Ортоцентр (від грец. ορθοξ — прямий) — точка перетину висот трикутника або їх продовжень. Інакше: ортоцентром називається точка перетину прямих, що містять висоти трикутника. Зазвичай ортоцентр позначають великою латинською літерою .
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.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.png)
В гострокутному трикутнику ортоцентр лежить всередині трикутника. В тупокутному — поза межами трикутника. В прямокутному трикутнику ортоцентр збігається з вершиною прямого кута.
Властивості ортоцентра
- Ортоцентр лежить на одній прямій з центроїдом, центром описаного кола і центром кола дев'яти точок (див. Лінія Ейлера).
- Ортоцентр гострокутного трикутника є центром кола, вписаного в ортоцентричний трикутник даного трикутника.
- Точка перетину серединних перепендикулярів трикутника є ортоцентром трикутника з вершинами в серединах сторін даного трикутника.
- Точки, симетричні ортоцентру трикутника щодо його сторін, лежать на описаному колі.
- Точки, симетричні ортоцентру трикутника щодо середин сторін, також лежать на описаному колі і збігаються з точками, діаметрально протилежними відповідним вершинам.
- Якщо
— центр описаного кола
, то
, де
— радіус описаного кола;
,
,
— довжини сторін трикутника.
- Відстань від вершини трикутника до ортоцентра вдвічі більша відстані від центру описаного кола до середини протилежної сторони.
- Будь-який відрізок, проведений з ортоцентра до перетину з описаним колом завжди ділиться колом Ейлера навпіл.
- Теорема Гамільтона. Три відрізка прямих, що з'єднують ортоцентр з вершинами гострого трикутника, розбивають його на три трикутника, що мають те ж саме коло Ейлера (коло дев'яти точок), що і вихідний гострокутний трикутник.
Див. також
Джерела
- Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005. — 120 с.
- Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія: Підручник для 7-9 кл. — Київ: Вежа, 2004. — 309 с.
- Кушнір І. А. Трикутник і тетраедр в задачах: кн. для вчителя / І. А. Кушнір. — К. : Радянська школа, 1991. — 208 с. —
- Кушнір І. А. Повернення втраченої геометрії / І. Кушнір. — Київ: Факт, 2000. 280 с.
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ortocentr vid grec or8o3 pryamij tochka peretinu visot trikutnika abo yih prodovzhen Inakshe ortocentrom nazivayetsya tochka peretinu pryamih sho mistyat visoti trikutnika Zazvichaj ortocentr poznachayut velikoyu latinskoyu literoyu H displaystyle H Tri visoti trikutnika peretinayutsya v odnij tochci yaka nazivayetsya ortocentrom V gostrokutnomu trikutniku ortocentr lezhit vseredini trikutnika V tupokutnomu poza mezhami trikutnika V pryamokutnomu trikutniku ortocentr zbigayetsya z vershinoyu pryamogo kuta Vlastivosti ortocentraOrtocentr lezhit na odnij pryamij z centroyidom centrom opisanogo kola i centrom kola dev yati tochok div Liniya Ejlera Ortocentr gostrokutnogo trikutnika ye centrom kola vpisanogo v ortocentrichnij trikutnik danogo trikutnika Tochka peretinu seredinnih perependikulyariv trikutnika ye ortocentrom trikutnika z vershinami v seredinah storin danogo trikutnika Tochki simetrichni ortocentru trikutnika shodo jogo storin lezhat na opisanomu koli Tochki simetrichni ortocentru trikutnika shodo seredin storin takozh lezhat na opisanomu koli i zbigayutsya z tochkami diametralno protilezhnimi vidpovidnim vershinam Yaksho O displaystyle O centr opisanogo kola ABC displaystyle bigtriangleup ABC to OH OA OB OC displaystyle overrightarrow OH overrightarrow OA overrightarrow OB overrightarrow OC OH 9R2 a2 b2 c2 displaystyle OH sqrt 9R 2 a 2 b 2 c 2 de R displaystyle R radius opisanogo kola a displaystyle a b displaystyle b c displaystyle c dovzhini storin trikutnika Vidstan vid vershini trikutnika do ortocentra vdvichi bilsha vidstani vid centru opisanogo kola do seredini protilezhnoyi storoni Bud yakij vidrizok provedenij z ortocentra do peretinu z opisanim kolom zavzhdi dilitsya kolom Ejlera navpil Teorema Gamiltona Tri vidrizka pryamih sho z yednuyut ortocentr z vershinami gostrogo trikutnika rozbivayut jogo na tri trikutnika sho mayut te zh same kolo Ejlera kolo dev yati tochok sho i vihidnij gostrokutnij trikutnik Div takozhMediana trikutnika Bisektrisa Visota trikutnika CentroyidDzherelaBevz G P Geometriya trikutnika Kiyiv Geneza 2005 120 s ISBN 966 504 431 1 Bevz G P Bevz V G Vladimirova N G Geometriya Pidruchnik dlya 7 9 kl Kiyiv Vezha 2004 309 s ISBN 966 7091 66 X Kushnir I A Trikutnik i tetraedr v zadachah kn dlya vchitelya I A Kushnir K Radyanska shkola 1991 208 s ISBN 5 330 02081 6 Kushnir I A Povernennya vtrachenoyi geometriyi I Kushnir Kiyiv Fakt 2000 280 s ISBN 966 7274 75 5Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi