Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Підтримка
www.wikidata.uk-ua.nina.az

Проєкти вна геоме трія розділ геометрії який вивчає проєктивні площини та проєктивний простір При аксіоматичній побудові

Проективна геометрія

Проективна геометрія

Проєкти́вна геоме́трія — розділ геометрії, який вивчає проєктивні площини та проєктивний простір.

При аксіоматичній побудові проєктивної площини постулюється обов'язковий перетин двох різних прямих, замість аксіоми існування єдиної паралельної у геометрії Евкліда. Таким чином на проєктивній площині дві різні точки визначають пряму, дві різні прямі визначають точку. Це породжує головну особливість проєктивної геометрії — принцип дуальності, який додає витончену симетрію для багатьох конструкцій. Проєктивна геометрія може вивчатися як з чисто геометричної точки зору, так з аналітичної (за допомогою однорідних координат) і з алгебраїчної, розглядаючи проєктивну площину як структуру над полем. Часто, і історично, дійсна проєктивна площина розглядається як евклідова площина з додаванням «прямої у нескінченності».

Проєктивна геометрія доповнює евклідову, надаючи красиві і прості рішення для багатьох завдань, ускладнених присутністю паралельних прямих. Особливо проста й витончена проєктивна теорія конічних перетинів.

Історія

Хоча деякі результати, які тепер зараховані до проєктивної геометрії, виходять з робіт таких давньогрецьких геометрів, як Папп Александрійський, проєктивна геометрія як така народилася в XVII столітті з прямої перспективи в живописі і архітектурному кресленні. Ідея безмежно далеких точок, в яких перетинаються паралельні прямі, з'явилася незалежно у французького архітектора Жерара Дезарга і німецького астронома Йоганна Кеплера. Дезарга навіть запропонував, що може існувати пряма, що складається виключно з нескінченно віддалених точок.

В XIX столітті інтерес до цієї області відродився завдяки працям Жана-Віктора Понселе та Мішеля Шаля. Понселе вивів проєктивний простір з Евклідового, додавши пряму в нескінченності, на якій перетинаються всі площини, паралельні даній, і довів принцип дуальності. Шаль продовжив і значно поглибив праці Понселе. Пізніше створив чисто синтетичну аксіоматизацію, об'єднуючи ці прямі з рештою.

У кінці XIX століття Фелікс Клейн запропонував використовувати для проєктивної геометрії однорідні координати, які раніше запровадили Мебіус, Плюккер і .

Термінологія

Основні, залишені без визначення в стандартній аксіоматизації, поняття проєктивної геометрії — це точка та пряма. Сукупність точок на прямій називається рядом, а сукупність прямих, що проходять крізь точку — пучком. Сукупність точок на прямих у пучку A, що перетинаються з прямою BC, визначає площину ABC. Принцип дуальності свідчить, що будь-яка конструкція проєктивної геометрії в n-вимірному просторі залишається вірною, якщо в усіх випадках замінити (k)-вимірні конструкції на (n- k-1)-вимірні. Так, будь-яка конструкція в проєктивній площині залишається вірною, якщо замінити точки на прямі і прямі на точки.

Перетворення ряду прямих X в пучок точки x, що не знаходиться в цьому ряду, або навпаки, ідентифікує кожну точку в ряді з прямою з пучка, що її перетинає, і позначається X⌅x . Послідовність з декількох таких перетворень (з ряду в пучок, потім назад в ряд, і так далі) називається проєктивністю. Перспективність — це послідовність з двох проєктивностей (пишетьсяX⌆X). Перспективність двох прямих проходить крізь центр O, а перспективність двох точок — крізь вісь o. Точка інваріантна по відношенню до проєктивності, якщо проєктивність перетворює її в ту ж точку.

Трикутник  — це частина площини, обмежена трьома точками, з'єднаними попарно прямими. Повний чотирикутник — це частина площини, обмежена чотирма точками (вершини), що знаходяться в цій площині, з яких жодні три не колінеарними, з'єднаними попарно прямими. Перетин двох із цих прямих, які не є вершинами, називається діагональною точкою. Повний чотиригранник визначається аналогічно, але з точками замість прямих і прямими замість точок. Аналогічно можна визначити повний n-кутник і повний n-гранник.

Два трикутники перспективні якщо вони можуть бути з'єднані за допомогою перспективності, тобто їхні грані перетинаються на (перспективність крізь пряму) або їхні вершини з'єднані конкурентними прямими (перспективність крізь точку).

Основні підходи

Є три головних підходи до проєктивної геометрії: незалежна аксіоматизація, доповнення Евклідової геометрії, і структура над полем.

