратності нуля z = 0, якщо ${\displaystyle f(0)=0}$.

• Значеннями довільної цілої функції, не рівної константі, є усі комплексні числа за винятком, можливо одного числа (наприклад значеннями експоненти є всі числа крім нуля).

Порядок і тип цілої функції

Нехай ${\displaystyle M_{f}(r)=\max _{|z|\leq r}|f(z)|.}$

Якщо при великих r величина М_f (r) зростає не швидше ${\displaystyle r^{\mu }}$, то f(z) — многочлен степеня не більшого ${\displaystyle \mu }$. Відповідно, якщо f(z) не многочлен, то М_f (r) росте швидше будь-якого степеня r. При оцінці зростання М_f (r) в цьому випадку береться як функція порівняння показникова функція.

За визначенням f(z) є цілою функцією скінченного порядку, якщо існує скінченне ${\displaystyle \mu }$ таке, що

${\displaystyle M_{f}(r)<\exp(r^{\mu }),\quad r>r_{0}}$

Нижня грань ${\displaystyle \rho }$ множини чисел ${\displaystyle \mu }$, що задовольняють цій умові, називається порядком цілої функції f(z).

Порядок обчислюється за формулою

${\displaystyle \rho =\rho _{f}=\limsup _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln \ln M_{f}(r)}{\ln r}}.}$

Якщо f(z) порядку ${\displaystyle \rho }$ задовольняє умові:

${\displaystyle M_{f}(r)<\exp(\alpha r^{\mu }),\quad \alpha <\infty ,\quad r>r_{0}}$

то кажуть, що f(z) — функція порядку ${\displaystyle \rho }$ і скінченного типу. Нижня грань ${\displaystyle \sigma }$ множини чисел ${\displaystyle \alpha }$, що задовольняють вказаній умові, називається типом цілої функції f(z). Він визначається з формули

${\displaystyle \sigma _{f}=\limsup _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln M_{f}(r)}{r^{\rho }}}.}$

Серед цілих функцій скінченного типу розрізняють цілі функції нормального типу ${\displaystyle (\sigma >0)}$ і мінімального типу ${\displaystyle (\sigma =0)}$. Якщо умова при визначенні типу не виконується при будь-якому ${\displaystyle \alpha <\infty }$, то ціла функція називається цілою функцією максимального, або нескінченного, типу.

Приклади

• Функції ${\displaystyle \exp(z)}$ і ${\displaystyle \sin(z)}$ з ${\displaystyle \cos(z)}$ мають порядок 1.
• Функція Міттаг-Лефлера ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{\Gamma \left(1+{\frac {n}{\rho }}\right)}}}$ має порядок ${\displaystyle \rho }$.

Властивості

• Порядок і тип цілих функцій задовольняють властивості:
  • ${\displaystyle \rho _{f+g}\leq \max(\rho _{f},\rho _{g})}$
  • ${\displaystyle \rho _{fg}\leq \max(\rho _{f},\rho _{g})}$
  • ${\displaystyle \sigma _{f+g}\leq \max(\sigma _{f},\sigma _{g})}$
  • ${\displaystyle \sigma _{fg}\leq \sigma _{f}+\sigma _{g}}$

• Нулі ${\displaystyle z_{1},z_{2},\ldots ,}$ цілої функції f(z) порядку ${\displaystyle \rho }$ для якої ${\displaystyle f(0)\neq 0}$ володіють властивістю:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{|z_{k}|^{\rho +\epsilon }}}<\infty ,\quad \forall \epsilon >0.}$

• Порядок і тип можна визначити через коефіцієнти розкладу функції в ряд:

• • ${\displaystyle \rho _{f}=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n\ln n}{\ln 1/|a_{n}|}}.}$
  • ${\displaystyle \sigma _{f}={\frac {1}{\rho e}}\limsup _{n\rightarrow \infty }n|a_{n}|^{\rho /n}.}$

Функції багатьох змінних

Функція багатьох змінних f(z₁, z₂, ..., z_n) є цілою функцією, якщо вона є голоморфною для ${\displaystyle |z_{k}|<\infty ,~(k=1,\ldots ,n)}$. Для неї вводяться поняття порядку і типу (спряжених порядків і типів). Простого представлення у виді нескінченного добутку тут одержати не вдається, тому що на відміну від випадку ${\displaystyle n=1}$ нулі f(z) не є ізольованими.

Див. також

• Голоморфна функція
• Мероморфна функція
• Теорема Веєрштрасса про цілі функції
• Формула Єнсена
• Числова функція

Література

• Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции, 3 изд., М., 1979
• Левин Б. Я., Распределение корней целых функций, М., 1956;
• Ронкин Л. И., Введение в теорию целых функций многих переменных, М., 1971.
• Ralph P. Boas (1954). Entire Functions. Academic Press.