Параметричні рівняння — метод представлення математичних функцій через параметри. Простий кінематичний приклад, коли час використовується як параметр для задання позиції, швидкості та іншої інформації про тіло в русі.
Параметричне представлення функції
Припустимо, що функціональна залежність y від x не задана прямо y = f(x), а через проміжну величину — t. Тоді формули
задають параметричні рівняння для функції однієї змінної.
Якщо припустити, що обидві ці функції і мають похідні і для існує обернена функція θ, явне представлення функції має вигляд:
і похідна функції може бути обрахована як
2D-приклади
Парабола
Тривіальний приклад, рівняння параболи:
може бути параметризоване із використанням параметра t таким чином
Коло
3D-приклади
Гвинтова лінія
Параметричні рівняння зручні для опису кривих і в багатовимірних просторах. Наприклад:
описує тривимірну криву, гвинтова лінія, яка має радіус a і підіймається на 2πb за оберт.
Подібні вирази також записуються як
Корисність
Такий спосіб представлення є практичним і ефективним; наприклад, можна інтегрувати і брати похідну почленно. Таким чином, швидкість точки, що рухається згідно з цими рівняннями може бути представлена як:
і прискорення:
Загалом, параметризована крива є функцією від одного параметра (зазвичай t). Для відповідного випадку із двома і більше параметрами, дивись .
Примітки
- Г. М. Фіхтенгольц. «Курс диференціального та інтегрального числення». Том I. Москва 1969 г. Стор. 218
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Parametrichni rivnyannya metod predstavlennya matematichnih funkcij cherez parametri Prostij kinematichnij priklad koli chas vikoristovuyetsya yak parametr dlya zadannya poziciyi shvidkosti ta inshoyi informaciyi pro tilo v rusi Priklad krivoyi viznachenoyi parametrichnimi rivnyannyami Parametrichne predstavlennya funkciyiPripustimo sho funkcionalna zalezhnist y vid x ne zadana pryamo y f x a cherez promizhnu velichinu t Todi formuli x f t displaystyle x varphi t y ps t displaystyle y psi t zadayut parametrichni rivnyannya dlya funkciyi odniyeyi zminnoyi Yaksho pripustiti sho obidvi ci funkciyi f displaystyle varphi i ps displaystyle psi mayut pohidni i dlya f displaystyle varphi isnuye obernena funkciya 8 yavne predstavlennya funkciyi maye viglyad y ps 8 x f x displaystyle y psi theta x f x i pohidna funkciyi mozhe buti obrahovana yak y x d y d x y t x t ps t ϕ t displaystyle y x frac dy dx frac y t x t frac psi t phi t 2D prikladiParabola Trivialnij priklad rivnyannya paraboli y x 2 displaystyle y x 2 mozhe buti parametrizovane iz vikoristannyam parametra t takim chinom x t displaystyle x t y t 2 displaystyle y t 2 Kolo Dlya kola radiusa a x a cos t displaystyle x a cos t y a sin t displaystyle y a sin t 3D prikladiGvintova liniya Parametrizovana gvintova liniya Parametrichni rivnyannya zruchni dlya opisu krivih i v bagatovimirnih prostorah Napriklad x a cos t displaystyle x a cos t y a sin t displaystyle y a sin t z b t displaystyle z bt opisuye trivimirnu krivu gvintova liniya yaka maye radius a i pidijmayetsya na 2pb za obert Podibni virazi takozh zapisuyutsya yak r t x t y t z t a cos t a sin t b t displaystyle r t x t y t z t a cos t a sin t bt KorisnistTakij sposib predstavlennya ye praktichnim i efektivnim napriklad mozhna integruvati i brati pohidnu pochlenno Takim chinom shvidkist tochki sho ruhayetsya zgidno z cimi rivnyannyami mozhe buti predstavlena yak v t r t x t y t z t a sin t a cos t b displaystyle v t r t x t y t z t a sin t a cos t b i priskorennya a t r t x t y t z t a cos t a sin t 0 displaystyle a t r t x t y t z t a cos t a sin t 0 Zagalom parametrizovana kriva ye funkciyeyu vid odnogo parametra zazvichaj t Dlya vidpovidnogo vipadku iz dvoma i bilshe parametrami divis PrimitkiG M Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya Tom I Moskva 1969 g Stor 218