Аксіоматизація

Проєктивний простір можна визначити за допомогою різного набору аксіом. Коксетер надає такі:

  1. Існує пряма і точка не на ній.
  2. На кожній прямий є принаймні три точки.
  3. Через дві точки можна провести рівно одну пряму.
  4. Якщо A, B, C, і D — різні точки і AB і CD перетинаються, то AC і BD перетинаються.
  5. Якщо ABC — площина, то існує принаймні одна точка не в площині ABC.
  6. Дві різні площини перетинаються принаймні в двох точках.
  7. Три діагональні точки повного чотирикутника не є колінеарними.
  8. Якщо три точки на прямій X інваріантні по відношенню до проєктивної φ, то всі точки на X інваріантні по відношенню до φ.

Проєктивна площина (без третього виміру) визначається дещо іншими аксіомами:

  1. Через дві точки можна провести рівно одну пряму.
  2. Будь-які дві прямі перетинаються.
  3. Існує чотири точки, з яких немає трьох колінеарних.
  4. Три діагональні точки повних чотирикутників не є колінеарними.
  5. Якщо три точки на прямій X інваріантні по відношенню до проєктивної φ, то всі точки на X інваріантні по відношенню до φ.
  6. Теорема Дезарга: Якщо два трикутника перспективні крізь точку, то вони перспективні крізь пряму.

При наявності третього виміру, теорема Дезарга може бути доведена.

Доповнення Евклідової геометрії

Історично, проєктивний простір був вперше визначено, як доповнення евклідового простору ідеальним елементом — нескінченно віддаленої площини. Кожна точка на цій площині відповідає напрямку в просторі і є місцем перетину всіх прямих цього напрямку.

Проєктивна геометрія починається тоді, коли ми забуваємо про нескінченну віддаленість «ідеальних» точок, прямих і площини, і починаємо розглядати їх абсолютно на рівних умовах зі «звичайними» евклідовими точками, прямими і площинами.

Структура над полем

N-вимірний проєктивний простір над полем F визначається за допомогою системи однорідних координат над F, тобто множини ненульових (n+1) — векторів з елементів F. Точка і пряма визначаються як множина векторів, що відрізняються множенням на константу. Точка x знаходиться на прямій X якщо скалярний добуток X ⋅ x = 0. Таким чином, маючи пряму X, ми можемо визначити лінійне рівняння X ⋅ x = 0, що визначає ряд точок на X . З цього випливає, що точки x, y, і z є колінеарними, якщо X ⋅ x = X ⋅ y = X ⋅ z = 0 для будь-якої прямої X.

Однорідні координати дають можливість наглядно представити модель проєктивного простору. Оскільки однорідний вектор визначає (і тотожний) прямій, що проходить через початок координат, то точками n-вимірного проєктивного простору є прямі, що проходять через початок координат n+1-вимірного евклідового простору. У найпростішому випадку,

  • точки 2-вимірної проєктивної площини — прямі, що проходять через початок координат 3-вимірного евклідового простору
  • прямі цієї 2-вимірної проєктивної площини — це площини 3-вимірного евклідового простору, що проходять через початок координат.

Кожні дві проєктивні точки (тобто дві різні евклідові прямі) визначають проєктивну пряму (тобто евклідову площину, що проходять через початок координат). Кожні дві проєктивні прямі (тобто дві евклідові площини, що проходять через початок координат) перетинаються у проєктивній точці (іншими словами, перетином двох евклідових площин, що проходять через початок координат, є евклідова пряма, що проходять через початок координат).

Важливі теореми

Див. також

Вікіцитати містять висловлювання на тему: Проєктивна геометрія

Література

  • Буземан Г., Келли П. Проективная геометрия и проективные метрики. M., 1957.
  • Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. М., 1955.
  • Вольберг А. О. Основные идеи проективной геометрии. М.-Л.: Учпедгиз, 1949.
  • Глаголев Н. А. Проективная геометрия. М.-Л., 1936.
  • Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. М., 1970.
  • Юнг Дж. В. Проективная геометрия. М.: ИЛ, 1949.

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

Proyekti vna geome triya rozdil geometriyi yakij vivchaye proyektivni ploshini ta proyektivnij prostir Pri aksiomatichnij pobudovi proyektivnoyi ploshini postulyuyetsya obov yazkovij peretin dvoh riznih pryamih zamist aksiomi isnuvannya yedinoyi paralelnoyi u geometriyi Evklida Takim chinom na proyektivnij ploshini dvi rizni tochki viznachayut pryamu dvi rizni pryami viznachayut tochku Ce porodzhuye golovnu osoblivist proyektivnoyi geometriyi princip dualnosti yakij dodaye vitonchenu simetriyu dlya bagatoh konstrukcij Proyektivna geometriya mozhe vivchatisya yak z chisto geometrichnoyi tochki zoru tak z analitichnoyi za dopomogoyu odnoridnih koordinat i z algebrayichnoyi rozglyadayuchi proyektivnu ploshinu yak strukturu nad polem Chasto i istorichno dijsna proyektivna ploshina rozglyadayetsya yak evklidova ploshina z dodavannyam pryamoyi u neskinchennosti Proyektivna geometriya dopovnyuye evklidovu nadayuchi krasivi i prosti rishennya dlya bagatoh zavdan uskladnenih prisutnistyu paralelnih pryamih Osoblivo prosta j vitonchena proyektivna teoriya konichnih peretiniv IstoriyaHocha deyaki rezultati yaki teper zarahovani do proyektivnoyi geometriyi vihodyat z robit takih davnogreckih geometriv yak Papp Aleksandrijskij proyektivna geometriya yak taka narodilasya v XVII stolitti z pryamoyi perspektivi v zhivopisi i arhitekturnomu kreslenni Ideya bezmezhno dalekih tochok v yakih peretinayutsya paralelni pryami z yavilasya nezalezhno u francuzkogo arhitektora Zherara Dezarga i nimeckogo astronoma Joganna Keplera Dezarga navit zaproponuvav sho mozhe isnuvati pryama sho skladayetsya viklyuchno z neskinchenno viddalenih tochok V XIX stolitti interes do ciyeyi oblasti vidrodivsya zavdyaki pracyam Zhana Viktora Ponsele ta Mishelya Shalya Ponsele viviv proyektivnij prostir z Evklidovogo dodavshi pryamu v neskinchennosti na yakij peretinayutsya vsi ploshini paralelni danij i doviv princip dualnosti Shal prodovzhiv i znachno poglibiv praci Ponsele Piznishe stvoriv chisto sintetichnu aksiomatizaciyu ob yednuyuchi ci pryami z reshtoyu U kinci XIX stolittya Feliks Klejn zaproponuvav vikoristovuvati dlya proyektivnoyi geometriyi odnoridni koordinati yaki ranishe zaprovadili Mebius Plyukker i TerminologiyaOsnovni zalisheni bez viznachennya v standartnij aksiomatizaciyi ponyattya proyektivnoyi geometriyi ce tochka ta pryama Sukupnist tochok na pryamij nazivayetsya ryadom a sukupnist pryamih sho prohodyat kriz tochku puchkom Sukupnist tochok na pryamih u puchku A sho peretinayutsya z pryamoyu BC viznachaye ploshinu ABC Princip dualnosti svidchit sho bud yaka konstrukciya proyektivnoyi geometriyi v n vimirnomu prostori zalishayetsya virnoyu yaksho v usih vipadkah zaminiti k vimirni konstrukciyi na n k 1 vimirni Tak bud yaka konstrukciya v proyektivnij ploshini zalishayetsya virnoyu yaksho zaminiti tochki na pryami i pryami na tochki Peretvorennya ryadu pryamih X v puchok tochki x sho ne znahoditsya v comu ryadu abo navpaki identifikuye kozhnu tochku v ryadi z pryamoyu z puchka sho yiyi peretinaye i poznachayetsya X x Poslidovnist z dekilkoh takih peretvoren z ryadu v puchok potim nazad v ryad i tak dali nazivayetsya proyektivnistyu Perspektivnist ce poslidovnist z dvoh proyektivnostej pishetsyaX X Perspektivnist dvoh pryamih prohodit kriz centr O a perspektivnist dvoh tochok kriz vis o Tochka invariantna po vidnoshennyu do proyektivnosti yaksho proyektivnist peretvoryuye yiyi v tu zh tochku Trikutnik ce chastina ploshini obmezhena troma tochkami z yednanimi poparno pryamimi Povnij chotirikutnik ce chastina ploshini obmezhena chotirma tochkami vershini sho znahodyatsya v cij ploshini z yakih zhodni tri ne kolinearnimi z yednanimi poparno pryamimi Peretin dvoh iz cih pryamih yaki ne ye vershinami nazivayetsya diagonalnoyu tochkoyu Povnij chotirigrannik viznachayetsya analogichno ale z tochkami zamist pryamih i pryamimi zamist tochok Analogichno mozhna viznachiti povnij n kutnik i povnij n grannik Dva trikutniki perspektivni yaksho voni mozhut buti z yednani za dopomogoyu perspektivnosti tobto yihni grani peretinayutsya na perspektivnist kriz