Елементарний топос

Елементарний топос — категорія, в певному сенсі схожа на категорію множин, основний предмет вивчення теорії топосів. Засобами елементарних топосів можна описати аксіоматику як самої теорії множин, так і альтернативних теорій та логік, наприклад, інтуїціоністську логіку.

Визначення

Елементарний топос — це декартово замкнута повна категорія, в якій існує виділений об'єкт ${\displaystyle \Omega }$, званий класифікатором підоб'єктів, і мономорфізм у нього з термінального об'єкта ${\displaystyle T\colon 1\to \Omega }$, званий істиною (також позначається ${\displaystyle true}$), такий що для будь-якого мономорфізму ${\displaystyle m\colon A\to B}$ існує єдиний морфізм ${\displaystyle \chi _{m}\colon B\to \Omega }$, для якого діаграма

є декартовим квадратом.

Інакше кажучи, елементарний топос — це категорія, що має термінальний об'єкт і розшаровані добутки, а також експоненціал ${\displaystyle a^{b}}$ будь-яких двох об'єктів ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ та класифікатор підоб'єктів ${\displaystyle \Omega }$.

Властивості

• Будь-який елементарний топос є скінченно повним (за визначенням) і скінченно коповним.

Приклади

• Основним прикладом топосу, властивості якого лягли в основу загального визначення, є топос множин. У ньому експоненціал множин ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ — це множина ${\displaystyle A^{B}}$ відображень із ${\displaystyle B}$ в ${\displaystyle A}$. Класифікатор підоб'єктів — це множина ${\displaystyle \Omega =\{0;1\}}$, при цьому ${\displaystyle m}$ — природне вкладення ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle B}$, а ${\displaystyle \chi _{m}}$ — характеристична функція підмножини ${\displaystyle A}$ множини ${\displaystyle B}$, рівна 1 на елементах ${\displaystyle A}$ та 0 на елементах ${\displaystyle A\backslash B}$. Подіб'єкти ${\displaystyle A}$ — це її підмножини.
• Категорія скінченних множин також є топосом. Це типовий приклад елементарного топосу, що не є топосом Гротендіка.
• Для будь-якої категорії ${\displaystyle C}$ категорія функторів ${\displaystyle \left[C,\mathbf {Set} \right]}$ є топосом Гротендіка. Границі та кограниці функторів обчислюють поточково. Для функторів ${\displaystyle F,G}$ функтор морфізмів ${\displaystyle [F,G]}$ дають формулою

${\displaystyle [F,G](c)=\mathrm {Hom} (F(c),G(c))}$

З леми Йонеди випливає, що класифікатор підоб'єктів ${\displaystyle \Omega }$ на об'єкті ${\displaystyle c\in C}$ дорівнює множині підфункторів подаваного функтора ${\displaystyle \mathrm {Hom} (c,\cdot )}$.

• Категорія пучків множин на будь-якому топологічному просторі є топосом Гротендіка. Якщо зіставити простору ${\displaystyle X}$ його категорію відкритих підмножин, упорядкованих за вкладенням, ${\displaystyle Ouv(X)}$, то структура топосу на категорії пучків описується точно так, як і в топосі ${\displaystyle [Ouv(X),\mathbf {Set} ]}$. Єдина відмінність: ${\displaystyle \Omega (c)}$ є множиною всіх підпучків подаваного пучка ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{Ouv(X)}(c,\cdot )}$.
• Загальніше, для будь-якої категорії ${\displaystyle C}$ із заданою ${\displaystyle \tau }$ категорія ${\displaystyle \tau }$-пучків множин є топосом Гротендіка. Більш того, будь-який топос Гротендіка має такий вигляд.
• Взагалі, не будь-який топос Гротендіка є категорією пучків на деякому топологічному просторі. Наприклад, топос пучків на топологічному просторі має точки, відповідні точкам цього простору, тоді як загальний топос може мати жодної точки. Аналогію між топосами і просторами можна зробити точною, якщо як простори розглядати , при цьому категорія топосів виявляється еквівалентною категорії локалей. Неформально, локаль — це те, що залишається від поняття топологічного простору, якщо забути про точки і розглядати лише ґратку його відкритих підмножин. Для топологічних просторів немає різниці між поглядом них як на простори і як на локалі. Проте, локаль має відповідати деякому топологічному простору. Зокрема, вона повинна мати точки.

Література

• Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М. : Мир, 1983. — 488 с.
• П. Т. Джонстон. Теория топосов / Под ред. Ю.И. Манина. — М. : Наука, 1986. — 440 с.
• F. Borceux. Handbook of Categorical Algebra 3. Categories of Sheaves. — Cambridge : Cambridge University Press, 1994. — 522 p. — .
• P. T. Johnstone. Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium. — Oxford : Clarendon Press, 2002. — Т. 1. — .