У математичному аналізі (комплексному або дійсному) радіусом збіжності степеневого ряду називається невід'ємне дійсне число (або нескінченність), таке що в усіх точках розташованих на відстані від центру степеневого ряду меншій, ніж це число цей ряд збігається. До того ж виявляється, що ряд збігається абсолютно у всіх точках круга з цим радіусом і в усіх точках розташованих на відстані від центру степеневого ряду більшій, ніж радіус збіжності, ряд обов'язково розбігається. Поняття степеневих рядів їх радіусів і кругів збіжності відіграють дуже важливу роль в різних розділах аналізу.
Означення
Нехай — степеневий ряд, де
— деякі числа (дійсні або комплексні).
Радіусом збіжності називається супремум всіх невід'ємних дійсних чисел
, таких, що для всіх
для яких
ряд
є збіжним.
Множина називається кругом збіжності степеневого ряду (також інтервалом збіжності, якщо розглядаються дійсні числа і дійсні степеневі ряди).
Двома крайніми випадками є коли радіус збіжності є рівним нулю (і круг чи інтервал збіжності є точкою) і коли радіус збіжності є рівним нескінченності (і круг збіжності — всій комплексній площині, а інтервал збіжності — дійсній прямій).
Властивості
- Теорема Абеля: Нехай ряд
має радіус збіжності
. Тоді в кругу збіжності
цей ряд є абсолютно збіжним і також рівномірно збіжним по
на будь-якій компактній підмножині цього круга. Натомість у всіх точках за межами замикання круга збіжності (тобто точках для яких
) ряд є розбіжним. На колі
ряд може збігатися абсолютно в одних точках, збігатися умовно в інших і бути розбіжним ще в інших.
- Для знаходження радіуса збіжності можна використати формулу Коші — Адамара:
.
- В багатьох випадках зручніше використовувати варіант ознаки Д’Аламбера.
- Позначимо
і
. Тоді
і
, якщо ця границя існує.
- Сума степеневого ряду у межах круга збіжності є голоморфною функцією.
- Радіус збіжності степеневого ряду з центром у точці
рівний відстані (на комплексній площині) до найближчої точки, в якій функцію
— суму ряду не можна визначити так щоб вона була голоморфною. В межах круга збіжності степеневий ряд буде рядом Тейлора цієї функції.
- Нехай
і
— два степеневі ряди з радіусами збіжності
і
. Тоді
- Якщо у ряду
додатково вільний член є рівним нулю, то
Приклади
- Для многочленів
радіус збіжності очевидно рівний нескінченності.
- Ряд
має радіус збіжності рівний одиниці, що легко отримується за допомогою формули Коші — Адамара чи ознаки Д'Аламбера. Його сумою в одиничному крузі є функція
. Ця функція має особливі точки у
, які розташовані на відстані 1 від початку координат (що є центром даного степеневого ряду). Це узгоджується із властивостями голоморфних функцій і їх рядів Тейлора.
- Ряд
має радіус збіжності рівний 1, що легко випливає з формули Коші — Адамара чи функції арктангенс.
- Для ряду
, де
— числа Бернуллі, радіус збіжності найпростіше знайти за допомогою властивостей функції у лівій частині. Вона може мати особливі точки тільки там де її знаменник є рівним нулю. Окрім того,
є усувною особливою точкою. Загалом особливі точки мають вигляд
Серед ненульових з них найближчі розташовані до нуля на відстані
і тому
.
- Ряд
має радіус збіжності рівний 0.
Збіжність на границі круга збіжності
На границі круга збіжності (тобто на колі радіуса з центром у центрі степеневого ряду) можливі різні варіанти щодо збіжності ряду: він може збігатися абсолютно, неабсолютно або взагалі розбігатися. Нижче наведено кілька прикладів для рядів із одиничним радіусом збіжності.
Приклади
- Ряд
що є рядом Тейлора функції
в точці
є розбіжним у всіх точках границі.
- Ряд
що є рядом Тейлора функції
в точці
є розбіжним у точці 1 (у цьому випадку отримуємо гармонічний ряд) але є збіжним (неабсолютно) у всіх інших точках границі.
