Формула Єнсена є твердженням у комплексному аналізі, що описує поведінку голоморфної в крузі функції в залежності від модулів нулів цієї функції. Твердження є важливим зокрема при вивченні цілих функцій.
Твердження
Нехай є голоморфною функцією в області комплексної площини, що містить замкнутий круг з центром 0 і радіусом r і нулі в , враховуючи їх кратність. Якщо не є рівним нулю, то
Еквівалентно якщо позначає кількість нулів функції строго менших за модулем , то
Доведення
- Припустимо спершу, що функція не має нулів у . У цьому випадку вона не має нулів у для деякого малого . Оскільки є однозв'язною і не є рівною нулю, то існує функція , що є голоморфною в , така що . Тому функція , дійсна частина голоморфної функції, є гармонічною в . Зокрема вона є гармонічною в і неперервною в . Згідно властивості середнього значення:
Це завершує першу частину доведення. - Припустимо що функція має нулі в , пронумеровані в такий спосіб: :
Позначимо Функція є голоморфною в і не рівною нулю в . Згідно першої частини доведення: Тому для завершення доведення достатньо показати, що . Оскільки і, позначивши отримуємо: тож , що завершує доведення.
Застосування
- Фундаментальна теорема алгебри
- Фундаментальна теорема алгебри стверджує, що кожен многочлен з комплексними коефіцієнтами степеня має коренів, враховуючи кратність.
- Для теореми існує кілька доведень з використанням ідей комплексного аналізу. Зокрема для доведення можна використати формулу Єнсена.
- Нехай маємо многочлен де не дорівнює нулю. Припустимо також, що не дорівнює нулю. Відображення є цілою функцією (тобто голоморфною в ). Для великих за модулем комплексних чисел маємо . Згідно з класичними методами порівняння розбіжних інтегралів маємо:
- Многочлен степеня в має щонайбільше k комплексних коренів, враховуючи кратність. Тоді кількість коренів у крузі для достатньо великих є константою, рівною кількості коренів многочлена . Згідно з формулою Єнсена
- Після порівняння двох еквівалентностей . Тобто многочлен має коренів, враховуючи кратність.
- Формула Єнсена використовується для оцінення кількості нулів голоморфних функцій. А саме, якщо f є голоморфною в крузі радіуса R з центром у точці z0 і якщо |f| є обмеженою числом M на межі круга, тоді кількість нулів f у крузі радіуса r<R з центром у цій же точці z0 не перевищує
- Формула Єнсена є важливою у вивченні розподілу значень цілих і мероморфних функцій, зокрема теорії Неванлінни.
- Формула Єнсена для многочленів однієї змінної дозволяє обчислити міру Малера многочлена, тобто добуток коренів многочлена з модулем більшим 1.
Узагальнення
Мероморфні функції
Формулу Єнсена можна узагальнити для мероморфних функцій у . Припустимо, що
де g і h є голоморфними у , з нулями у точках і відповідно. Формула Єнсена для мероморфних функцій має вид
Формула Пуассона — Єнсена
Формула Єнсена є наслідком більш загальної формули Пуассона — Єнсена, яка натомість випливає з формули Єнсена за допомогою перетворення Мебіуса застосованого до z. Цю формулу вперше вивів . Якщо функція f є голоморфою в одиничному крузі, з нулями a1, a2, ..., an розміщеними всередині одиничного круга, то для кожного в одиничному крузі формула Пуассона — Єнсена має вигляд
Тут,
є ядром Пуассона в одиничному крузі. Якщо функція f не має нулів в одиничному крузі, то формула Пуассона — Єнсена зводиться до
тобто до інтегральної формули Пуассона для гармонічної функції .
