Плю́керові координа́ти — координати (набори чисел), що визначають підпростори (довільної розмірності) векторного або проєктивного простору . Є узагальненням однорідних координат точок проєктивного простору та також визначені з точністю до множення на довільний ненульовий множник. Уперше ввів Плюккер у окремому випадку проєктивних прямих у тривимірному проєктивному просторі, що для векторних просторів відповідає випадку і .
Визначення в координатах
Нехай — -вимірний підпростір -вимірного векторного простору . Для визначення плюкерових координат підпростору виберемо довільний базис в і довільний базис в . Кожен вектор має в базисі координати , тобто . Записуючи координати векторів у вигляді рядків, отримаємо матрицю
ранг якої дорівнює . Позначимо через мінор матриці , що складається зі стовпців з номерами , які набувають значень від до . Числа незалежні: якщо набір індексів отримано з за допомогою перестановки , то виконується рівність , де знак «плюс» або «мінус» відповідає тому, чи є перестановка парною, чи непарною. Розглянута з точністю до множення на спільний ненульовий множник сукупність чисел для всіх упорядкованих наборів індексів , що набувають значень від до , називають плюккеровими координатами підпростору .
Властивості
1. Незалежність від вибору базису.
Якщо в підпросторі вибрано інший базис , то новий набір плюккерових координат матиме вигляд , де — деякий ненульовий множник. Справді, новий базис пов'язаний зі старими співвідношеннями , і визначник матриці відмінний від нуля. Відповідно до визначення плюккерових координат і теореми про визначник добутку матриць, маємо , де .
2. Грассманіан.
Ставлячи у відповідність кожному -вимірному підпростору набір його плюккерових координат , ми зіставляємо деяку точку проєктивного простору розмірності . Побудоване в такий спосіб відображення ін'єктивне, але не сюр'єктивне (тобто його образ не збігається з усім простором ). Образ множини всіх -вимірних підпросторів -вимірного простору при відображенні є -вимірним проєктивним алгебричним многовидом , що називається многовидом Грассмана або грассманіаном і позначається або .
3. Співвідношення Плюккера.
Критерієм, за яким можна визначити, чи належить точка проєктивного простору грасманіану є так звані співвідношення Плюккера:
де всі індекси в наборах і набувають значень від до , знак позначає пропуск індексу, що стоїть під ним. Ця сума виходить, якщо із сукупності викинути почергово по одному індексу і цей індекс приписати праворуч до набору , потім два числа, що вийшли перемножити (зауважимо, що ці числа є мінорами матриці , але не обов'язково є плюккеровими координатами, оскільки набори їхніх індексів не обов'язково впорядковані за зростанням) і потім взяти суму всіх таких добутків зі знаками, що чергуються. Співвідношення Плюккера виконуються для кожного -вимірного підпростору . І навпаки, якщо однорідні координати , , деякої точки проєктивного простору задовольняють цим співвідношенням, то ця точка при відображенні відповідає деякому підпростору , тобто належить .
Мовою матриць це означає: якщо числа задовольняють співвідношенням Плюккера, існує матриця, для якої вони є мінорами максимального порядку, а якщо ні, то не існує такої матриці. Це розв'язує задачу про можливість відновлення матриці за її мінорами максимального порядку з точністю до лінійного перетворення рядків.
Приклад
У разі і маємо , і отже, кожна площина у 4-вимірному векторному просторі має плюккерових координат: , , , , , . Вибираючи в площині базис так, що і , отримуємо матрицю
звідки знаходимо:
- , , , , , .
Очевидно, що виконується співвідношення
- ,
яке зберігається при множенні всіх на будь-який спільний множник, тобто не залежить від вибору базису. Це і є співвідношення Плюккера, яке визначає проєктивну квадрику у 5-вимірному проєктивному просторі.
Див. також
Література
- Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические проблемы. — М. : изд-во МГУ, 1962.
- [ru]. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. — М. : Факториал, 1998.
- Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. — М. : ИЛ, 1954. — Т. 1. (Тут плюккерові координати названо грассмановими).
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М. : Физматлит, 2009.
