Теорема Цермело

Теорема Цермело — теорема теорії множин, яка стверджує, що на будь-якій множині можна ввести таке відношення порядку, що множина буде цілком упорядкованою.

Одна з найважливіших теорем у теорії множин. Названа на честь німецького математика Ернста Цермело. Теорема Цермело еквівалентна аксіомі вибору, а отже, і лемі Цорна.

Історія

Георг Кантор вважав, що твердження цієї теореми є «фундаментальним принципом думки». Дійсно, будь-яку зліченну множину можна тривіально цілком упорядкувати, наприклад, перенісши порядок із множини натуральних чисел. Однак більшості математиків складно уявити повний порядок вже, наприклад, множини ${\displaystyle \mathbb {R} }$ дійсних чисел. 1904 року ^[en] повідомив, що довів, що такого впорядкування не може існувати. Через кілька тижнів Фелікс Гаусдорф виявив помилку в доведенні. Однак незабаром Ернст Цермело опублікував свою найвідомішу роботу, в якій довів, що будь-яку множину можна цілком упорядкувати. Його доведення спиралося на вперше сформульовану в цій самій роботі аксіому вибору. Викликана цим фактом дискусія спонукала Цермело згодом упритул зайнятися аксіоматизацією теорії множин, що привело до створення аксіоматики Цермело — Френкеля.

Доведення

Доведення див. у статті Твердження, еквівалентні аксіомі вибору.

Див. також

• Цілком впорядкована множина
• Аксіома вибору
• Лема Цорна

Примітки

1. Georg Cantor (1883), «Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten», Mathematische Annalen 21, стр. 545—591.
2. Plotkin, J. M. (2005), Introduction to "The Concept of Power in Set Theory", , History of Mathematics, т. 25, American Mathematical Society, с. 23—30, ISBN , архів оригіналу за 21 листопада 2021, процитовано 22 вересня 2021
3. Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. [ 7 березня 2016 у Wayback Machine.] Mathematische Annalen, 1904.

Література

• Н. К. Верещагин, . Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Начала теории множеств. — 2-е. — М : МЦНМО, 2002. — Т. 1. — 128 с.(рос.)