Конкретна категорія

Конкретна категорія в математиці — категорія, забезпечена строгим функтором у категорію множин. Завдяки цьому функтору можна оперувати з об'єктами такої категорії в спосіб, подібний до роботи з множинами з додатковою структурою, а морфізми подавати як функції, що зберігають додаткову структуру. Багато категорій мають очевидну інтерпретацію конкретних категорій, наприклад, категорія груп, категорія топологічних просторів і власне категорія множин. З іншого боку, існують категорії, що не конкретизуються; наприклад, категорія гомотопій топологічних просторів неконкретизовна, тобто не допускає строгого функтора в категорію множин.

Визначення

Конкретна категорія — це пара ${\displaystyle (C,U)}$, така що:

• ${\displaystyle C}$ є категорією,
• ${\displaystyle U}$ — строгий функтор ${\displaystyle C\rightarrow }$ Set (категорія множин).

Функтор ${\displaystyle U}$ є забутливим функтором, який зіставляє об'єкту категорії його «множину-носій».

Категорія ${\displaystyle C}$ конкретизовна, якщо існує строгий функтор з неї категорію множин. Зокрема, всі (малі категорії) конкретизовні: функтор ${\displaystyle U}$ можна визначити як функтор, що відправляє об'єкт ${\displaystyle b}$ категорії ${\displaystyle C}$ у множину всіх стрілок ${\displaystyle f:a\rightarrow b}$ (для всіляких об'єктів ${\displaystyle a}$), а морфізм ${\displaystyle g:b\rightarrow c}$ категорії ${\displaystyle C}$ — морфізм ${\displaystyle U(g):U(b)\rightarrow U(c)}$, який зіставляє стрілці ${\displaystyle f:a\rightarrow b}$ композицію ${\displaystyle gf:a\rightarrow c}$.

Інтуїція

Всупереч інтуїції, «конкретність» — це не властивість, яку категорія може мати або не мати, а додаткова структура, якою її можна забезпечити, крім того, категорія може допускати кілька строгих функторів у Set. Проте на практиці цей функтор зазвичай очевидний.

Вимога строгості ${\displaystyle U}$ означає, що він відображає різні морфізми з фіксованим образом і прообразом у різні функції на множинах. Однак він може «склеювати» різні об'єкти категорії, і, якщо це станеться, він відображатиме різні морфізми в одну функцію.

Наприклад, якщо ${\displaystyle S}$ and ${\displaystyle T}$ — дві різні топології на одній множині ${\displaystyle X}$, то ${\displaystyle (X,S)}$ і ${\displaystyle (X,T)}$ — різні об'єкти категорії Top топологічних просторів і неперервних відображень, але вони відображаються в одну й ту саму множину ${\displaystyle X}$ під дією функтора Top ${\displaystyle \rightarrow }$ Set. Більш того, тотожні морфізми ${\displaystyle (X,S)\rightarrow (X,S)}$ і ${\displaystyle (X,T)\rightarrow (X,T)}$ розуміють як різні морфізми в Top, однак їм відповідає та сама функція, а саме тотожна функція на ${\displaystyle X}$.

Неконкретизовні категорії

Категорію називають неконкретизовною, якщо немає сьрогого функтора з неї в категорію множин.

Наприклад, категорія hTop, об'єкти якої — топологічні простори, а морфізми — класи гомотопних функцій, неконкретизовна. Хоча об'єкти цієї категорії можна подати як множини, проте морфізми в ній — це не функції, а, швидше, класи функцій. Відсутність строгого функтора з hTop у Set довів 1970 року ^[en]. Раніше було показано, що категорія всіх (малих категорій) та натуральних перетворень неконкретизовна.

Література

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. . (тепер безкоштовне онлайн-видання).
• Freyd, Peter; (1970). Homotopy is not concrete. Вперше опубліковано в: The Steenrod Algebra and its Applications, Springer Lecture Notes in Mathematics Vol. 168. Перепубліковано в безкоштовному онлайновому журналі: Reprints in Theory and Applications of Categories, No. 6 (2004), з дозволу .
• Rosický, Jiří; (1981). Concrete categories and infinitary languages. Journal of Pure and Applied Algebra, Volume 22, Issue 3.