- [en]. Analytic Projective Geometry. — European Mathematical Society, 2014.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Plyu kerovi koordina ti koordinati nabori chisel sho viznachayut pidprostori M displaystyle M dovilnoyi rozmirnosti vektornogo abo proyektivnogo prostoru L displaystyle L Ye uzagalnennyam odnoridnih koordinat tochok proyektivnogo prostoru ta takozh viznacheni z tochnistyu do mnozhennya na dovilnij nenulovij mnozhnik Upershe vviv Plyukker u okremomu vipadku proyektivnih pryamih u trivimirnomu proyektivnomu prostori sho dlya vektornih prostoriv vidpovidaye vipadku dim M 2 displaystyle dim M 2 i dim L 4 displaystyle dim L 4 Viznachennya v koordinatahNehaj M displaystyle M m displaystyle m vimirnij pidprostir n displaystyle n vimirnogo vektornogo prostoru L displaystyle L Dlya viznachennya plyukerovih koordinat pidprostoru M displaystyle M viberemo dovilnij bazis e 1 e n displaystyle e 1 ldots e n v L displaystyle L i dovilnij bazis a 1 a m displaystyle a 1 ldots a m v M displaystyle M Kozhen vektor a i displaystyle a i maye v bazisi e 1 e n displaystyle e 1 ldots e n koordinati a i 1 a i n displaystyle a i1 ldots a in tobto a i a i 1 e 1 a i n e n displaystyle a i a i1 e 1 ldots a in e n Zapisuyuchi koordinati vektoriv a 1 a m displaystyle a 1 ldots a m u viglyadi ryadkiv otrimayemo matricyu A a 11 a 12 a 1 n a 21 a 22 a 2 n a m 1 a m 2 a m n displaystyle A begin pmatrix a 11 amp a 12 amp cdots amp a 1n a 21 amp a 22 amp cdots amp a 2n vdots amp vdots amp ddots amp vdots a m1 amp a m2 amp cdots amp a mn end pmatrix rang yakoyi dorivnyuye m displaystyle m Poznachimo cherez M i 1 i m displaystyle M i 1 ldots i m minor matrici A displaystyle A sho skladayetsya zi stovpciv z nomerami i 1 i m displaystyle i 1 ldots i m yaki nabuvayut znachen vid 1 displaystyle 1 do n displaystyle n Chisla M i 1 i m displaystyle M i 1 ldots i m nezalezhni yaksho nabir indeksiv i 1 i m displaystyle i 1 ldots i m otrimano z j 1 j m displaystyle j 1 ldots j m za dopomogoyu perestanovki s S m displaystyle sigma in S m to vikonuyetsya rivnist M i 1 i m M j 1 j m displaystyle M i 1 ldots i m pm M j 1 ldots j m de znak plyus abo minus vidpovidaye tomu chi ye perestanovka s displaystyle sigma parnoyu chi neparnoyu Rozglyanuta z tochnistyu do mnozhennya na spilnij nenulovij mnozhnik sukupnist C n m displaystyle C n m chisel p i 1 i m M i 1 i m displaystyle p i 1 ldots i m M i 1 ldots i m dlya vsih uporyadkovanih naboriv indeksiv i 1 lt lt i m displaystyle i 1 lt ldots lt i m sho nabuvayut znachen vid 1 displaystyle 1 do n displaystyle n nazivayut plyukkerovimi koordinatami pidprostoru M displaystyle M Vlastivosti1 Nezalezhnist vid viboru bazisu Yaksho v pidprostori M displaystyle M vibrano inshij bazis a 1 a m displaystyle a 1 ldots a m to novij nabir plyukkerovih koordinat p i 1 i m displaystyle p i 1 ldots i m matime viglyad p i 1 i m c p i 1 i m displaystyle p i 1 ldots i m c cdot p i 1 ldots i m de c displaystyle c deyakij nenulovij mnozhnik Spravdi novij bazis pov yazanij zi starimi spivvidnoshennyami a i a i 1 a 1 a i m a m displaystyle a i a i1 a 1 cdots a im a m i viznachnik matrici a i j displaystyle a ij vidminnij vid nulya Vidpovidno do viznachennya plyukkerovih koordinat i teoremi pro viznachnik dobutku matric mayemo p i 1 i m c p i 1 i m displaystyle p i 1 ldots i m c cdot p i 1 ldots i m de c det a i j displaystyle c det a ij 2 Grassmanian Stavlyachi u vidpovidnist kozhnomu m displaystyle m vimirnomu pidprostoru M displaystyle M nabir jogo plyukkerovih koordinat p i 1 i m displaystyle p i 1 ldots i m mi zistavlyayemo M displaystyle M deyaku tochku proyektivnogo prostoru P displaystyle P rozmirnosti C n m 1 displaystyle C n m 1 Pobudovane v takij sposib vidobrazhennya g displaystyle g in yektivne ale ne syur yektivne tobto jogo obraz ne zbigayetsya z usim prostorom P displaystyle P Obraz mnozhini vsih m displaystyle m vimirnih pidprostoriv n displaystyle n vimirnogo prostoru pri vidobrazhenni g displaystyle g ye m n m displaystyle m n m