Ортоцентр

Ортоцентр (від грец. ορθοξ — прямий) — точка перетину висот трикутника або їх продовжень. Інакше: ортоцентром називається точка перетину прямих, що містять висоти трикутника. Зазвичай ортоцентр позначають великою латинською літерою ${\displaystyle H}$.

Три висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром.

В гострокутному трикутнику ортоцентр лежить всередині трикутника. В тупокутному — поза межами трикутника. В прямокутному трикутнику ортоцентр збігається з вершиною прямого кута.

Властивості ортоцентра

• Ортоцентр лежить на одній прямій з центроїдом, центром описаного кола і центром кола дев'яти точок (див. Лінія Ейлера).
• Ортоцентр гострокутного трикутника є центром кола, вписаного в ортоцентричний трикутник даного трикутника.
• Точка перетину серединних перепендикулярів трикутника є ортоцентром трикутника з вершинами в серединах сторін даного трикутника.
• Точки, симетричні ортоцентру трикутника щодо його сторін, лежать на описаному колі.
• Точки, симетричні ортоцентру трикутника щодо середин сторін, також лежать на описаному колі і збігаються з точками, діаметрально протилежними відповідним вершинам.
• Якщо ${\displaystyle O}$ — центр описаного кола ${\displaystyle \bigtriangleup ABC}$, то ${\displaystyle {\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}},}$
• ${\displaystyle |OH|={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}}$, де ${\displaystyle R}$ — радіус описаного кола; ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ — довжини сторін трикутника.
• Відстань від вершини трикутника до ортоцентра вдвічі більша відстані від центру описаного кола до середини протилежної сторони.
• Будь-який відрізок, проведений з ортоцентра до перетину з описаним колом завжди ділиться колом Ейлера навпіл.
• Теорема Гамільтона. Три відрізка прямих, що з'єднують ортоцентр з вершинами гострого трикутника, розбивають його на три трикутника, що мають те ж саме коло Ейлера (коло дев'яти точок), що і вихідний гострокутний трикутник.

Див. також

• Медіана трикутника
• Бісектриса
• Висота трикутника
• Центроїд

Джерела

• Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005. — 120 с.
• Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія: Підручник для 7-9 кл. — Київ: Вежа, 2004. — 309 с.
• Кушнір І. А. Трикутник і тетраедр в задачах: кн. для вчителя / І. А. Кушнір. — К. : Радянська школа, 1991. — 208 с. —
• Кушнір І. А. Повернення втраченої геометрії / І. Кушнір. — Київ: Факт, 2000. 280 с.