Однорідні координати — координати, що володіють властивістю, за якої об'єкт, що визначається цими координатами, не змінюється при множенні всіх координат на одне і те ж число, відмінне від нуля. Однорідні координати мають таке ж значення для проєктивної геометрії, як декартові координати для Евклідової геометрії. Поняття однорідних координат увів Август Фердинанд Мебіус у 1827 році у роботі Der barycentrische Calcül.
За допомогою однорідних координат навіть координати нескінченно віддалених точок можна представити за допомогою скінченних координат. Формули, записані в однорідних координатах, найчастіше простіші та більш симетричні, ніж їхні вирази в декартових координатах. Однорідні координати мають широкий спектр застосування, в тому числі в комп'ютерній графіці та в 3D комп'ютерному зорі, де вони дозволяють виконувати афінні перетворення і, загалом, проєктивні перетворення, через що їх легко представити у вигляді матриці.
Однорідні координати не задають однозначно точку простору. Наприклад, (1, 1, 1, 1) і (2, 2, 2, 2) задають одну і ту ж точку (1, 1, 1). При переході до однорідних координат для точки з координатами (x, у, z) пропонується узяти набір (x, у, z, 1). В процесі перетворень четверта координата w може змінюватися.
Зворотний перехід до декартових координат здійснюється за допомогою ділення на w-координату.
Вступ
Дійсну проєктивну площину можна розглядати як евклідову площину, яка має додаткові точки, які називаються точками на нескінченності, котрі вважають такими, що лежать на новій прямій, [en]. Існує точка на нескінченності, яка відповідає кожному напрямкові (який чисельно задається нахилом прямої), неформально визначена як границя точки, яка рухається в напрямку від початку. Стверджують, що паралельні лінії на евклідовій площині перетинаються в точці на нескінченності, яка відповідає їхньому спільному напрямкові. Для точки (x, y) на Евклідовій площині і будь-якого ненульового дійсного числа Z трійка (xZ, yZ, Z) називається множиною однорідних координат точки. За цим визначенням, множення трьох однорідних координат на одне ненульове значення дає новий набір однорідних координат тієї самої точки. Зокрема (x, y, 1) є множиною однорідних координат для точки (x, y). Наприклад, точку декартової системи (1, 2) можна задати в однорідних координатах як (1, 2, 1) або (2, 4, 2). Початкові декартові координати можна отримати шляхом ділення перших двох значень на третє. Таким чином, одну точку в декартових координатах можна задавати нескінченною кількістю однорідних координат.
Рівняння прямої, що проходить через початок (0, 0), можна записати як nx + my = 0, де n і m обидва не дорівнюють 0. В параметричній формі це можна записати x = mt, y = −nt. Нехай Z = 1/t, тоді координати точки на прямій можуть бути записані як (m/Z, −n/Z). В однорідних координатах це буде (m, −n, Z). У граничному випадкові, коли t наближається до нескінченності, тобто точка рухається від початку координат, Z наближається до 0 і однорідні координати точки будуть (m, −n, 0). Таким чином, ми визначаємо (m, −n, 0) як однорідні координати точки на нескінченності, яка відповідає напрямкові прямої nx + my = 0. Позаяк кожна пряма в Евклідовій площині паралельна прямій, яка проходить через початок, і паралельні лінії мають одну точку на нескінченності, нескінченна точка на кожній прямій Евклідової площини має дані однорідні координати.
Як підсумок:
- Будь-яка точка на проєктивній площині задається трійкою (X, Y, Z), що називається однорідними координатами або проєктивними координатами точки, де X, Y і Z всі не дорівнюють 0.
- Точка, задана певним набором однорідних координат, залишиться незмінною, якщо її координати помножити на один і той же коефіцієнт.
- І навпаки, дві множини однорідних координат задають одну і ту ж точку тоді і тільки тоді, коли одну з них можна отримати з іншої шляхом множення на одну ненульову константу.
- Якщо Z не дорівнює 0, точка відповідає точці (X/Z, Y/Z) на Евклідовій площині.
- Якщо Z дорівнює 0, точка відповідає точці на нескінченності.
