Мультиіндекс

Мультиіндекс (або мульти-індекс) — узагальнення поняття цілочислового індексу до векторного індексу, яке використовується в різноманітних галузях математики, пов'язаних з функціями багатьох змінних. Використання мультиіндексу дозволяє спростити (записати у коротшій формі) математичні формули.

Математичний запис мультиіндексу

n-вимірний мультиіндекс — це вектор

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}),}$

складений з невід'ємних чисел. Для двох мультиіндексів ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} \cup \{0\}}$ і вектора ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ вводяться:

• Покомпоненне додавання і віднімання

${\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}$

• Часткова впорядкованість

${\displaystyle \alpha \leqslant \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leqslant \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}}$

• Абсолютне значення як сума компонент

${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$

• Факторіал

${\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}$

• Біноміальний коефіцієнт

${\displaystyle {\alpha \choose \beta }={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\cdots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}}}$

• Піднесення до степеня

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}$

• Старша частинна похідна

${\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}},}$ де ${\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}$

Застосування

Використання мультиіндекса дозволяє без проблем узагальнити багато з формул класичного аналізу на випадок багатьох змінних. Ось деякі приклади:

Мультиноміальні коефіцієнти

Узагальнення бінома Ньютона на багатовимірний випадок:

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\biggr )}^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\frac {k!}{\alpha !}}\,x^{\alpha }=\sum _{|\alpha |=k}{\frac {k!}{\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}\,x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}$

Правило Лейбніца

Для гладких функцій f і g

${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leqslant \alpha }{\alpha \choose \nu }\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}$

Розклад в ряд Тейлора

Для аналітичної функції f від n змінних справедливий розклад

${\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} \cup \{0\}}^{}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.}$

Для достатньо гладких функцій виконується формула Тейлора

${\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leqslant n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),}$

де останній член (залишок) може бути записаний в різних формах. Наприклад, в (інтегральній) формі Коші

${\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}$

Оператор диференціювання

Формальний оператор взяття частинної похідної N-го порядку в n-вимірному просторі записується наступним чином:

${\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}$

Інтегрування частинами

Для достатньо гладких функцій в обмеженій області ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ справедлива формула

${\displaystyle \int _{\Omega }{}{u(\partial ^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.}$

Ця формула використовується при означенні узагальнених функцій.

Посилання

• http://mathworld.wolfram.com/Multi-IndexNotation.html [ 13 квітня 2014 у Wayback Machine.]