- Ряд
є абсолютно збіжним на всіх точках границі.
- Приклад Серпінського. Ряд :
, де
для
є рівномірно збіжним на колі
але не є абсолютно збіжним
Критерії збіжності на границі
- Ознака Д’Аламбера: Якщо при
і
виконано нерівність
- тоді степеневий ряд
є абсолютно збіжним в усіх точках кола
і збіжність є рівномірною по
. Цю ознаку зокрема можна використати для доведення абсолютної збіжності у всіх точках границі для ряду з третього прикладу.
- Ознака Діріхле: Якщо всі коефіцієнти степеневого ряду
є додатними дійсними числами і послідовність
монотонно збігається до нуля, тоді цей ряд є збіжним в усіх точках кола
, окрім, можливо, точки
. Цю ознаку зокрема можна використати для доведення збіжності у всіх точках границі за винятком 1 для ряду з другого прикладу.
- Теорема Ландау. Нехай
— степеневий ряд з одиничним радіусом збіжності і
. Для кута
позначимо
. Іншими словами
є регіоном комплексної площини обмеженим двома променями, що йдуть від точки 1 у (лівій комплексній півплощині) з кутом
симетрично щодо дійсної прямої.
- Якщо існує послідовність
для деякого
, така що
, ціла частина числа
для
починаючи з деякого числа і
. Тоді
.
Степеневі ряди багатьох змінних
Для степеневих рядів багатьох змінних аналогом круга збіжності є логарифмічно опукла повна область Рейнхардта. Натомість кожна логарифмічно опукла повна область Рейнхардта є областю збіжності деякого степеневого ряду.
Також можна дати означення полікруга збіжності, як полікруга, в кожній точці якого степеневий ряд збігається абсолютно і не існує жодного полікруга, що строго містить цей полікруг, для якого теж би виконувалася ця властивість. Мультирадіус цього полікруга називається мультирадіусом збіжності. Координати мультирадіуса мають задовольняти співвідношення із коефіцієнтами ряду які випливають із формули Коші — Адамара. Всі полікруги, що задовольняють ці співвідношення є полікругами збіжності даного степеневого ряду. Довільний полікруг є полікругом збіжності деякого степеневого ряду.
Примітки
- Sierpiński, Wacław (1918), O szeregu potęgowym który jest zbieżny na całem swem kole zbieżności jednostajnie ale nie bezwzględnie, Prace matematyka-fizyka, т. 29, с. 263—266
Див. також
Література
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
- Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969.
- Boos, Johann (2000). Classical and modern methods in summability. New York: Oxford University Press. ISBN .
- Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of One Complex Variable (вид. 2nd), American Mathematical Society, ISBN
- Scheidemann, Volker (2005), Introduction to complex analysis in several variables, Birkhauser, ISBN
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematichnomu analizi kompleksnomu abo dijsnomu radiusom zbizhnosti stepenevogo ryadu nazivayetsya nevid yemne dijsne chislo abo neskinchennist take sho v usih tochkah roztashovanih na vidstani vid centru stepenevogo ryadu menshij nizh ce chislo cej ryad zbigayetsya Do togo zh viyavlyayetsya sho ryad zbigayetsya absolyutno u vsih tochkah kruga z cim radiusom i v usih tochkah roztashovanih na vidstani vid centru stepenevogo ryadu bilshij nizh radius zbizhnosti ryad obov yazkovo rozbigayetsya Ponyattya stepenevih ryadiv yih