Розшарований добуток (також декартів квадрат) — теоретико-категорне поняття, яке можна задати як границю , що складається з двох морфізмів: Розшарований добуток позначається
Двоїстим поняттям є розшарований кодобуток.
Універсальна властивість
Нехай в категорії дана пара морфізмів
і
Розшарованим добутком і
над
називається об'єкт
разом з морфізмами
для яких діаграма нижче є комутативною:
Окрім того, розшарований добуток має бути універсальним об'єктом з такою властивістю: для будь-якого об'єкта з парою морфізмів
які разом із
утворюють комутативний квадрат, існує єдиний морфізм
такий що наведена нижче діаграма є комутативною:
Внутрішній квадрат цієї діаграми, утворений морфізмами називається також декартовим (або коуніверсальним) квадратом для пари морфізмів
і
Як і інші об'єкти, задані за допомогою універсальних властивостей, розшарований добуток не обов'язково існує, але якщо існує, то є визначеним з точністю до ізоморфізму.
Приклади
- В категорії множин розшарованим добутком множин
і
з відображеннями
і
називається множина
- разом з природними проєкціями на компоненти.
- Також Розшарований добуток у
можна описувати двома асиметричними способами:
- Аналогічним чином визначається розшарований добуток в категорії комутативних кілець з тою лише специфікою, що всі відображення у цьому випадку є гомоморфізмами кілець.
- Прообраз підмножини теж можна інтерпретувати як розшарований добуток. Нехай є деяке відображення f : A → B і підмножина B0 ⊆ B. Нехай g позначає відображення включення B0 ↪ B. Тоді розшароване відображення f і g (у категорії Set) можна інтерпретувати, як прообраз f−1[B0] разом із його включенням у A
- f−1[B0] ↪ A
- і обмеженням відображення f на f−1[B0]
- f−1[B0] → B0.
- Якщо A і B є підмножинами множини C, то розшарованим добутком відображень включення є перетин множин із відповідними відображеннями включення у A і B.
Властивості
- У категорії із термінальним об'єктом T, розшарований добуток X ×T Y є звичайним добутком X × Y.
- Якщо f у наведених в означенні діаграмах є мономорфізмом то p2 теж є мономорфізмом. Також якщо g є мономорфізмом, то мономорфізмом є також і p1.
- Попереднє твердження є також справедливим і для ізоморфізмів, зокрема X ×X Y ≅ Y для будь-якого морфізму Y → X (де X → X є одиничним морфізмом).
- У абелевих категоріях розшарований добуток завжди існує і має властивість збереження ядра, а саме: якщо
- є відповідною комутативною діаграмою і ker(p2) → ker(f) є ізоморфізмом, то ізоморфізмом є ker(p1) → ker(g). Звідси можна отримати комутативну діаграму, де всі рядки і стовпці є точними:
- Існує натуральний ізоморфізм (A×CB)×B D ≅ A×CD. У явному вигляді:
- якщо задано морфізми f : A → C, g : B → C і h : D → B і
- розшарований добуток f і g є заданий морфізмами r : P → A і s : P → B, і
- розшарований добуток s і h є заданий морфізмами t : Q → P і u : Q → D ,
- тоді розшарований добуток f і gh є заданий морфізмами rt : Q → A і u : Q → D.
- Графічно це можна подати так: з двох комутативних діаграм розшарованих добутків, що розташовані поруч і мають спільний морфізм, утворюється комутативна діаграма розшарованого добутку, якщо ігнорувати спільний морфізм. Приклад цього на комутативній діаграмі:
Примітки
- Adámek, p. 197.
Див. також
Література
- Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories [ 21 квітня 2015 у Wayback Machine.] (4.2MB PDF). John Wiley & Sons. .
- Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 143. Cambridge University Press. ISBN .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Rozsharovanij dobutok takozh dekartiv kvadrat teoretiko kategorne ponyattya yake mozhna zadati yak granicyu sho skladayetsya z dvoh morfizmiv X Z Y displaystyle X to Z leftarrow Y Rozsharovanij dobutok poznachayetsya X Z Y displaystyle X times Z Y Dvoyistim ponyattyam ye rozsharovanij kodobutok Universalna vlastivistNehaj v kategoriyi C displaystyle C dana para morfizmiv f X Z displaystyle f X to Z i g Y Z displaystyle g Y to Z Rozsharovanim dobutkom X displaystyle X i Y displaystyle Y nad Z displaystyle Z nazivayetsya ob yekt P X Z Y displaystyle P X times Z Y razom z morfizmami p 1 p 2 displaystyle p 1 p 2 dlya yakih diagrama nizhche ye komutativnoyu Okrim togo rozsharovanij dobutok maye buti universalnim ob yektom z takoyu vlastivistyu dlya bud yakogo ob yekta Q displaystyle Q z paroyu morfizmiv q 1 Q X q 2 Q Y displaystyle q 1 Q to X q 2 Q to Y yaki razom iz f g displaystyle f g utvoryuyut komutativnij kvadrat isnuye yedinij morfizm u Q P displaystyle u colon Q to P takij sho navedena nizhche diagrama ye komutativnoyu Vnutrishnij kvadrat ciyeyi diagrami utvorenij morfizmami f g p 1 p 2 displaystyle f g p 1 p 2 nazivayetsya takozh dekartovim abo kouniversalnim kvadratom dlya pari morfizmiv f displaystyle f i g displaystyle g Yak i inshi ob yekti zadani za dopomogoyu universalnih vlastivostej rozsharovanij dobutok ne obov yazkovo isnuye ale yaksho isnuye to ye viznachenim z tochnistyu do izomorfizmu PrikladiV kategoriyi mnozhin rozsharovanim dobutkom mnozhin X displaystyle X i Y displaystyle Y z vidobrazhennyami f X Z displaystyle f X to Z i g Y Z displaystyle g Y to Z nazivayetsya mnozhina X Z Y x y X Y f x g y displaystyle X times Z Y x y in X times Y f x g y razom z prirodnimi proyekciyami na komponenti Takozh Rozsharovanij dobutok u S e t displaystyle mathbf Set mozhna opisuvati dvoma asimetrichnimi sposobami X Z Y displaystyle X times Z Y x X g 1 f x displaystyle cong coprod x in X g 1 f x y Y f 1 g y displaystyle cong coprod y in Y f 1 g y dd Analogichnim chinom viznachayetsya rozsharovanij dobutok v kategoriyi komutativnih kilec z toyu lishe specifikoyu sho vsi vidobrazhennya u comu vipadku ye gomomorfizmami kilec Proobraz pidmnozhini tezh mozhna interpretuvati yak rozsharovanij dobutok Nehaj ye deyake vidobrazhennya f A B i pidmnozhina B0 B Nehaj g poznachaye vidobrazhennya vklyuchennya B0 B Todi rozsharovane vidobrazhennya f i g u kategoriyi Set mozhna interpretuvati yak proobraz f 1 B0 razom iz jogo vklyuchennyam u A f 1 B0 A i obmezhennyam vidobrazhennya f na f 1 B0 f 1 B0 B0 Yaksho A i B ye pidmnozhinami mnozhini C to rozsharovanim dobutkom vidobrazhen vklyuchennya ye peretin mnozhin iz vidpovidnimi vidobrazhennyami vklyuchennya u A i B VlastivostiU kategoriyi iz terminalnim ob yektom T rozsharovanij dobutok X T Y ye zvichajnim dobutkom X Y Yaksho f u navedenih v oznachenni diagramah ye monomorfizmom to p2 tezh ye monomorfizmom Takozh yaksho g ye monomorfizmom to monomorfizmom ye takozh i p1 Poperednye tverdzhennya ye takozh spravedlivim i dlya izomorfizmiv zokrema X X Y Y dlya bud yakogo morfizmu Y X de X X ye odinichnim morfizmom U abelevih kategoriyah rozsharovanij dobutok zavzhdi isnuye i maye vlastivist zberezhennya yadra a same yaksho dd ye vidpovidnoyu komutativnoyu diagramoyu i ker p2 ker f ye izomorfizmom to izomorfizmom ye ker p1 ker g Zvidsi mozhna otrimati komutativnu diagramu de vsi ryadki i stovpci ye tochnimi 0 0 L L 0 K P Y 0 K X Z displaystyle begin array ccccccc amp amp amp amp 0 amp amp 0 amp amp amp amp downarrow amp amp downarrow amp amp amp amp L amp amp L amp amp amp amp downarrow amp amp downarrow 0 amp rightarrow amp K amp rightarrow amp P amp rightarrow amp Y amp amp parallel amp amp downarrow amp amp downarrow 0 amp rightarrow amp K amp rightarrow amp X amp rightarrow amp Z end array Isnuye naturalnij izomorfizm A CB B D A CD U yavnomu viglyadi yaksho zadano morfizmi f A C g B C i h D B i rozsharovanij dobutok f i g ye zadanij morfizmami r P A i s P B i rozsharovanij dobutok s i h ye zadanij morfizmami t Q P i u Q D todi rozsharovanij dobutok f i gh ye zadanij morfizmami rt Q A i u Q D Grafichno ce mozhna podati tak z dvoh komutativnih diagram rozsharovanih dobutkiv sho roztashovani poruch i mayut spilnij morfizm utvoryuyetsya komutativna diagrama rozsharovanogo dobutku yaksho ignoruvati spilnij morfizm Priklad cogo na komutativnij diagrami Q t P r A u s f D h B g C displaystyle begin array ccccc Q amp xrightarrow t amp P amp xrightarrow r amp A downarrow u amp amp downarrow s amp amp downarrow f D amp xrightarrow h amp B amp xrightarrow g amp C end array PrimitkiAdamek p 197 Div takozhDobutok teoriya kategorij LiteraturaAdamek Jiri Herrlich Horst amp Strecker George E 1990 Abstract and Concrete Categories 21 kvitnya 2015 u Wayback Machine 4 2MB PDF John Wiley amp Sons ISBN 0 471 60922 6 Leinster Tom 2014 Basic Category Theory Cambridge Studies in Advanced Mathematics T 143 Cambridge University Press ISBN 978 1 107 04424 1