Цілком впорядкована множина — лінійно впорядкована множина, в якій для кожної непорожньої підмножини існує найменший елемент відповідно до заданого порядку (див. Фундована множина).
Для цілком впорядкованих множин можна застосовувати трансфінітну індукцію для доведення тверджень для всіх елементів множини.
Властивості
- Теорема Цермело: твердження, що довільну множину можна цілком впорядкувати — рівносильне аксіомі вибору чи лемі Цорна.
- Якщо X та Y — дві цілком впорядковані множини, то існує вкладення однієї множини в іншу зі збереженням порядку в обох множинах.
- Довільна цілком впорядкована множина ізоморфна зі збереженням порядку деякому порядковому числу, яке називається тип порядку цієї множини.
- Позиція елемента в цілком впорядкованій множині теж задається порядковим числом.
Приклади
- Натуральні числа
- Незліченні цілком впорядковані множини можуть бути побудовані тільки з використанням аксіоми вибору.
Цілі
На відміну від стандартного впорядкування для ≤ натуральних чисел, стандартне впорядкування ≤ цілих це не цілковите впорядкування, бо, наприклад, множина від'ємних чисел не містить найменшого елемента.
Наступне відношення R це приклад цілковитого впорядкування цілих: x R y тоді і тільки тоді, коли виконуєтьтся одна з наступних умов:
- x = 0
- x додатне і y від'ємне
- x і y обидва додані і x ≤ y
- x і y обидва від'ємні і |x| ≤ |y|
Це відношення R можна візуалізувати так:
- 0 1 2 3 4 ... −1 −2 −3 ...
R ізоморфне порядковому числу ω + ω.
Іншим відношенням для цілковитого впорядкування цілих є: x ≤z y тоді і тільки тоді, коли (|x| < |y| або (|x| = |y| і x ≤ y)). Цей цілковитий порядок можна візуалізувати так:
- 0 −1 1 −2 2 −3 3 −4 4 ...
Тут тип порядку (позиція останнього елемента, якщо такий існує) ω.
Див. також
Джерела
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
- Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : , 1937. — 304 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Cilkom vporyadkovana mnozhina linijno vporyadkovana mnozhina v yakij dlya kozhnoyi neporozhnoyi pidmnozhini isnuye najmenshij element vidpovidno do zadanogo poryadku div Fundovana mnozhina Dlya cilkom vporyadkovanih mnozhin mozhna zastosovuvati transfinitnu indukciyu dlya dovedennya tverdzhen dlya vsih elementiv mnozhini VlastivostiTeorema Cermelo tverdzhennya sho dovilnu mnozhinu mozhna cilkom vporyadkuvati rivnosilne aksiomi viboru chi lemi Corna Yaksho X ta Y dvi cilkom vporyadkovani mnozhini to isnuye vkladennya odniyeyi mnozhini v inshu zi zberezhennyam poryadku v oboh mnozhinah Dovilna cilkom vporyadkovana mnozhina izomorfna zi zberezhennyam poryadku deyakomu poryadkovomu chislu yake nazivayetsya tip poryadku ciyeyi mnozhini Poziciya elementa v cilkom vporyadkovanij mnozhini tezh zadayetsya poryadkovim chislom PrikladiNaturalni chisla Nezlichenni cilkom vporyadkovani mnozhini mozhut buti pobudovani tilki z vikoristannyam aksiomi viboru Cili Na vidminu vid standartnogo vporyadkuvannya dlya naturalnih chisel standartne vporyadkuvannya cilih ce ne cilkovite vporyadkuvannya bo napriklad mnozhina vid yemnih chisel ne mistit najmenshogo elementa Nastupne vidnoshennya R ce priklad cilkovitogo vporyadkuvannya cilih x R y todi i tilki todi koli vikonuyettsya odna z nastupnih umov x 0 x dodatne i y vid yemne x i y obidva dodani i x y x i y obidva vid yemni i x y Ce vidnoshennya R mozhna vizualizuvati tak 0 1 2 3 4 1 2 3 R izomorfne poryadkovomu chislu w w Inshim vidnoshennyam dlya cilkovitogo vporyadkuvannya cilih ye x z y todi i tilki todi koli x lt y abo x y i x y Cej cilkovitij poryadok mozhna vizualizuvati tak 0 1 1 2 2 3 3 4 4 Tut tip poryadku poziciya ostannogo elementa yaksho takij isnuye w Div takozhLema CornaDzherelaKuratovskij K Mostovskij A Teoriya mnozhestv Set Theory Teoria mnogosci M Mir 1970 416 s ros Hausdorf F Teoriya mnozhestv Moskva Leningrad 1937 304 s ISBN 978 5 382 00127 2 ros