radiusiv i krugiv zbizhnosti vidigrayut duzhe vazhlivu rol v riznih rozdilah analizu OznachennyaNehaj n 0 a n z z 0 n displaystyle sum n 0 infty a n left z z 0 right n stepenevij ryad de a n z 0 displaystyle a n z 0 deyaki chisla dijsni abo kompleksni Radiusom zbizhnosti R displaystyle R nazivayetsya supremum vsih nevid yemnih dijsnih chisel r displaystyle r takih sho dlya vsih z displaystyle z dlya yakih z z 0 lt r displaystyle z z 0 lt r ryad n 0 a n z z 0 n displaystyle sum n 0 infty a n left z z 0 right n ye zbizhnim Mnozhina z z 0 lt R displaystyle left z z 0 lt R right nazivayetsya krugom zbizhnosti stepenevogo ryadu takozh intervalom zbizhnosti yaksho rozglyadayutsya dijsni chisla i dijsni stepenevi ryadi Dvoma krajnimi vipadkami ye koli radius zbizhnosti ye rivnim nulyu i krug chi interval zbizhnosti ye tochkoyu i koli radius zbizhnosti ye rivnim neskinchennosti i krug zbizhnosti vsij kompleksnij ploshini a interval zbizhnosti dijsnij pryamij VlastivostiTeorema Abelya Nehaj ryad n 0 a n z z 0 n displaystyle sum n 0 infty a n left z z 0 right n maye radius zbizhnosti R displaystyle R Todi v krugu zbizhnosti z z 0 lt R displaystyle left z z 0 lt R right cej ryad ye absolyutno zbizhnim i takozh rivnomirno zbizhnim po z displaystyle z na bud yakij kompaktnij pidmnozhini cogo kruga Natomist u vsih tochkah za mezhami zamikannya kruga zbizhnosti tobto tochkah dlya yakih z z 0 gt R displaystyle z z 0 gt R ryad ye rozbizhnim Na koli z z 0 R displaystyle z z 0 R ryad mozhe zbigatisya absolyutno v odnih tochkah zbigatisya umovno v inshih i buti rozbizhnim she v inshih Dlya znahodzhennya radiusa zbizhnosti mozhna vikoristati formulu Koshi Adamara 1 R lim n a n 1 n displaystyle 1 over R varlimsup limits n rightarrow infty a n 1 n V bagatoh vipadkah zruchnishe vikoristovuvati variant oznaki D Alambera Poznachimo r 1 1 lim n a n 1 a n lim n a n a n 1 displaystyle r 1 frac 1 varlimsup limits n rightarrow infty left frac a n 1 a n right varliminf limits n rightarrow infty left frac a n a n 1 right i r 2 1 lim n a n 1 a n lim n a n a n 1 displaystyle r 2 frac 1 varliminf limits n rightarrow infty left frac a n 1 a n right varlimsup limits n rightarrow infty left frac a n a n 1 right Todi r 1 R r 2 displaystyle r 1 leqslant R leqslant r 2 i r 1 R r 2 lim n a n a n 1 displaystyle r 1 R r 2 lim limits n to infty left frac a n a n 1 right yaksho cya granicya isnuye Suma stepenevogo ryadu u mezhah kruga zbizhnosti ye golomorfnoyu funkciyeyu Radius zbizhnosti stepenevogo ryadu z centrom u tochci z 0 displaystyle z 0 rivnij vidstani na kompleksnij ploshini do najblizhchoyi tochki v yakij funkciyu f z displaystyle f z sumu ryadu ne mozhna viznachiti tak shob vona bula golomorfnoyu V mezhah kruga zbizhnosti stepenevij ryad bude ryadom Tejlora ciyeyi funkciyi Nehaj F z displaystyle F z i G z displaystyle G z dva stepenevi ryadi z radiusami zbizhnosti R F displaystyle R F i R G displaystyle R G Todi R F G min R F R G displaystyle R F G geq min R F R G R F G min R F R G displaystyle R F cdot G geq min R F R G R F R F displaystyle R F R F Yaksho u ryadu G z displaystyle G z dodatkovo vilnij chlen ye rivnim nulyu to R F G R F R F 1 R G displaystyle R F circ G geq R F over R