Невласна точка, ідеальна точка, омега-точка або нескінченно віддалена точка — це [en] точка поза гіперболічною площиною або простором. Якщо дано пряму l і точку P поза l, то прямі, що проходять через P, праворуч і ліворуч паралельні в границі до прямої l, збігаються до l в ідеальних точках.
На відміну від проєктивного випадку, ідеальні точки утворюють межу, а не підмноговид. Таким чином, ці прямі не перетинаються в ідеальній точці, і такі точки, хоча вони й цілком визначені, не належать самому гіперболічному простору.
Ідеальні точки разом утворюють [en] або межу гіперболічної геометрії. Наприклад, одиничне коло утворює абсолют Келі дискової моделі Пуанкаре і дискової моделі Кляйна. Разом з тим, дійсна пряма утворює абсолют моделі півплощини.
Аксіома Паша і теорема про зовнішній кут трикутника виконуються для омега-трикутника, який визначається двома точками гіперболічного простору і омега-точкою.
Властивості
Многокутники з ідеальними вершинами
Ідеальні трикутники
Якщо всі вершини трикутника є ідеальними точками, трикутник є ідеальним трикутником.
Ідеальні трикутники мають кілька цікавих властивостей:
- Всі ідеальні трикутники конгруентні.
- Внутрішні кути ідеального трикутника всі дорівнюють нулю.
- Будь-який ідеальний трикутник має нескінченний периметр.
- Будь-який ідеальний трикутник має площу , де дорівнює (від'ємній) кривині площини.
Ідеальні чотирикутники
Якщо всі вершини чотирикутника — ідеальні точки, то чотирикутник є ідеальним чотирикутником.
Тоді як усі ідеальні трикутники конгруентні, не всі ідеальні чотирикутники конгруентні, діагоналі можуть перетинатися під різними кутами, що призводить до неконгруентності чотирикутників, при цьому:
- Внутрішні кути ідеального чотирикутника всі дорівнюють нулю.
- Будь-який ідеальний чотирикутник має нескінченний периметр.
- Будь-який ідеальний (опуклий без перетинів) чотирикутник має площу , де K дорівнює (від'ємній) кривині площини.
Ідеальний квадрат
Ідеальний чотирикутник, у якого дві діагоналі перпендикулярні, утворює ідеальний квадрат.
Ідеальний квадрат використовував [ru] у його меморандумі, в якому він згадує «астральну геометрію». Це була одна з перших публікацій, що допускають можливість гіперболічної геометрії.
Ідеальні n-кутники
n-кутник можна розділити на (n − 2) ідеальних трикутників, і площа многокутника дорівнює площі ідеального трикутника, помноженій на (n − 2).
Подання в моделях гіперболічної геометрії
У дисковій моделі Кляйна і дисковій моделі Пуанкаре гіперболічної площини ідеальними точками є одиничні кола (для гіперболічної площини) або одиничні сфери (для просторів вищої розмірності), які є недосяжною межею гіперболічного простору.
Одна і та ж гіперболічна пряма в дисковій моделі Кляйна і дисковій моделі Пуанкаре буде проходити через ті ж дві ідеальні точки.
Дискова модель Клейна
Якщо дано дві різні точки і у відкритому одиничному диску, єдина пряма, що з'єднує їх, перетинає одиничне коло в двох ідеальних точках, і (вважається, що точки йдуть в порядку , , , ), так що і . Тоді гіперболічна відстань між і виражається формулою
Дискова модель Пуанкаре
Якщо задано дві різні точки і у відкритому одиничному диску, то єдина дуга кола, яка ортогональна межі і з'єднує точки, перетинає одиничне коло в двох ідеальних точках, і (вважається, що точки йдуть у порядку , , , ), так що і . Тоді гіперболічна відстань між і виражається формулою
Тут відстань вимірюється вздовж (прямих) відрізків , , , .
Модель півплощини Пуанкаре
У моделі півплощини ідеальні точки — це точки на граничній осі. Існує також інша ідеальна точка, яка не належить моделі півплощини (але промені, паралельні до додатної півосі , наближаються до неї).
Гіперболоїдна модель
У гіперболоїдній моделі немає ніяких невласних точок.
Див. також
- Ідеальний трикутник
- Нескінченно віддалена точка в інших геометріях.
Примітки
- Комацу, 1981, с. 103-104.
