Політоп

В елементарній геометрії, політоп (англ. polytope) — це геометричний об'єкт з «плоскими» сторонами. Поняття політопа узагальнюється на довільне число розмірностей, відповідно числу розмірностей кажуть про n-політоп. Наприклад, двовимірний багатокутник є 2-політопом, а тривимірний багатогранник є 3-політопом. Під пласкими сторонами (k+1)-політопа розуміють сторони на одиницю меншої розмірності — k-політопи.

Деякі види двовимірних політопів: відкритий (межу не включено), тільки межа (внутрішність не включено), замкнений (містить і межу, і внутрішність) та з самоперетинами (різні ділянки мають різне заповнення).

Деякі теорії узагальнюють ідею політопа та розглядають такі об'єкти як необмежені ^[en] і мозаїку, розбиття або замощення викривлених многовидів, включаючи, наприклад, сферичні багатогранники, та теоретико-множинні абстрактні політопи.

Підходи до визначення

Нині термін політоп охоплює широкий клас об'єктів і має різні визначення в математичній літературі. Багато з цих визначень не еквівалентні, що призводить до різних наборів об'єктів, які називають політопами. Вони реалізують різні підходи до узагальнення опуклих політопів, щоб включити інші об'єкти з аналогічними властивостями.

Оригінальний підхід за Людвігом Шлефлі, Торольдом Госсе та іншими починається з розширення за аналогією на чотири або більше вимірів ідеї багатокутника і багатогранника відповідно в двох і трьох вимірах.

Спроби узагальнити ейлерову характеристику багатогранників до багатовимірних політопів привели до розробки топології і трактування розкладу або CW-комплексу як аналога політопа. За такого підходу політоп можна розглядати як теселяцію або розклад деякого заданого многовиду. Прикладом такого підходу є визначення політопа як множини точок, яка допускає симпліційне розкладання. У цьому визначенні політоп є об'єднанням скінченного числа симплексів, з додатковою властивістю, що для будь-яких двох симплексів, які мають непорожній перетин, їхній перетин є вершиною, ребром або гранню вищої міри, ніж два. Однак це визначення не дозволяє існування зіркових політопів зі внутрішніми структурами, і тому є обмеженим певними галузями математики.

Відкриття зірчастих багатогранників та інших незвичайних конструкцій призвело до ідеї багатогранника як обмежувальної поверхні, нехтуючи її внутрішню частину. У цьому світлі опуклі політопи в р-просторі еквівалентні замощенню (р-1)-сфери, тоді як інші можуть бути замощеннями інших еліптичних, плоских або тороїдальних (р-1)-поверхонь. Багатогранник розуміють як поверхню, чиї грані є багатокутниками, а 4-політоп — як гіперповерхню, чиї фасети (грані) є багатогранниками, і так далі.

Ідею побудови вищих політопів від політопів меншої розмірності також іноді поширюють вниз за розмірністю, розглядаючи ребро як , обмежений парою точок, а точку або вершину — як 0-політоп. Такий підхід використовується, наприклад, у теорії абстрактних політопів.

У деяких галузях математики, терміни «політоп» і «багатогранник» використовують у іншому сенсі: багатогранник є загальним об'єктом у будь-якому числі вимірів, а політоп означає обмежений багатогранник. Ця термінологія, як правило, обмежується опуклими політопами та багатогранниками. За цією термінологією, опуклий багатогранник є перетином скінченного числа півпросторів і визначається його сторонами, тоді як опуклий політоп є опуклою оболонкою скінченного числа точок і визначається його вершинами.

Елементи

Політоп містить елементи різної розмірності, такі як вершини, ребра, грані, клітини і т. д. Термінологія для них не повною мірою відповідає одна одній за різними авторами. Наприклад, деякі автори використовують грань для позначення (n—1)-вимірного елемента, тоді як інші використовують грань для позначення конкретно 2-вимірної грані. Автори можуть використовувати J-грань для того, щоб указати на елемент із J вимірами. Деякі з них використовують термін ребро для позначення гребеня, тоді як Коксетер називає коміркою (n—1)-вимірний елемент.

Терміни, прийняті в цій статті, наведено в таблиці:

Розмірність елемента	Термін (n-політоп)
-1	Нульовий політоп (необхідний в абстрактній теорії)
0	вершина
1	ребро
2	грань
3
….	….
J	J -гранний — елемент рангу J = -1, 0, 1, 2, 3, …, N
…	…
n — 2	гребінь або підгрань — (n—2)-грань
n — 1	фасета — (n—1)-грань
n	сам n-політоп

n-Вимірний політоп обмежений певним числом (n—1)-вимірних фасет. Ці фасети є самі політопами, чиї фасети є (n—2)-вимірними гребенями початкового політопа. Кожен гребінь виникає як перетин двох фасет (але перетин двох фасет не обов'язково має бути гребенем). Гребені це політопи, чиї фасети приводять до (n—3)-вимірних меж початкового політопа, і т. д. Ці обмежувальні субполітопи можна назвати гранями або, точніше, J-вимірними гранями. 0-вимірна грань, яку називають вершиною, складається з однієї точки. 1-вимірну грань, називана ребром, є відрізком. 2-вимірна грань є багатокутником, а 3-вимірна грань, яку іноді називають коміркою, є багатогранником.

Властивості

• Кожен політоп допускає тріангуляцію, тобто, може бути поданий як об'єднання скінченної множини симплексів ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ таких що

• для будь-якого зі симплексів із ${\displaystyle {\mathcal {S}},}$ в ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ входять усі його грані;
• будь-які два симплекси або взагалі не мають спільної точки, або перетинаються тільки по цілій грані певної розмірності.

• Перетин і об'єднання скінченного числа політопів є політопом.

Варіації та узагальнення

Топологічний політоп — топологічний простір, гомеоморфний деякому політопу.

Застосування

При вивченні оптимізації, лінійне програмування вивчає максимуми і мінімуми лінійних функцій звужених до меж n-вимірного політопа.

У лінійному програмуванні політопи виникають при використанні узагальнених барицентричних координат.

У твісторній теорії, галузі теоретичної фізики, політоп, який називається ^[en], використовують для розрахунку амплітуди розсіювання субатомних частинок при їх зіткненні. Конструкція носить чисто теоретичний характер, без відомого фізичного прояву, введена для того, щоб значно спростити деякі розрахунки.

Див. також

• Многогранник
• Повністю зрізаний 5-стільник

Примітки

1. Grünbaum (2003)
2. Nemhauser and Wolsey, "Integer and Combinatorial Optimization, " 1999, , Definition 2.2.