F 1 R G PrikladiDlya mnogochleniv n 0 k a n z z 0 n displaystyle sum n 0 k a n left z z 0 right n radius zbizhnosti ochevidno rivnij neskinchennosti Ryad n 0 1 n z 2 n displaystyle sum n 0 infty 1 n z 2n maye radius zbizhnosti rivnij odinici sho legko otrimuyetsya za dopomogoyu formuli Koshi Adamara chi oznaki D Alambera Jogo sumoyu v odinichnomu kruzi ye funkciya f z 1 1 z 2 displaystyle f z frac 1 1 z 2 Cya funkciya maye osoblivi tochki u i i displaystyle i i yaki roztashovani na vidstani 1 vid pochatku koordinat sho ye centrom danogo stepenevogo ryadu Ce uzgodzhuyetsya iz vlastivostyami golomorfnih funkcij i yih ryadiv Tejlora Ryad arctan z z z 3 3 z 5 5 z 7 7 displaystyle arctan z z frac z 3 3 frac z 5 5 frac z 7 7 cdots maye radius zbizhnosti rivnij 1 sho legko viplivaye z formuli Koshi Adamara chi funkciyi arktangens Dlya ryadu z e z 1 n 0 B n n z n displaystyle frac z e z 1 sum n 0 infty frac B n n z n de B n displaystyle B n chisla Bernulli radius zbizhnosti najprostishe znajti za dopomogoyu vlastivostej funkciyi u livij chastini Vona mozhe mati osoblivi tochki tilki tam de yiyi znamennik ye rivnim nulyu Okrim togo z 0 displaystyle z 0 ye usuvnoyu osoblivoyu tochkoyu Zagalom osoblivi tochki mayut viglyad z 2 p n n Z displaystyle z 2 pi n n in mathbb Z Sered nenulovih z nih najblizhchi roztashovani do nulya na vidstani 2 p displaystyle 2 pi i tomu R 2 p displaystyle R 2 pi Ryad n 0 n z n displaystyle sum n 0 infty nz n maye radius zbizhnosti rivnij 0 Zbizhnist na granici kruga zbizhnostiNa granici kruga zbizhnosti tobto na koli radiusa R displaystyle R z centrom u centri stepenevogo ryadu mozhlivi rizni varianti shodo zbizhnosti ryadu vin mozhe zbigatisya absolyutno neabsolyutno abo vzagali rozbigatisya Nizhche navedeno kilka prikladiv dlya ryadiv iz odinichnim radiusom zbizhnosti Prikladi Ryad n 0 z n displaystyle sum n 0 infty z n sho ye ryadom Tejlora funkciyi f z 1 1 z displaystyle f z frac 1 1 z v tochci z 0 displaystyle z 0 ye rozbizhnim u vsih tochkah granici Ryad n 1 1 n z n displaystyle sum n 1 infty frac 1 n z n sho ye ryadom Tejlora funkciyi f z ln 1 z displaystyle f z ln 1 z v tochci z 0 displaystyle z 0 ye rozbizhnim u tochci 1 u comu vipadku otrimuyemo garmonichnij ryad ale ye zbizhnim neabsolyutno u vsih inshih tochkah granici Ryad n 1 1 n 2 z n displaystyle sum n 1 infty frac 1 n 2 z n ye absolyutno zbizhnim na vsih tochkah granici Priklad Serpinskogo Ryad i 1 a i z i displaystyle sum i 1 infty a i z i de a i 1 n 1 2 n n displaystyle a i frac 1 n 1 2 n n dlya n log 2 i 1 displaystyle n lfloor log 2 i rfloor 1 ye rivnomirno zbizhnim na koli z 1 displaystyle z 1 ale ne ye absolyutno zbizhnim Kriteriyi zbizhnosti na granici Oznaka D Alambera Yaksho pri n gt N displaystyle n gt N i a gt 1 displaystyle alpha gt 1 vikonano nerivnist a n a n 1 R 1 a n displaystyle left a n over a n 1 right geq R left 1 alpha over n right todi stepenevij ryad S a n z n displaystyle Sigma a n z n ye absolyutno zbizhnim v usih tochkah kola z R displaystyle z R i zbizhnist ye rivnomirnoyu po z displaystyle z Cyu oznaku zokrema mozhna vikoristati dlya dovedennya absolyutnoyi zbizhnosti u vsih tochkah granici dlya ryadu z tretogo prikladu Oznaka Dirihle Yaksho