Теорема Абеля — результат теорії степеневих рядів, названий на честь норвезького математика Нільса Абеля.
Твердження
Нехай — степеневий ряд з комплексними коефіцієнтами і радіусом збіжності .
Якщо ряд є збіжним, тоді :
Доведення
Заміною змінних , можна вважати . Також (необхідним підбором ) можна припустити . Позначимо часткові суми ряду . Згідно з припущенням і потрібно довести, що .
Розглянемо . Тоді (прийнявши ) :
Звідси одержується .
Для довільного існує натуральне число , що для всіх , тому :
Права частина прямує до коли прямує до 1, зокрема вона є меншою при прямуванні до 1.
Приклади
Приклад 1
Візьмемо . Оскільки ряд збігається, маємо:
Приклад 2
Візьмемо . Ряд збігається, тому :
Див. також
Посилання
- Абеля теореми. Вебсайт Великої української енциклопедії (укр.).
- Abel summability на PlanetMath.(англ.) (a more general look at Abelian theorems of this type)
- Weisstein, Eric W. Abel's Convergence Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema Abelya rezultat teoriyi stepenevih ryadiv nazvanij na chest norvezkogo matematika Nilsa Abelya TverdzhennyaNehaj f x n 0 a n x n displaystyle textstyle f x sum n geqslant 0 a n x n stepenevij ryad z kompleksnimi koeficiyentami i radiusom zbizhnosti R displaystyle R Yaksho ryad n 0 a n R n displaystyle textstyle sum n geqslant 0 a n R n ye zbizhnim todi lim x R f x n 0 a n R n displaystyle lim x to R f x sum n geqslant 0 a n R n DovedennyaZaminoyu zminnih u x R displaystyle u x R mozhna vvazhati R 1 displaystyle R 1 Takozh neobhidnim pidborom a 0 displaystyle a 0 mozhna pripustiti a n 0 displaystyle textstyle sum a n 0 Poznachimo S n displaystyle S n chastkovi sumi ryadu a n displaystyle textstyle sum a n Zgidno z pripushennyam lim n S n 0 displaystyle lim n to infty S n 0 i potribno dovesti sho lim x 1 f x 0 displaystyle lim x to 1 f x 0 Rozglyanemo x 0 1 displaystyle x in 0 1 Todi prijnyavshi S 1 0 displaystyle S 1 0 n 0 N S n S n 1 x n n 0 N S n x n x n 1 S N x N 1 displaystyle sum n 0 N S n S n 1 x n sum n 0 N S n x n x n 1 S N x N 1 Zvidsi oderzhuyetsya f x 1 x n 0 S n x n displaystyle textstyle f x 1 x sum n 0 infty S n x n Dlya dovilnogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 isnuye naturalne chislo N 0 displaystyle N 0 sho S n e displaystyle S n leq varepsilon dlya vsih n gt N 0 displaystyle n gt N 0 tomu f x 1 x n 0 N 0 S n x n 1 x e n N 0 1 x n 1 x n 0 N 0 S n x n e x N 0 1 displaystyle vert f x vert leqslant 1 x left vert sum n 0 N 0 S n x n right vert 1 x varepsilon sum n N 0 1 infty x n 1 x left vert sum n 0 N 0 S n x n right vert varepsilon x N 0 1 Prava chastina pryamuye do e displaystyle varepsilon koli x displaystyle x pryamuye do 1 zokrema vona ye menshoyu 2 e displaystyle 2 varepsilon pri pryamuvanni x displaystyle x do 1 PrikladiPriklad 1 Vizmemo f x n 1 1 n 1 x n n ln 1 x displaystyle textstyle f x sum n geqslant 1 frac 1 n 1 x n n ln 1 x Oskilki ryad n 1 1 n 1 n displaystyle textstyle sum n geqslant 1 frac 1 n 1 n zbigayetsya mayemo lim x 1 f x ln 2 n 1 1 n 1 n displaystyle lim x to 1 f x ln 2 sum n geqslant 1 frac 1 n 1 n Priklad 2 Vizmemo g x n 0 1 n x 2 n 1 2 n 1 arctan x displaystyle textstyle g x sum n geqslant 0 frac 1 n x 2n 1 2n 1 arctan x Ryad n 0 1 n 2 n 1 displaystyle textstyle sum n geqslant 0 frac 1 n 2n 1 zbigayetsya tomu lim x 1 g x arctan 1 p 4 n 0 1 n 2 n 1 displaystyle lim x to 1 g x arctan 1 frac pi 4 sum n geqslant 0 frac 1 n 2n 1 Div takozhSpisok ob yektiv nazvanih na chest Nilsa Genrika AbelyaPosilannyaAbelya teoremi Vebsajt Velikoyi ukrayinskoyi enciklopediyi ukr Abel summability na PlanetMath angl a more general look at Abelian theorems of this type Weisstein Eric W Abel s Convergence Theorem angl na sajti Wolfram MathWorld