- Struve, Struve, 2010, с. 151–170.
- Hvidsten, 2005, с. 276–283.
- Thurston, 2012.
- Bonola, 1955, с. 75–77.
Література
- Мацуо Комацу. Многообразие геометрии. — М. : Знание, 1981.
- Thomas Q. Sibley. The geometric viewpoint : a survey of geometries. — Reading, Mass. : Addison-Wesley, 1998. — С. 109. — . з джерела 7 вересня 2019
- Horst Struve, Rolf Struve. Non-euclidean geometries: the Cayley-Klein approach // Journal of Geometry. — 2010. — Т. 89, вип. 1 (17 червня). — ISSN 0047-2468. — DOI: .
- Michael Hvidsten. Geometry with Geometry Explorer. — New York, NY, 2005. — .
- Roberto Bonola. Non-Euclidean geometry : a critical and historical study of its developments. — New York, NY : Dover, 1955. — С. 75–77. — .
- Dylan. 274 Curves on Surfaces, Lecture 5. — 2012. — 17 червня. з джерела 9 січня 2022. Процитовано 23 липня 2013.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Cya stattya pro idealnu tochku v giperbolichnij geometriyi Pro podibni tochki v inshih geometriyah div Tochka na neskinchennosti Nevlasna tochka idealna tochka omega tochka abo neskinchenno viddalena tochka ce en tochka poza giperbolichnoyu ploshinoyu abo prostorom Yaksho dano pryamu l i tochku P poza l to pryami sho prohodyat cherez P pravoruch i livoruch paralelni v granici do pryamoyi l zbigayutsya do l v idealnih tochkah Tri idealnih trikutniki v konformno evklidovij modeli vershini ye idealnimi tochkami Na vidminu vid proyektivnogo vipadku idealni tochki utvoryuyut mezhu a ne pidmnogovid Takim chinom ci pryami ne peretinayutsya v idealnij tochci i taki tochki hocha voni j cilkom viznacheni ne nalezhat samomu giperbolichnomu prostoru Idealni tochki razom utvoryuyut en abo mezhu giperbolichnoyi geometriyi Napriklad odinichne kolo utvoryuye absolyut Keli diskovoyi modeli Puankare i diskovoyi modeli Klyajna Razom z tim dijsna pryama utvoryuye absolyut modeli pivploshini Aksioma Pasha i teorema pro zovnishnij kut trikutnika vikonuyutsya dlya omega trikutnika yakij viznachayetsya dvoma tochkami giperbolichnogo prostoru i omega tochkoyu VlastivostiGiperbolichna vidstan mizh idealnimi tochkami i bud yakoyu inshoyu tochkoyu abo inshoyu tochkoyu dorivnyuye neskinchennosti Centri oricikliv i orisfer ye idealnimi tochkami Dva oricikli koncentrichni koli voni mayut odin i toj samij centr Mnogokutniki z idealnimi vershinamiIdealni trikutniki Yaksho vsi vershini trikutnika ye idealnimi tochkami trikutnik ye idealnim trikutnikom Idealni trikutniki mayut kilka cikavih vlastivostej Vsi idealni trikutniki kongruentni Vnutrishni kuti idealnogo trikutnika vsi dorivnyuyut nulyu Bud yakij idealnij trikutnik maye neskinchennij perimetr Bud yakij idealnij trikutnik maye ploshu p K displaystyle pi K de K displaystyle K dorivnyuye vid yemnij krivini ploshini Idealni chotirikutniki Yaksho vsi vershini chotirikutnika idealni tochki to chotirikutnik ye idealnim chotirikutnikom Todi yak usi idealni trikutniki kongruentni ne vsi idealni chotirikutniki kongruentni diagonali mozhut peretinatisya pid riznimi kutami sho prizvodit do nekongruentnosti chotirikutnikiv pri comu Vnutrishni kuti idealnogo chotirikutnika vsi dorivnyuyut nulyu Bud yakij idealnij chotirikutnik maye neskinchennij perimetr Bud yakij idealnij opuklij bez peretiniv chotirikutnik maye ploshu 2 p K displaystyle 2 pi K de K dorivnyuye vid yemnij krivini ploshini Idealnij kvadrat Idealnij chotirikutnik u yakogo dvi diagonali perpendikulyarni utvoryuye idealnij kvadrat Idealnij kvadrat vikoristovuvav ru u jogo memorandumi v