Барицентричні координати — координати точки -вимірного афінного простору , віднесені до деякої фіксованої системи з -ї точки , що належать -вимірному підпросторі. Барицентричні координати введені Мебіусом 1827 році.
Нехай є довільна точка в . Кожна точка може бути єдиним чином визначена у вигляді суми (афінної комбінації)
де — дійсні числа, що задовольняють умові
Числа називаються барицентричними координатами точки . Легко бачити, що барицентричні координати не залежать від вибору .
Точка , є центром тяжіння мас , розташованих в точках .
Властивості
- Барицентричні координати є афінними інваріантами тобто не змінюються при афінних перетвореннях.
- Барицентричні координати точок симплекса з вершинами в невід'ємні та їх сума дорівнює одиниці.
- Перетворення на нуль барицентричної координати рівносильно тому, що точка лежить на гіперплощині, що містить грань симплекса, протилежну вершині .
Узагальнені барицентричні координати
Барицентричні координати (a1, ..., an) які визначено щодо політопа замість симплекса називаються узагальнені барицентричні координати. Для них, все ще мусить виконуватись рівняння
де x1, ..., xn це вершини заданого політопа. Отже,означення формально те саме, але тоді як симплекс з n вершинами має бути в просторі вимірності не менш ніж n-1, політоп можна вкласти у векторний простір з меншою вимірністю. Найпростіший приклад це чотирикутник на площині. Як наслідок, навіть нормалізовані узагальнені барицентричні координати (тобто коли коефіцієнтів дорівнює 1) не завжди унікально визначені, тоді як нормалізовані барицентричні координати щодо симплекса завжди.
Застосування
Узагальнені барицентричні координати застосовуються в комп'ютерній графіці, конкретніше в геометричному моделюванні. Часто, тривимірну модель можна апроксимувати багатогранником так, що барицентричні координати щодо цього багатогранника мають геометричний сенс. Таким чином, оброблення моделі можна спростити використовуючи ці змістовні координати.
Див. також
Джерела
- Александров П. С., Комбинаторная топология, М. — Л., 1947
- Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1947,
- Bradley, Christopher J. (2007). The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-ordinates. Bath: Highperception. ISBN .
- Weisstein, Eric W. Areal Coordinates(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Barycentric Coordinates(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Baricentrichni koordinati koordinati tochki n displaystyle n vimirnogo afinnogo prostoru A n displaystyle A n vidneseni do deyakoyi fiksovanoyi sistemi z n 1 displaystyle n 1 yi tochki p 0 p 1 p n displaystyle p 0 p 1 ldots p n sho nalezhat n 1 displaystyle n 1 vimirnomu pidprostori Baricentrichni koordinati vvedeni Mebiusom 1827 roci Nehaj z displaystyle z ye dovilna tochka v A n displaystyle A n Kozhna tochka x A n displaystyle x in A n mozhe buti yedinim chinom viznachena u viglyadi sumi afinnoyi kombinaciyi x z a 1 z p 1 a 2 z p 2 a n z p n displaystyle x z alpha 1 cdot vec zp 1 alpha 2 cdot vec zp 2 ldots alpha n cdot vec zp n de a 1 a 2 a n displaystyle alpha 1 alpha 2 ldots alpha n dijsni chisla sho zadovolnyayut umovi a 1 a 2 a n 1 displaystyle alpha 1 alpha 2 ldots alpha n 1 Chisla a 1 a 2 a n displaystyle alpha 1 alpha 2 ldots alpha n nazivayutsya baricentrichnimi koordinatami tochki x displaystyle x Legko bachiti sho baricentrichni koordinati ne zalezhat vid viboru z displaystyle z Tochka x displaystyle x ye centrom tyazhinnya mas a 1 a 2 a n displaystyle alpha 1 alpha 2 ldots alpha n roztashovanih v tochkah p 1 p 2 p n displaystyle p 1 p 2 ldots p n VlastivostiBaricentrichni koordinati ye afinnimi invariantami tobto ne zminyuyutsya pri afinnih peretvorennyah Baricentrichni koordinati tochok simpleksa z vershinami v p 1 p 2 p n displaystyle p 1 p 2 ldots p n nevid yemni ta yih suma dorivnyuye odinici Peretvorennya na nul baricentrichnoyi koordinati a i displaystyle alpha i rivnosilno tomu sho tochka lezhit na giperploshini sho mistit gran simpleksa protilezhnu vershini p i displaystyle p i Uzagalneni baricentrichni koordinatiBaricentrichni koordinati a1 an yaki viznacheno shodo politopa zamist simpleksa nazivayutsya uzagalneni baricentrichni koordinati Dlya nih vse she musit vikonuvatis rivnyannya a 1 a n p a 1 x 1 a n x n displaystyle a 1 cdots a n p a 1 x 1 cdots a n x n de x1 xn ce vershini zadanogo politopa Otzhe oznachennya formalno te same ale todi yak simpleks z n vershinami maye buti v prostori vimirnosti ne mensh nizh n 1 politop mozhna vklasti u vektornij prostir z menshoyu vimirnistyu Najprostishij priklad ce chotirikutnik na ploshini Yak naslidok navit normalizovani uzagalneni baricentrichni koordinati tobto koli koeficiyentiv dorivnyuye 1 ne zavzhdi unikalno viznacheni todi yak normalizovani baricentrichni koordinati shodo simpleksa zavzhdi Zastosuvannya Uzagalneni baricentrichni koordinati zastosovuyutsya v komp yuternij grafici konkretnishe v geometrichnomu modelyuvanni Chasto trivimirnu model mozhna aproksimuvati bagatogrannikom tak sho baricentrichni koordinati shodo cogo bagatogrannika mayut geometrichnij sens Takim chinom obroblennya modeli mozhna sprostiti vikoristovuyuchi ci zmistovni koordinati Div takozhAfinna kombinaciyaDzherelaAleksandrov P S Kombinatornaya topologiya M L 1947 Pontryagin L S Osnovy kombinatornoj topologii M L 1947 Bradley Christopher J 2007 The Algebra of Geometry Cartesian Areal and Projective Co ordinates Bath Highperception ISBN 978 1 906338 00 8 Weisstein Eric W Areal Coordinates angl na sajti Wolfram MathWorld Weisstein Eric W Barycentric Coordinates angl na sajti Wolfram MathWorld