Теорема про зовнішній кут трикутника

Теорема про зовнішній кут трикутника — це твердження про властивість зовнішнього кута трикутника, за яким зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним.

${\displaystyle \angle 4=\angle 1+\angle 2}$ або ${\displaystyle \angle CBD=\angle CAB+\angle ACB}$

Формулювання

Скористаємося позначеннями на рисунку праворуч. Тоді ${\displaystyle \angle CBD}$ або ${\displaystyle \angle 4}$ — зовнішній кут ${\displaystyle \bigtriangleup ABC}$ при вершині В.

${\displaystyle \angle 4=\angle 1+\angle 2}$

або

${\displaystyle \angle CBD=\angle CAB+\angle ACB}$

Доведення

Доведення теореми за допомогою додаткової побудови прямої, яка паралельна стороні трикутника та проходить через його вершину.

Скористаємося позначеннями на рисунку праворуч. Оскільки, сума кутів трикутника буде 180°:

${\displaystyle \angle 1+\angle 2+\angle 3=180^{\circ }}$ (${\displaystyle \angle BAC+\angle ACB+\angle CBA=180^{\circ }}$) (1)

Оскільки, кути 3 та 4 — суміжні, то їх сума буде 180°:

${\displaystyle \angle 3+\angle 4=180^{\circ }}$ (${\displaystyle \angle CBA+\angle CBD=180^{\circ }}$) (2)

З рівності 1

${\displaystyle \angle 3=180^{\circ }-(\angle 1+\angle 2)}$ або ${\displaystyle \angle CBA=180^{\circ }-(\angle ACB+\angle BAC)}$

З рівності 2

${\displaystyle \angle 3=180^{\circ }-\angle 4}$ або ${\displaystyle \angle CBA=180^{\circ }-\angle CBD}$, звідси ${\displaystyle \angle 4=\angle 1+\angle 2}$ або ${\displaystyle \angle CBD=\angle BAC+\angle ACB}$.

Наслідки

Наслідок 1. Зовнішній кут трикутника більший за кожний внутрішній кут, не суміжного з ним.

Наслідок 2. Сума зовнішніх кутів трикутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°.

Джерела

• Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, Inc., ISBN 
• (1974), Euclidean and Non-Euclidean Geometries/Development and History, San Francisco: W.H. Freeman, ISBN