Площина (геометрія)

Площина́ — одне з основних понять геометрії. При систематичному викладенні геометрії поняття площини як правило сприймається як первісне, котре лише опосередковано визначається аксіомами геометрії. Рівняння площини вперше зустрічається в А.К.Клеро (1731), рівняння площини у відрізках, вочевидь, вперше зустрічається в Ламе (1816—1818), нормальне рівняння увів (1861).

Дві площини, що перетинаються

Деякі характерні властивості площини

• Площина — поверхня, котра повністю містить кожну пряму, що сполучає її довільні точки;
• Площина — множина точок, рівновіддалених від двох заданих.

Площини в тривимірному Евклідовому просторі

Визначення на основі точок і прямих, що належать площині

В Евклідовому просторі будь-якої вимірності, площина зазвичай визначається за допомогою:

• Трьох не-колінеарних точок (точки не знаходяться на одній прямій).
• Прямою і точкою, що не належить цій прямій.
• Двома різними прямими, що перетинаються.
• Двома паралельними прямими.

Властивості

Наступні твердження справедливі для тривимірного Евклідового простору, але не для більших розмірностей, хоча вони мають аналогії при вищих розмірностях:

• Дві різні площини є або паралельними або перетинаються по прямій.
• Пряма може бути або паралельною до площини, або перетинає її в єдиній точці, або знаходиться на площині.
• Дві різні прямі, перпендикулярні до однієї площини мають бути паралельними одна до одної.
• Дві різні площини перпендикулярні одній прямій мають бути паралельні одна одній.

Рівняння площини

Площина — алгебрична поверхня першого порядку: в декартовій системі координат площина може бути задана рівнянням першого степеня.

• Загальне (повне) рівняння площини

${\displaystyle Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)}$

де ${\displaystyle A,B,C}$ та ${\displaystyle D}$ — сталі, при чому ${\displaystyle A,B}$ і ${\displaystyle C}$ не всі рівні нулю; у векторній формі:

${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {N} )+D=0}$

де ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — радіус-вектор точки ${\displaystyle M(x,y,z)}$, вектор ${\displaystyle \mathbf {N} =(A,B,C)}$ перпендикулярний до площини (нормальний вектор). Напрямні косинуси вектора ${\displaystyle \mathbf {N} }$:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},}$

${\displaystyle \cos \beta ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},}$

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}.}$

Якщо один з коефіцієнтів в рівнянні площини дорівнює нулю рівняння називається неповним. При ${\displaystyle D=0}$ площина проходить через початок координат, при ${\displaystyle A=0}$ (або ${\displaystyle B=0}$, ${\displaystyle C=0}$) площина паралельна осі ${\displaystyle Ox}$ (відповідно ${\displaystyle Oy}$ чи ${\displaystyle Oz}$). При ${\displaystyle A=B=0}$ (${\displaystyle A=C=0}$, чи ${\displaystyle B=C=0}$) площина паралельна площині ${\displaystyle Oxy}$ (відповідно ${\displaystyle Oxz}$ чи ${\displaystyle Oyz}$).

• Рівняння площини у відрізках:

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,}$

де ${\displaystyle a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C}$ — відрізки, які площина відсікає на осях ${\displaystyle Ox,Oy}$ і ${\displaystyle Oz}$.

• Рівняння площини, що проходить через точку ${\displaystyle M(x_{0},y_{0},z_{0})}$ перпендикулярно до вектора ${\displaystyle \mathbf {N} (A,B,C)}$:

${\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;}$

у векторній формі:

${\displaystyle ((\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} ),\mathbf {N} )=0.}$

• Рівняння площини, що проходить через три задані точки ${\displaystyle M(x_{i},y_{i},z_{i})}$, які не лежать на одній прямій:

${\displaystyle ((\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r} -\mathbf {r_{2}} ),(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} ))=0}$

(мішаний добуток векторів), іншими словами

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matrix}}\right|=0.}$

• Нормальне (нормоване) рівняння площини

${\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\qquad (2)}$

у векторній формі:

${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {N^{0}} )=0,}$

де ${\displaystyle \mathbf {N^{0}} }$ — одиничний вектор, ${\displaystyle p}$ — відстань від площини до початку координат. Рівняння(2) можна отримати з рівняння (1), помноживши його на нормуючий множник

${\displaystyle \mu =\pm {\frac {1}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$

(знаки ${\displaystyle \mu }$ і ${\displaystyle D}$ протилежні).

Пов'язані поняття

• Відхилення точки ${\displaystyle M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})}$ від площини

${\displaystyle \delta =x_{1}\cos \alpha +y_{1}\cos \beta +z_{1}\cos \gamma -p;}$

${\displaystyle \delta >0}$,якщо ${\displaystyle M_{i}}$ і початок координат лежать по різні сторони площини, в протилежному випадку${\displaystyle \delta <0}$. Відстань від точки до площини дорівнює ${\displaystyle |\delta |.}$

• Кут між площинами Якщо рівняння площини задані у вигляді (1), то

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{\sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2})}}};}$

Якщо у векторній формі, то

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {(\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} )}{|\mathbf {N_{1}} ||\mathbf {N_{2}} |}}.}$

• Площини паралельні, якщо

${\displaystyle {\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}}$ чи ${\displaystyle [\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} ]=1.}$

• Площини перпендикулярні, якщо

${\displaystyle A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0}$ чи ${\displaystyle (\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} )=0}$.

• Пучок площин — рівняння довільної площини, що проходить через лінію перетину двох площин

${\displaystyle \alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z)+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z)=0,}$

де ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$ — довільні числа, що не одночасно дорівнюють нулю.

Література

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия М.: ФИЗМАТЛИТ / 2002 р., 240с.

Посилання

• Площина // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 131. — 594 с.