pryamu abo yihni vershini z yednani konkurentnimi pryamimi perspektivnist kriz tochku Osnovni pidhodiYe tri golovnih pidhodi do proyektivnoyi geometriyi nezalezhna aksiomatizaciya dopovnennya Evklidovoyi geometriyi i struktura nad polem Aksiomatizaciya Proyektivnij prostir mozhna viznachiti za dopomogoyu riznogo naboru aksiom Kokseter nadaye taki Isnuye pryama i tochka ne na nij Na kozhnij pryamij ye prinajmni tri tochki Cherez dvi tochki mozhna provesti rivno odnu pryamu Yaksho A B C i D rizni tochki i AB i CD peretinayutsya to AC i BD peretinayutsya Yaksho ABC ploshina to isnuye prinajmni odna tochka ne v ploshini ABC Dvi rizni ploshini peretinayutsya prinajmni v dvoh tochkah Tri diagonalni tochki povnogo chotirikutnika ne ye kolinearnimi Yaksho tri tochki na pryamij X invariantni po vidnoshennyu do proyektivnoyi f to vsi tochki na X invariantni po vidnoshennyu do f Proyektivna ploshina bez tretogo vimiru viznachayetsya desho inshimi aksiomami Cherez dvi tochki mozhna provesti rivno odnu pryamu Bud yaki dvi pryami peretinayutsya Isnuye chotiri tochki z yakih nemaye troh kolinearnih Tri diagonalni tochki povnih chotirikutnikiv ne ye kolinearnimi Yaksho tri tochki na pryamij X invariantni po vidnoshennyu do proyektivnoyi f to vsi tochki na X invariantni po vidnoshennyu do f Teorema Dezarga Yaksho dva trikutnika perspektivni kriz tochku to voni perspektivni kriz pryamu Pri nayavnosti tretogo vimiru teorema Dezarga mozhe buti dovedena Dopovnennya Evklidovoyi geometriyi Istorichno proyektivnij prostir buv vpershe viznacheno yak dopovnennya evklidovogo prostoru idealnim elementom neskinchenno viddalenoyi ploshini Kozhna tochka na cij ploshini vidpovidaye napryamku v prostori i ye miscem peretinu vsih pryamih cogo napryamku Proyektivna geometriya pochinayetsya todi koli mi zabuvayemo pro neskinchennu viddalenist idealnih tochok pryamih i ploshini i pochinayemo rozglyadati yih absolyutno na rivnih umovah zi zvichajnimi evklidovimi tochkami pryamimi i ploshinami Struktura nad polem N vimirnij proyektivnij prostir nad polem F viznachayetsya za dopomogoyu sistemi odnoridnih koordinat nad F tobto mnozhini nenulovih n 1 vektoriv z elementiv F Tochka i pryama viznachayutsya yak mnozhina vektoriv sho vidriznyayutsya mnozhennyam na konstantu Tochka x znahoditsya na pryamij X yaksho skalyarnij dobutok X x 0 Takim chinom mayuchi pryamu X mi mozhemo viznachiti linijne rivnyannya X x 0 sho viznachaye ryad tochok na X Z cogo viplivaye sho tochki x y i z ye kolinearnimi yaksho X x X y X z 0 dlya bud yakoyi pryamoyi X Odnoridni koordinati dayut mozhlivist naglyadno predstaviti model proyektivnogo prostoru Oskilki odnoridnij vektor viznachaye i totozhnij pryamij sho prohodit cherez pochatok koordinat to tochkami n vimirnogo proyektivnogo prostoru ye pryami sho prohodyat cherez pochatok koordinat n 1 vimirnogo evklidovogo prostoru U najprostishomu vipadku tochki 2 vimirnoyi proyektivnoyi ploshini pryami sho prohodyat cherez pochatok koordinat 3 vimirnogo evklidovogo prostoru pryami ciyeyi 2 vimirnoyi proyektivnoyi ploshini ce ploshini 3 vimirnogo evklidovogo prostoru sho prohodyat cherez pochatok koordinat Kozhni dvi proyektivni tochki tobto dvi rizni evklidovi pryami viznachayut proyektivnu pryamu tobto evklidovu ploshinu sho prohodyat cherez pochatok koordinat Kozhni dvi proyektivni pryami tobto dvi evklidovi ploshini sho prohodyat cherez pochatok koordinat peretinayutsya u proyektivnij tochci inshimi slovami peretinom dvoh evklidovih ploshin sho prohodyat cherez pochatok koordinat ye evklidova pryama sho prohodyat cherez pochatok koordinat Vazhlivi teoremiTeorema Dezarga Teorema Pappa Teorema Paskalya Teorema BrianshonaDiv takozhVikicitati mistyat vislovlyuvannya na temu Proyektivna geometriya Proyektivno rozshirena chislova pryamaLiteraturaBuzeman G Kelli P Proektivnaya geometriya i proektivnye metriki M 1957 Ber R Linejnaya algebra i proektivnaya geometriya M 1955 Volberg A O Osnovnye idei proektivnoj geometrii M L Uchpedgiz 1949 Glagolev N A Proektivnaya geometriya M L 1936 Hartshorn R Osnovy proektivnoj geometrii M 1970 Yung Dzh V Proektivnaya geometriya M IL 1949

Дата публікації:
Топ