Зазначимо, що трійка координат (0, 0, 0) не представляє жодної точки. Початок координат задається як (0, 0, 1).
Позначення
Деякі автори використовують інше позначення для однорідних координат, яке дозволяє відрізнити їх від Декартових координат. Використовується двокрапка замість коми, наприклад (x:y:z) замість написання (x, y, z), що підкреслює зміст того, що координати варто розглядати як співвідношення. Квадратні дужки, як в [x, y, z], підкреслюють, що багато наборів координат пов'язано з однією точкою. Деякі автори використовують поєднання двокрапок і квадратних дужок: [x:y:z].
Інші виміри
Можна провести аналогію для проєктивних просторів, що не є площиною. Так, наприклад, точки на проєктивній прямій можуть задаватися як пари координат (x, y), обидві не рівні нулеві. В такому випадку точка на нескінченності є (1, 0). Аналогічно точка у проєктивному просторі n-виміру задається набором (n + 1) координат.
Матриці елементарних перетворень евклідового простору в однорідних координатах
Нехай задано точку евклідового простору з координатами
. Їй ставиться у відповідність точка з однорідними координатами
, з якою виконуються потрібні перетворення. Після цього отримані координати
переводяться у декартові координати
.
Використання матричного запису дозволяє отримати економію в кількості зроблених операцій. Позаяк добуток матриць асоціативний, то можна спочатку обчислити необхідне перетворення як добуток матриць, і тільки потім застосувати його до координат точок.
Паралельне перенесення: | = | |||
Обертання навколо осі x: | = | |||
Обертання навколо осі y: | = | |||
Обертання навколо осі z: | = | |||
Масштабування: | = | |||
: | = | |||
Ортогональна проєкція: | = |
Посилання
- Homogeneous coordinates
Примітки
- Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. August Ferdinand Möbius в архіві MacTutor (англ.)
- Smith, David Eugene (1906). History of Modern Mathematics. J. Wiley & Sons. с. 53.
- For the section: Jones, 1912, с. 120—122
- Woods, 1922
- Garner, 1981
- Miranda, 1995
- Bôcher, 1907, с. 13—14
Див. також
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Odnoridni koordinati koordinati sho volodiyut vlastivistyu za yakoyi ob yekt sho viznachayetsya cimi koordinatami ne zminyuyetsya pri mnozhenni vsih koordinat na odne i te zh chislo vidminne vid nulya Odnoridni koordinati mayut take zh znachennya dlya proyektivnoyi geometriyi yak dekartovi koordinati dlya Evklidovoyi geometriyi Ponyattya odnoridnih koordinat uviv Avgust Ferdinand Mebius u 1827 roci u roboti Der barycentrische Calcul Za dopomogoyu odnoridnih koordinat navit koordinati neskinchenno viddalenih tochok mozhna predstaviti za dopomogoyu skinchennih koordinat Formuli zapisani v odnoridnih koordinatah najchastishe prostishi ta bilsh simetrichni nizh yihni virazi v dekartovih koordinatah Odnoridni koordinati mayut shirokij spektr zastosuvannya v tomu chisli v komp yuternij grafici ta v 3D komp yuternomu zori de voni dozvolyayut vikonuvati afinni peretvorennya i zagalom proyektivni peretvorennya cherez sho yih legko predstaviti u viglyadi matrici Odnoridni koordinati ne zadayut odnoznachno tochku prostoru Napriklad 1 1 1 1 i 2 2 2 2 zadayut odnu i tu zh tochku 1 1 1 Pri perehodi do odnoridnih koordinat dlya tochki z koordinatami x u z proponuyetsya uzyati nabir x u z 1 V procesi peretvoren chetverta koordinata w mozhe zminyuvatisya Zvorotnij perehid do dekartovih koordinat zdijsnyuyetsya za dopomogoyu dilennya na w koordinatu VstupDijsnu proyektivnu ploshinu mozhna rozglyadati yak evklidovu ploshinu yaka maye dodatkovi tochki yaki nazivayutsya tochkami na neskinchennosti kotri vvazhayut takimi sho lezhat na novij pryamij en Isnuye tochka na neskinchennosti yaka vidpovidaye kozhnomu napryamkovi yakij chiselno zadayetsya nahilom pryamoyi neformalno viznachena yak granicya tochki yaka ruhayetsya v napryamku vid pochatku Stverdzhuyut sho paralelni liniyi na evklidovij ploshini peretinayutsya v tochci na neskinchennosti yaka vidpovidaye yihnomu spilnomu napryamkovi Dlya tochki x y na Evklidovij ploshini i bud yakogo nenulovogo dijsnogo chisla Z trijka xZ yZ Z nazivayetsya mnozhinoyu odnoridnih koordinat tochki Za cim viznachennyam mnozhennya troh odnoridnih koordinat na odne nenulove znachennya daye novij nabir odnoridnih koordinat tiyeyi samoyi tochki Zokrema x y 1 ye mnozhinoyu odnoridnih koordinat dlya tochki x y Napriklad tochku dekartovoyi sistemi 1 2 mozhna zadati v odnoridnih koordinatah yak 1 2 1 abo 2 4 2 Pochatkovi dekartovi koordinati mozhna otrimati shlyahom dilennya pershih dvoh znachen na tretye Takim chinom odnu tochku v dekartovih koordinatah mozhna zadavati neskinchennoyu kilkistyu odnoridnih koordinat Rivnyannya pryamoyi sho prohodit cherez pochatok 0 0 mozhna zapisati yak nx my 0 de n i m obidva ne dorivnyuyut 0 V parametrichnij formi ce mozhna zapisati x mt y nt Nehaj Z 1 t todi koordinati tochki na pryamij mozhut buti zapisani yak m Z n Z V odnoridnih koordinatah ce bude m n Z U granichnomu vipadkovi koli t nablizhayetsya do neskinchennosti tobto tochka ruhayetsya vid pochatku koordinat Z nablizhayetsya do 0 i odnoridni koordinati tochki budut m n 0 Takim chinom mi viznachayemo m n 0 yak odnoridni koordinati tochki na neskinchennosti yaka vidpovidaye napryamkovi pryamoyi nx my 0 Pozayak kozhna pryama v Evklidovij ploshini paralelna pryamij yaka prohodit cherez pochatok i paralelni liniyi mayut odnu tochku na neskinchennosti neskinchenna tochka na kozhnij pryamij Evklidovoyi ploshini maye dani odnoridni koordinati Yak pidsumok Bud yaka tochka na proyektivnij ploshini zadayetsya trijkoyu X Y Z sho nazivayetsya odnoridnimi koordinatami abo proyektivnimi koordinatami tochki de X Y i Z vsi ne dorivnyuyut 0 Tochka zadana pevnim naborom odnoridnih koordinat zalishitsya nezminnoyu yaksho yiyi koordinati pomnozhiti na odin i toj zhe koeficiyent I navpaki dvi mnozhini odnoridnih koordinat zadayut odnu i tu zh tochku todi i tilki todi koli odnu z nih mozhna otrimati z inshoyi shlyahom mnozhennya na odnu nenulovu konstantu Yaksho Z ne dorivnyuye 0 tochka vidpovidaye tochci X Z Y Z na Evklidovij ploshini Yaksho Z dorivnyuye 0 tochka vidpovidaye tochci na neskinchennosti Zaznachimo sho trijka koordinat 0 0 0 ne predstavlyaye zhodnoyi tochki Pochatok koordinat zadayetsya yak 0 0 1 Poznachennya Deyaki avtori vikoristovuyut inshe poznachennya dlya odnoridnih koordinat yake dozvolyaye vidrizniti yih vid Dekartovih koordinat Vikoristovuyetsya dvokrapka zamist komi napriklad x y z zamist napisannya x y z sho pidkreslyuye zmist togo sho koordinati varto rozglyadati yak spivvidnoshennya Kvadratni duzhki yak v x y z pidkreslyuyut sho bagato naboriv koordinat pov yazano z odniyeyu tochkoyu Deyaki avtori vikoristovuyut poyednannya dvokrapok i kvadratnih duzhok x y z Inshi vimiriMozhna provesti analogiyu dlya proyektivnih prostoriv sho ne ye ploshinoyu Tak napriklad tochki na proyektivnij pryamij mozhut zadavatisya yak