Література
- Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of One Complex Variable (вид. 2nd), American Mathematical Society, ISBN
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Formula Yensena ye tverdzhennyam u kompleksnomu analizi sho opisuye povedinku golomorfnoyi v kruzi funkciyi v zalezhnosti vid moduliv nuliv ciyeyi funkciyi Tverdzhennya ye vazhlivim zokrema pri vivchenni cilih funkcij TverdzhennyaNehaj f displaystyle f ye golomorfnoyu funkciyeyu v oblasti kompleksnoyi ploshini sho mistit zamknutij krug D 0 r displaystyle overline D 0 r z centrom 0 i radiusom r i a 1 a 2 a N displaystyle alpha 1 alpha 2 ldots alpha N nuli f displaystyle f v D 0 r displaystyle overline D 0 r vrahovuyuchi yih kratnist Yaksho f 0 displaystyle f 0 ne ye rivnim nulyu to log f 0 k 1 N log r a k 1 2 p 0 2 p log f r e i 8 d 8 displaystyle log f 0 sum k 1 N log left frac r alpha k right frac 1 2 pi int 0 2 pi log f re mathrm i theta mathrm d theta Ekvivalentno yaksho n r displaystyle n r poznachaye kilkist nuliv funkciyi f displaystyle f strogo menshih za modulem r displaystyle r to log f 0 0 r n s s d s 1 2 p 0 2 p log f r e i 8 d 8 displaystyle log f 0 int 0 r frac n s s mathrm d s frac 1 2 pi int 0 2 pi log f re mathrm i theta mathrm d theta DovedennyaPripustimo spershu sho funkciya f displaystyle f ne maye nuliv u D 0 r displaystyle overline D 0 r U comu vipadku vona ne maye nuliv u D 0 r e displaystyle D 0 r varepsilon dlya deyakogo malogo e displaystyle varepsilon Oskilki D 0 r e displaystyle D 0 r varepsilon ye odnozv yaznoyu i f displaystyle f ne ye rivnoyu nulyu to isnuye funkciya g displaystyle g sho ye golomorfnoyu v D 0 r e displaystyle D 0 r varepsilon taka sho f e g displaystyle f e g Tomu funkciya log f R e g displaystyle log f mathrm Re g dijsna chastina golomorfnoyi funkciyi ye garmonichnoyu v D 0 r e displaystyle D 0 r varepsilon Zokrema vona ye garmonichnoyu v D 0 r displaystyle D 0 r i neperervnoyu v D 0 r displaystyle overline D 0 r Zgidno vlastivosti serednogo znachennya log f 0 1 2 p 0 2 p log f r e i 8 d 8 displaystyle log f 0 frac 1 2 pi int 0 2 pi log f re mathrm i theta mathrm d theta Ce zavershuye pershu chastinu dovedennya Pripustimo sho funkciya f displaystyle f maye nuli v D 0 r displaystyle overline D 0 r pronumerovani v takij sposib a 1 a m lt r a m 1 a N r displaystyle alpha 1 leq ldots leq alpha m lt r quad alpha m 1 ldots alpha N r Poznachimog z f z n 1 m r 2 a n z r a n z n m 1 N a n a n z displaystyle g z f z times prod n 1 m frac r 2 overline alpha n z r alpha n z times prod n m 1 N frac alpha n alpha n z Funkciya g displaystyle g ye golomorfnoyu v D 0 r e displaystyle D 0 r varepsilon i ne rivnoyu nulyu v D 0 r displaystyle overline D 0 r Zgidno pershoyi chastini dovedennya 1 2 p 0 2 p log g r e i 8 d 8 log g 0 log f 0 n 1 N log r a n displaystyle frac 1 2 pi int 0 2 pi log g re mathrm i theta mathrm d theta log g 0 log f 0 sum n 1 N log left left frac r alpha n right right Tomu dlya zavershennya dovedennya dostatno pokazati sho 0 2 p log g r e i 8 d 8 0 2 p log f r e i 8 d 8 displaystyle int 0 2 pi log g re mathrm i theta mathrm d theta int 0 2 pi log f re mathrm i theta mathrm d theta Oskilki 0 2 p log g r e i 8 d 8 0 2 p log f r e i 8 d 8 n 1 m 0 2 p log 1 d 8 n m 1 N 0 2 p log 1 e i 8 a n r d 8 displaystyle int 0 2 pi log g re mathrm i theta mathrm d theta int 0 2 pi log f re mathrm i theta mathrm d theta sum n 1 m int 0 2 pi log 1 mathrm d theta sum n m 1 N int 0 2 pi log left left 1 e mathrm i theta overline alpha n r right right mathrm d theta i poznachivshi a n r e i 8 n displaystyle alpha n re mathrm i theta n otrimuyemo 0 2 p log 1 e i 8 a n r d 8 8 n 2 p 8 n log 1 e i u d u 0 2 p log 1 e i v d v 0 displaystyle int 0 2 pi log left left 1 e mathrm i theta overline alpha n r right right mathrm d theta int theta n 2 pi theta n log 1 e mathrm i u mathrm d u int 0 2 pi log 1 e mathrm i v mathrm d v 0 tozh 0 2 p log g r e i 8 d 8 0 2 p log f r e i 8 d 8 displaystyle int 0 2 pi log g re mathrm i theta mathrm d theta int 0 2 pi log f re mathrm i theta mathrm d theta sho zavershuye dovedennya ZastosuvannyaFundamentalna teorema