vimirnim proyektivnim algebrichnim mnogovidom P displaystyle P sho nazivayetsya mnogovidom Grassmana abo grassmanianom i poznachayetsya G m n displaystyle G m n abo G r m L displaystyle mathrm Gr m L 3 Spivvidnoshennya Plyukkera Kriteriyem za yakim mozhna viznachiti chi nalezhit tochka proyektivnogo prostoru P displaystyle P grasmanianu G m n displaystyle G m n ye tak zvani spivvidnoshennya Plyukkera r 1 m 1 1 r p j 1 j m 1 k r p k 1 k r k m 1 0 j 1 j m 1 k 1 k m 1 displaystyle sum r 1 m 1 1 r p j 1 ldots j m 1 k r cdot p k 1 ldots breve k r ldots k m 1 0 quad forall j 1 ldots j m 1 quad forall k 1 ldots k m 1 de vsi indeksi v naborah j 1 j m 1 displaystyle j 1 ldots j m 1 i k 1 k m 1 displaystyle k 1 ldots k m 1 nabuvayut znachen vid 1 displaystyle 1 do n displaystyle n znak displaystyle breve poznachaye propusk indeksu sho stoyit pid nim Cya suma vihodit yaksho iz sukupnosti k 1 k m 1 displaystyle k 1 ldots k m 1 vikinuti pochergovo po odnomu indeksu i cej indeks pripisati pravoruch do naboru j 1 j m 1 displaystyle j 1 ldots j m 1 potim dva chisla sho vijshli p a 1 a m M a 1 a m displaystyle p alpha 1 ldots alpha m M alpha 1 ldots alpha m peremnozhiti zauvazhimo sho ci chisla ye minorami matrici A displaystyle A ale ne obov yazkovo ye plyukkerovimi koordinatami oskilki nabori yihnih indeksiv ne obov yazkovo vporyadkovani za zrostannyam i potim vzyati sumu vsih takih dobutkiv zi znakami sho cherguyutsya Spivvidnoshennya Plyukkera vikonuyutsya dlya kozhnogo m displaystyle m vimirnogo pidprostoru M L displaystyle M subset L I navpaki yaksho odnoridni koordinati p i 1 i m displaystyle p i 1 ldots i m i 1 lt lt i m displaystyle i 1 lt ldots lt i m deyakoyi tochki proyektivnogo prostoru P displaystyle P zadovolnyayut cim spivvidnoshennyam to cya tochka pri vidobrazhenni g displaystyle g vidpovidaye deyakomu pidprostoru M L displaystyle M subset L tobto nalezhit G m n displaystyle G m n Movoyu matric ce oznachaye yaksho chisla p i 1 i m displaystyle p i 1 ldots i m zadovolnyayut spivvidnoshennyam Plyukkera isnuye matricya dlya yakoyi voni ye minorami maksimalnogo poryadku a yaksho ni to ne isnuye takoyi matrici Ce rozv yazuye zadachu pro mozhlivist vidnovlennya matrici za yiyi minorami maksimalnogo poryadku z tochnistyu do linijnogo peretvorennya ryadkiv PrikladU razi n 4 displaystyle n 4 i m 2 displaystyle m 2 mayemo C 4 2 6 displaystyle C 4 2 6 i otzhe kozhna ploshina M displaystyle M u 4 vimirnomu vektornomu prostori maye 6 displaystyle 6 plyukkerovih koordinat p 12 displaystyle p 12 p 13 displaystyle p 13 p 14 displaystyle p 14 p 23 displaystyle p 23 p 24 displaystyle p 24 p 34 displaystyle p 34 Vibirayuchi v ploshini M displaystyle M bazis a 1 a 2 displaystyle a 1 a 2 tak sho a 1 e 1 displaystyle a 1 e 1 i a 2 e 2 displaystyle a 2 e 2 otrimuyemo matricyu A 1 0 a b 0 1 g d displaystyle A begin pmatrix 1 amp 0 amp alpha amp beta 0 amp 1 amp gamma amp delta end pmatrix zvidki znahodimo p 12 1 displaystyle p 12 1 p 13 g displaystyle p 13 gamma p 14 d displaystyle p 14 delta p 23 a displaystyle p 23 alpha p 24 b displaystyle p 24 beta p 34 a d b g displaystyle p 34 alpha delta beta gamma Ochevidno sho vikonuyetsya spivvidnoshennya p 12 p 34 p 13 p 24 p 14 p 23 0 displaystyle p 12 p 34 p 13 p 24 p 14 p 23 0 yake zberigayetsya pri mnozhenni vsih p i 1 i 2 displaystyle p i 1 i 2 na bud yakij spilnij mnozhnik tobto ne zalezhit vid viboru bazisu Ce i ye spivvidnoshennya Plyukkera yake viznachaye proyektivnu kvadriku G 2 4 displaystyle G 2 4 u 5 vimirnomu proyektivnomu prostori Div takozhZadacha Kirkmana pro shkolyarokLiteraturaKartan E Vneshnie differencialnye sistemy i ih geometricheskie problemy M izd vo MGU 1962 ru Odnorodnye prostranstva i uravnenie Rikkati v variacionnom ischislenii M Faktorial 1998 Hodzh V Pido D Metody algebraicheskoj geometrii M IL 1954 T 1 Tut plyukkerovi koordinati nazvano grassmanovimi Shafarevich I R Remizov A O Linejnaya algebra i geometriya M Fizmatlit 2009 en Analytic Projective Geometry European Mathematical Society 2014