pari koordinat x y obidvi ne rivni nulevi V takomu vipadku tochka na neskinchennosti ye 1 0 Analogichno tochka u proyektivnomu prostori n vimiru zadayetsya naborom n 1 koordinat Matrici elementarnih peretvoren evklidovogo prostoru v odnoridnih koordinatahNehaj zadano tochku evklidovogo prostoru E 3 displaystyle mathbb E 3 z koordinatami x y z displaystyle x y z Yij stavitsya u vidpovidnist tochka z odnoridnimi koordinatami x y z 1 displaystyle x y z 1 z yakoyu vikonuyutsya potribni peretvorennya Pislya cogo otrimani koordinati x y z w displaystyle x y z w perevodyatsya u dekartovi koordinati x w y w z w displaystyle left frac x w frac y w frac z w right Vikoristannya matrichnogo zapisu dozvolyaye otrimati ekonomiyu v kilkosti zroblenih operacij Pozayak dobutok matric asociativnij to mozhna spochatku obchisliti neobhidne peretvorennya yak dobutok matric i tilki potim zastosuvati jogo do koordinat tochok Paralelne perenesennya T displaystyle underline T 1 0 0 t x 0 1 0 t y 0 0 1 t z 0 0 0 1 displaystyle begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 amp t x 0 amp 1 amp 0 amp t y 0 amp 0 amp 1 amp t z 0 amp 0 amp 0 amp 1 end pmatrix T x y z 1 T x t x y t y z t z 1 T displaystyle underline T cdot x y z 1 T x t x y t y z t z 1 T Obertannya navkolo osi x R x displaystyle underline R x 1 0 0 0 0 cos a sin a 0 0 sin a cos a 0 0 0 0 1 displaystyle begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp cos alpha amp sin alpha amp 0 0 amp sin alpha amp cos alpha amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 end pmatrix Obertannya navkolo osi y R y displaystyle underline R y cos b 0 sin b 0 0 1 0 0 sin b 0 cos b 0 0 0 0 1 displaystyle begin pmatrix cos beta amp 0 amp sin beta amp 0 0 amp 1 amp 0 amp 0 sin beta amp 0 amp cos beta amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 end pmatrix Obertannya navkolo osi z R z displaystyle underline R z cos g sin g 0 0 sin g cos g 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 displaystyle begin pmatrix cos gamma amp sin gamma amp 0 amp 0 sin gamma amp cos gamma amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 end pmatrix Masshtabuvannya S displaystyle underline S s x 0 0 0 0 s y 0 0 0 0 s z 0 0 0 0 1 displaystyle begin pmatrix s x amp 0 amp 0 amp 0 0 amp s y amp 0 amp 0 0 amp 0 amp s z amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 end pmatrix S x y z 1 T s x x s y y s z z 1 T displaystyle underline S cdot x y z 1 T s x cdot x s y cdot y s z cdot z 1 T P displaystyle underline P 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 d 0 displaystyle begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp frac 1 d amp 0 end pmatrix P x y z 1 T x y z z d T displaystyle underline P cdot x y z 1 T x y z tfrac z d T Ortogonalna proyekciya P o r t h z 0 displaystyle underline P mathrm orth z 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 displaystyle begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 end pmatrix P o r t h z 0 x y z 1 T x y 0 1 T displaystyle underline P mathrm orth z 0 cdot x y z 1 T x y 0 1 T PosilannyaHomogeneous coordinatesPrimitkiDzhon Dzh O Konnor ta Edmund F Robertson August Ferdinand Mobius v arhivi MacTutor angl Smith David Eugene 1906 History of Modern Mathematics J Wiley amp Sons s 53 For the section Jones 1912 s 120 122 Woods 1922 Garner 1981 Miranda 1995 Bocher 1907 s 13 14Div takozhProyektivnij prostir Proyektivni koordinati Baricentrichni koordinati Plyukkerovi koordinati