yakomu vin zgaduye astralnu geometriyu Ce bula odna z pershih publikacij sho dopuskayut mozhlivist giperbolichnoyi geometriyi Idealni n kutniki n kutnik mozhna rozdiliti na n 2 idealnih trikutnikiv i plosha mnogokutnika dorivnyuye ploshi idealnogo trikutnika pomnozhenij na n 2 Podannya v modelyah giperbolichnoyi geometriyiU diskovij modeli Klyajna i diskovij modeli Puankare giperbolichnoyi ploshini idealnimi tochkami ye odinichni kola dlya giperbolichnoyi ploshini abo odinichni sferi dlya prostoriv vishoyi rozmirnosti yaki ye nedosyazhnoyu mezheyu giperbolichnogo prostoru Odna i ta zh giperbolichna pryama v diskovij modeli Klyajna i diskovij modeli Puankare bude prohoditi cherez ti zh dvi idealni tochki Diskova model Klejna Yaksho dano dvi rizni tochki p displaystyle p i q displaystyle q u vidkritomu odinichnomu disku yedina pryama sho z yednuye yih peretinaye odinichne kolo v dvoh idealnih tochkah a displaystyle a i b displaystyle b vvazhayetsya sho tochki jdut v poryadku a displaystyle a p displaystyle p q displaystyle q b displaystyle b tak sho a q gt a p displaystyle left aq right gt left ap right i p b gt q b displaystyle left pb right gt left qb right Todi giperbolichna vidstan mizh p displaystyle p i q displaystyle q virazhayetsya formuloyu d p q 1 2 log q a b p p a b q displaystyle d p q frac 1 2 log frac left qa right left bp right left pa right left bq right Diskova model Puankare Yaksho zadano dvi rizni tochki p displaystyle p i q displaystyle q u vidkritomu odinichnomu disku to yedina duga kola yaka ortogonalna mezhi i z yednuye tochki peretinaye odinichne kolo v dvoh idealnih tochkah a displaystyle a i b displaystyle b vvazhayetsya sho tochki jdut u poryadku a displaystyle a p displaystyle p q displaystyle q b displaystyle b tak sho a q gt a p displaystyle left aq right gt left ap right i p b gt q b displaystyle left pb right gt left qb right Todi giperbolichna vidstan mizh p displaystyle p i q displaystyle q virazhayetsya formuloyu d p q log q a b p p a b q displaystyle d p q log frac left qa right left bp right left pa right left bq right Tut vidstan vimiryuyetsya vzdovzh pryamih vidrizkiv a q displaystyle aq a p displaystyle ap p b displaystyle pb q b displaystyle qb Model pivploshini Puankare Dokladnishe Model Puankare u verhnij pivploshini U modeli pivploshini idealni tochki ce tochki na granichnij osi Isnuye takozh insha idealna tochka yaka ne nalezhit modeli pivploshini ale promeni paralelni do dodatnoyi pivosi y displaystyle y nablizhayutsya do neyi Giperboloyidna model U giperboloyidnij modeli nemaye niyakih nevlasnih tochok Div takozhIdealnij trikutnik Neskinchenno viddalena tochka v inshih geometriyah PrimitkiKomacu 1981 s 103 104 Struve Struve 2010 s 151 170 Hvidsten 2005 s 276 283 Thurston 2012 Bonola 1955 s 75 77 LiteraturaMacuo Komacu Mnogoobrazie geometrii M Znanie 1981 Thomas Q Sibley The geometric viewpoint a survey of geometries Reading Mass Addison Wesley 1998 S 109 ISBN 0 201 87450 4 z dzherela 7 veresnya 2019 Horst Struve Rolf Struve Non euclidean geometries the Cayley Klein approach Journal of Geometry 2010 T 89 vip 1 17 chervnya ISSN 0047 2468 DOI 10 1007 s00022 010 0053 z Michael Hvidsten Geometry with Geometry Explorer New York NY 2005 ISBN 0 07 312990 9 Roberto Bonola Non Euclidean geometry a critical and historical study of its developments New York NY Dover 1955 S 75 77 ISBN 0486600270 Dylan 274 Curves on Surfaces Lecture 5 2012 17 chervnya z dzherela 9 sichnya 2022 Procitovano 23 lipnya 2013