vsi koeficiyenti stepenevogo ryadu S a n z n displaystyle Sigma a n z n ye dodatnimi dijsnimi chislami i poslidovnist a n displaystyle a n monotonno zbigayetsya do nulya todi cej ryad ye zbizhnim v usih tochkah kola x 1 displaystyle x 1 okrim mozhlivo tochki x 1 displaystyle x 1 Cyu oznaku zokrema mozhna vikoristati dlya dovedennya zbizhnosti u vsih tochkah granici za vinyatkom 1 dlya ryadu z drugogo prikladu Teorema Landau Nehaj n 0 a n z n displaystyle sum n 0 infty a n z n stepenevij ryad z odinichnim radiusom zbizhnosti i a n o 1 n displaystyle a n o left 1 over n right Dlya kuta f 0 0 p 2 displaystyle varphi 0 in Big 0 pi over 2 Big poznachimo W f 0 z 1 e i f r 0 f f 0 f 0 displaystyle W varphi 0 left z 1 e i varphi left r geqslant 0 varphi in varphi 0 varphi 0 right right Inshimi slovami W f 0 displaystyle W varphi 0 ye regionom kompleksnoyi ploshini obmezhenim dvoma promenyami sho jdut vid tochki 1 u livij kompleksnij pivploshini z kutom 2 f 0 displaystyle 2 varphi 0 simetrichno shodo dijsnoyi pryamoyi Yaksho isnuye poslidovnist z n D 0 1 W f 0 displaystyle z n in D 0 1 cap W varphi 0 dlya deyakogo f 0 0 p 2 displaystyle varphi 0 in Big 0 pi over 2 Big taka sho lim n z n 1 displaystyle lim n to infty z n 1 cila chastina chisla 1 1 z 1 n displaystyle left frac 1 1 z 1 right n dlya n displaystyle n pochinayuchi z deyakogo chisla i lim n f z n a displaystyle lim n to infty f z n alpha Todi n 0 a n a displaystyle sum n 0 infty a n alpha Stepenevi ryadi bagatoh zminnihDlya stepenevih ryadiv bagatoh zminnih analogom kruga zbizhnosti ye logarifmichno opukla povna oblast Rejnhardta Natomist kozhna logarifmichno opukla povna oblast Rejnhardta ye oblastyu zbizhnosti deyakogo stepenevogo ryadu Takozh mozhna dati oznachennya polikruga zbizhnosti yak polikruga v kozhnij tochci yakogo stepenevij ryad zbigayetsya absolyutno i ne isnuye zhodnogo polikruga sho strogo mistit cej polikrug dlya yakogo tezh bi vikonuvalasya cya vlastivist Multiradius cogo polikruga nazivayetsya multiradiusom zbizhnosti Koordinati multiradiusa mayut zadovolnyati spivvidnoshennya iz koeficiyentami ryadu yaki viplivayut iz formuli Koshi Adamara Vsi polikrugi sho zadovolnyayut ci spivvidnoshennya ye polikrugami zbizhnosti danogo stepenevogo ryadu Dovilnij polikrug ye polikrugom zbizhnosti deyakogo stepenevogo ryadu PrimitkiSierpinski Waclaw 1918 O szeregu potegowym ktory jest zbiezny na calem swem kole zbieznosci jednostajnie ale nie bezwzglednie Prace matematyka fizyka t 29 s 263 266Div takozhAbsolyutna zbizhnist Golomorfna funkciya Oblast Rejnhardta Ryad Tejlora Stepenevij ryad Teorema Abelya analiz Teorema Koshi AdamaraLiteraturaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr Grishenko A O Nagnibida M I Nastasiv P P Teoriya funkcij kompleksnoyi zminnoyi K Visha shkola 1994 375 st Shabat B V Vvedenie v kompleksnyj analiz M Nauka 1969 Boos Johann 2000 Classical and modern methods in summability New York Oxford University Press ISBN 019850165X Greene Robert E Krantz Steven G 2002 Function Theory of One Complex Variable vid 2nd American Mathematical Society ISBN 0 8218 2905 X Scheidemann Volker 2005 Introduction to complex analysis in several variables Birkhauser ISBN 3 7643 7490 X