algebri Fundamentalna teorema algebri stverdzhuye sho kozhen mnogochlen z kompleksnimi koeficiyentami stepenya k displaystyle k maye k displaystyle k koreniv vrahovuyuchi kratnist Dlya teoremi isnuye kilka doveden z vikoristannyam idej kompleksnogo analizu Zokrema dlya dovedennya mozhna vikoristati formulu Yensena Nehaj mayemo mnogochlen P X a 0 a 1 X a k X k displaystyle P X a 0 a 1 X dots a k X k de a k displaystyle a k ne dorivnyuye nulyu Pripustimo takozh sho a 0 displaystyle a 0 ne dorivnyuye nulyu Vidobrazhennya z P z displaystyle z mapsto P z ye ciloyu funkciyeyu tobto golomorfnoyu v C displaystyle mathbb C Dlya velikih za modulem kompleksnih chisel mayemo P z a k z k displaystyle P z sim a k z k Zgidno z klasichnimi metodami porivnyannya rozbizhnih integraliv mayemo 1 2 p 0 2 p log P r e i 8 d 8 k log r displaystyle frac 1 2 pi int 0 2 pi log P re mathrm i theta mathrm d theta sim k log r dd Mnogochlen stepenya k displaystyle k v C displaystyle mathbb C maye shonajbilshe k kompleksnih koreniv vrahovuyuchi kratnist Todi kilkist koreniv u kruzi n r displaystyle n r dlya dostatno velikih r displaystyle r ye konstantoyu rivnoyu kilkosti koreniv mnogochlena n 0 displaystyle n 0 Zgidno z formuloyu Yensena1 2 p 0 2 p log P r e i 8 d 8 log P 0 0 r n s s d s n 0 log r Constante displaystyle frac 1 2 pi int 0 2 pi log P re mathrm i theta mathrm d theta log P 0 int 0 r frac n s s mathrm d s n 0 log r text Constante dd Pislya porivnyannya dvoh ekvivalentnostej n 0 k displaystyle n 0 k Tobto mnogochlen P displaystyle P maye k displaystyle k koreniv vrahovuyuchi kratnist Formula Yensena vikoristovuyetsya dlya ocinennya kilkosti nuliv golomorfnih funkcij A same yaksho f ye golomorfnoyu v kruzi radiusa R z centrom u tochci z0 i yaksho f ye obmezhenoyu chislom M na mezhi kruga todi kilkist nuliv f u kruzi radiusa r lt R z centrom u cij zhe tochci z0 ne perevishuye 1 log R r log M f z 0 displaystyle frac 1 log R r log frac M f z 0 Formula Yensena ye vazhlivoyu u vivchenni rozpodilu znachen cilih i meromorfnih funkcij zokrema teoriyi Nevanlinni Formula Yensena dlya mnogochleniv odniyeyi zminnoyi dozvolyaye obchisliti miru Malera mnogochlena tobto dobutok koreniv mnogochlena z modulem bilshim 1 UzagalnennyaMeromorfni funkciyi Formulu Yensena mozhna uzagalniti dlya meromorfnih funkcij u D displaystyle D Pripustimo sho f z z l g z h z displaystyle f z z l frac g z h z de g i h ye golomorfnimi u D displaystyle D z nulyami u tochkah a 1 a n D 0 displaystyle a 1 ldots a n in mathbb D backslash 0 i b 1 b m D 0 displaystyle b 1 ldots b m in mathbb D backslash 0 vidpovidno Formula Yensena dlya meromorfnih funkcij maye vid log g 0 h 0 log r m n a 1 a n b 1 b m 1 2 p 0 2 p log f r e i 8 d 8 displaystyle log left frac g 0 h 0 right log left r m n frac a 1 ldots a n b 1 ldots b m right frac 1 2 pi int 0 2 pi log f re i theta d theta Formula Puassona Yensena Formula Yensena ye naslidkom bilsh zagalnoyi formuli Puassona Yensena yaka natomist viplivaye z formuli Yensena za dopomogoyu peretvorennya Mebiusa zastosovanogo do z Cyu formulu vpershe viviv Yaksho funkciya f ye golomorfoyu v odinichnomu kruzi z nulyami a1 a2 an rozmishenimi vseredini odinichnogo kruga to dlya kozhnogo z 0 r 0 e i f 0 displaystyle z 0 r 0 e i varphi 0 v odinichnomu kruzi formula Puassona Yensena maye viglyad log f z 0 k 1 n log z 0 a k 1 a k z 0 1 2 p 0 2 p P r 0 f 0 8 log f e i 8 d 8 displaystyle log f z 0 sum k 1 n log left frac z 0 a k 1 bar a k z 0 right frac 1 2 pi int 0 2 pi P r 0 varphi 0 theta log f e i theta d theta Tut P r w n Z r n e i n w displaystyle P r omega sum n in mathbb Z r n e in omega ye yadrom Puassona v odinichnomu kruzi Yaksho funkciya f ne maye nuliv v odinichnomu kruzi to formula Puassona Yensena zvoditsya do log f z 0 1 2 p 0 2 p P r 0 f 0 8 log f e i 8 d 8 displaystyle log f z 0 frac 1 2 pi int 0 2 pi P r 0 varphi 0 theta log f e i theta d theta tobto do integralnoyi formuli Puassona dlya garmonichnoyi funkciyi log f z displaystyle log f z LiteraturaGreene Robert E Krantz Steven G 2002 Function Theory of One Complex Variable vid 2nd American Mathematical Society ISBN 0 8218 2905 X