Теорія топосів — розділ теорії категорій, що вивчає топоси — категорії з певними додатковими структурами, і математичні (категорійні) методи, пов'язані з топосами.
Розвиток теорії топосів почався в другій половині XX століття. Її ідеї знайшли застосування в різних частинах сучасної математики, особливо в геометрії та математичній логіці.
Поняття топосу є категорійним аналогом поняття множини в класичній математиці. Розглянемо категорію множин (Set), де як об'єкти виступають множини, а як морфізми — відображення між множинами. Очевидно, що ця математична конструкція справді задовольняє аксіомам категорії. Але очевидно, щоб категорійно розглядати множини разом із усіма їхніми властивостями даної аксіоматизації зовсім недостатньо, визначення категорії занадто загальні, щоб відбити властивості множин. Так, у кожної множини існують елементи, а в категорії множин об'єкти ніяких елементів не мають. Таким чином, для повноцінної роботи з категорією множин, що дійсно відбиває поняття множини, необхідно визначити додаткові властивості, яким повинна задовольняти категорія, щоб бути схожою на множини.
Таку аксіоматизацію провели американські математики [en] та . Вони визначили категорійні аналоги операцій на множинах за допомогою базової категорії границі. Помічено, що кожна базова операція над множинами, що створює нову множину, заснована на деякій універсальній властивості, пов'язаній із цією новою множиною відносно базових. Виявляється, в подібний спосіб можна категорійно описати всі можливі конструкції утворення нових множин із наявних. Як узагальнення основних теоретико-множинних конструкцій і самої теорії множин уводиться елементарний топос — декартово замкнута категорія з класифікатором підоб'єктів.
Застосування
Теорію топосів розроблено в 70-х роках XX століття, і зараз її основний розвиток йде в напрямку пошуку застосувань теорії до різних галузей людської діяльності. Так, побудова аксіоматичних теорій легко і елегантно описується в теорії топосів, і дослідження пов'язані зі знаходженням різних наслідків такого опису в оригінальній аксіоматиці.
Див. також
Література
- Джонстон, П. Т. Теория топосов, — М.: Наука, 1986. — 220 с.
- Голдблатт, Р. Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
- Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic: a First Introduction to Topos Theory, Springer, New York, 1992.
- Peter T. Johnstone, Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium, Oxford Science Publications, Oxford, 2002.
- Michael Barr, Charles Wells Toposes, Triples and Theories. — Springer, 1985. .
- John Baez Topos theory in a nutshell. (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teoriya toposiv rozdil teoriyi kategorij sho vivchaye toposi kategoriyi z pevnimi dodatkovimi strukturami i matematichni kategorijni metodi pov yazani z toposami Rozvitok teoriyi toposiv pochavsya v drugij polovini XX stolittya Yiyi ideyi znajshli zastosuvannya v riznih chastinah suchasnoyi matematiki osoblivo v geometriyi ta matematichnij logici Ponyattya toposu ye kategorijnim analogom ponyattya mnozhini v klasichnij matematici Rozglyanemo kategoriyu mnozhin Set de yak ob yekti vistupayut mnozhini a yak morfizmi vidobrazhennya mizh mnozhinami Ochevidno sho cya matematichna konstrukciya spravdi zadovolnyaye aksiomam kategoriyi Ale ochevidno shob kategorijno rozglyadati mnozhini razom iz usima yihnimi vlastivostyami danoyi aksiomatizaciyi zovsim nedostatno viznachennya kategoriyi zanadto zagalni shob vidbiti vlastivosti mnozhin Tak u kozhnoyi mnozhini isnuyut elementi a v kategoriyi mnozhin ob yekti niyakih elementiv ne mayut Takim chinom dlya povnocinnoyi roboti z kategoriyeyu mnozhin sho dijsno vidbivaye ponyattya mnozhini neobhidno viznachiti dodatkovi vlastivosti yakim povinna zadovolnyati kategoriya shob buti shozhoyu na mnozhini Taku aksiomatizaciyu proveli amerikanski matematiki en ta Voni viznachili kategorijni analogi operacij na mnozhinah za dopomogoyu bazovoyi kategoriyi granici Pomicheno sho kozhna bazova operaciya nad mnozhinami sho stvoryuye novu mnozhinu zasnovana na deyakij universalnij vlastivosti pov yazanij iz ciyeyu novoyu mnozhinoyu vidnosno bazovih Viyavlyayetsya v podibnij sposib mozhna kategorijno opisati vsi mozhlivi konstrukciyi utvorennya novih mnozhin iz nayavnih Yak uzagalnennya osnovnih teoretiko mnozhinnih konstrukcij i samoyi teoriyi mnozhin uvoditsya elementarnij topos dekartovo zamknuta kategoriya z klasifikatorom pidob yektiv ZastosuvannyaTeoriyu toposiv rozrobleno v 70 h rokah XX stolittya i zaraz yiyi osnovnij rozvitok jde v napryamku poshuku zastosuvan teoriyi do riznih galuzej lyudskoyi diyalnosti Tak pobudova aksiomatichnih teorij legko i elegantno opisuyetsya v teoriyi toposiv i doslidzhennya pov yazani zi znahodzhennyam riznih naslidkiv takogo opisu v originalnij aksiomatici Div takozhElementarnij toposLiteraturaDzhonston P T Teoriya toposov M Nauka 1986 220 s Goldblatt R Toposy Kategornyj analiz logiki M Mir 1983 487 s Saunders Mac Lane Ieke Moerdijk Sheaves in Geometry and Logic a First Introduction to Topos Theory Springer New York 1992 ISBN 0 387 97710 4 Peter T Johnstone Sketches of an Elephant A Topos Theory Compendium Oxford Science Publications Oxford 2002 Michael Barr Charles Wells Toposes Triples and Theories Springer 1985 John Baez Topos theory in a nutshell angl