Теорема Паппа

Теорема Паппа — це класична теорема проєктивної геометрії. Вона формулюється наступним чином:

Теорема Паппа

Нехай A, B, C — три точки на одній прямій, A' , B' , C'  — три точки на іншій прямій. Нехай три прямі АВ' , BC' , CA' перетинають три прямі A'B, B'C, C'A, відповідно у точках X, Y, Z. Тоді точки X, Y, Z лежать на одній прямій.

Нескладно бачити, що двоїсте формулювання до теореми Паппа є лише переформулюванням самої теореми.

Нехай прямі ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}}$ проходять через точку A, ${\displaystyle a_{1}',a_{2}',a_{3}'}$ проходять через точку A'. ${\displaystyle a_{1}}$ перетинає ${\displaystyle a_{2}'}$ та ${\displaystyle a_{3}'}$ в точках B і C, ${\displaystyle a_{2}}$ перетинає ${\displaystyle a_{1}'}$ та ${\displaystyle a_{3}'}$ в точках C' і Z, ${\displaystyle a_{3}}$ перетинає ${\displaystyle a_{1}'}$ та ${\displaystyle a_{2}'}$ в точках B' і X. Тоді прямі BC', B'C та XZ перетинаються в одній точці (на кресленні — Y) або паралельні.

Теорема Паппа є виродженим випадком в теоремі Паскаля: якщо замінити в теоремі Паскаля вписаний у конічний перетин шестикутник на вписаний у пару прямих, які перетинаються, то вона стане еквівалентною теоремі Паппа. Сам Паскаль вважав пару прямих конічним перетином (тобто вважав теорему Паппа окремим випадком своєї теореми).

Історія

Формулювання і доведення цієї теореми містяться в «Математичному зібранні» Паппа Олександрійського (початок IV століття н. е.). У Новий час теорема була опублікована видавцем і коментатором робіт Паппа у 1566 році.

Доведення

Якщо відвести на нескінченність пряму XY, то теорема переходить в нескладне твердження про паралельність прямих, найпростіше доказуване з використанням гомотетії:

Нехай A, B, C — три точки на одній прямій, A' , B' , C'  — три точки на інший прямий, при цьому AB' паралельно A'B, а BC' паралельно B'C. Тоді A'C паралельно AC'.

Посилання

• Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика? [ 13 грудня 2012 у Wayback Machine.] Глава IV, § 5.3.

Див. також

• Теорема Паппа про площі
• Теорема Паскаля