Аксіоматика Гільберта

Аксіоматика Гільберта — аксіоматика евклідової геометрії. Розроблена Гільбертом як повніша, ніж система аксіом Евкліда.

Неозначувані поняття

Неозначуваними поняттями в системі аксіом Гільберта є: точка, пряма, площина. Є також 3 елементарні відношення:

• Лежати між (стосується точок);
• Належати (стосовно точок і прямих, точок і площин, прямих і площин);
• Конгруентність (геометрична рівність; стосується відрізків, кутів, трикутників тощо). Позначається символом ≅.

Всі точки, прямі та площини вважаються різними, якщо не зазначено інше.

Аксіоми

Система з 20 аксіом поділена на 5 груп:

I. Аксіоми належності

• планіметричні:
  1. Якими б не були точки ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle B}$, існує пряма ${\displaystyle l}$, якій належать ці точки.
  2. Якими б не були дві різні точки ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle B}$, існує не більше однієї прямої, якій належать ці точки.
  3. Кожній прямій ${\displaystyle \alpha }$ належать принаймні дві точки. Існують принаймні три точки, що не належать одній прямій.
• стереометричні:
  1. Якими б не були три точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ та ${\displaystyle C}$, що не належать одній прямій, існує площина ${\displaystyle \alpha }$, якій належать ці три точки. Кожній площині належить принаймні одна точка.
  2. Якими б не були три точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ та ${\displaystyle C}$, що не належать одній прямій, існує не більше однієї площини, якій належать ці три точки.
  3. Якщо дві різні точки ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle B}$, що належать одній прямій ${\displaystyle l}$, належать деякій площині ${\displaystyle \alpha }$, то кожна точка, що належить прямій ${\displaystyle l}$, належить вказаній площині.
  4. Якщо існує одна точка ${\displaystyle A}$, яка належить двом площинам ${\displaystyle \alpha }$ та ${\displaystyle \beta }$, то існує принаймні ще одна точка ${\displaystyle B}$, яка належить обом цим площинам.
  5. Існують принамні чотири точки, які не належать одній площині.

II. Аксіоми порядку

1. Якщо точка ${\displaystyle B}$ прямої ${\displaystyle l}$ лежить між точками ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle C}$, то ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ та ${\displaystyle C}$ — різні точки прямої, причому ${\displaystyle B}$ лежить також між точками ${\displaystyle C}$ та ${\displaystyle A}$.
2. Для довільних двох різних точок ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle C}$ на прямій, що ними визначається, існує принаймні одна точка ${\displaystyle B}$, що лежить між точками ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle C}$, та існує принаймні одна точка ${\displaystyle D}$, така що точка ${\displaystyle C}$ лежить між точками ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle D}$.
3. Серед довільних трьох точок, які лежать на одній прямій, існує одна і лише одна точка, що лежить між двома іншими.
4. Аксіома Паша. Якщо у довільній площині дано трикутник ${\displaystyle ABC}$ і довільну пряму, що не проходить через одну з його вершин і перетинає сторону ${\displaystyle AB}$, то ця пряма перетне одну і лише одну з двох інших сторін ${\displaystyle AC}$ чи ${\displaystyle BC}$.

III. Аксіоми конгруентності

1. Якщо ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle B}$ — дві точки прямої ${\displaystyle l}$, ${\displaystyle A'}$ — точка на цій же прямій чи на іншій прямій ${\displaystyle l'}$, то по задану від точки ${\displaystyle A'}$ сторону прямої ${\displaystyle l'}$ знайдеться, і при цьому лише одна, точка ${\displaystyle B'}$, така що відрізок ${\displaystyle A'B'}$ конгруентний відрізку ${\displaystyle AB}$. Кожен відрізок ${\displaystyle AB}$ конгруентний відрізку ${\displaystyle BA}$. 
2. Якщо відрізки ${\displaystyle A'B'}$ та ${\displaystyle A''B''}$ конгруентні одному і тому ж відрізку ${\displaystyle AB}$, то вони конгруентні між собою.
3. Нехай ${\displaystyle AB}$ та ${\displaystyle BC}$ — два відрізки прямої ${\displaystyle l}$, які не мають спільних внутрішніх точок, ${\displaystyle A'B'}$ і ${\displaystyle B'C'}$ — два відрізки тієї ж прямої чи іншої прямої ${\displaystyle l'}$, які також не мають спільних внутрішніх точок. Тоді якщо відрізок ${\displaystyle AB}$ конгруентний відрізку ${\displaystyle A'B'}$, а відрізок ${\displaystyle BC}$ конгруентний відрізку ${\displaystyle B'C'}$, то відрізок ${\displaystyle AC}$ конгруентний відрізку ${\displaystyle A'C'}$.
4. Якщо дано кут ${\displaystyle \angle ABC}$ та промінь ${\displaystyle B'C'}$, що лежить в площині даного кута, то існує рівно два промені ${\displaystyle B'D}$ та ${\displaystyle B'E}$, які також лежать в площині даного кута, такі, що ${\displaystyle \angle DB'C'}$ конгруентний ${\displaystyle \angle ABC}$ та ${\displaystyle \angle EB'C'}$ конгруентний ${\displaystyle \angle ABC}$. 
5. Якщо для двох трикутників ${\displaystyle ABC}$ та ${\displaystyle A'B'C'}$ мають місце конгруенції: ${\displaystyle AB\cong A'B'}$, ${\displaystyle AC\cong A'C'}$, ${\displaystyle \angle BAC\cong \angle B'A'C'}$, то завжди мають місце й конгруенції: ${\displaystyle \angle ABC\cong \angle A'B'C'}$, ${\displaystyle \angle ACB\cong \angle A'C'B'}$.

IV. Аксіома паралельності

Для аксіоми паралельності Гільберт обрав не евклідове формулювання, а еквівалентне йому та більш просте — аксіому Прокла:

1. Нехай ${\displaystyle l}$ — довільна пряма і ${\displaystyle A}$ — точка, що їй не належить; тоді в площині, яка визначається точкою ${\displaystyle A}$ й прямою ${\displaystyle l}$, можна провести не більше однієї прямої, яка проходить через ${\displaystyle A}$ і не перетинає ${\displaystyle l}$.

V. Аксіоми неперервності

1. Аксіома Архімеда. Нехай ${\displaystyle A_{1}}$ — довільна точка на прямій між довільними точками ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle B}$. Побудуємо точки ${\displaystyle A_{2}}$, ${\displaystyle A_{3}}$, ${\displaystyle A_{4}}$, … так, що точка ${\displaystyle A_{1}}$ знаходиться між точками ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle A_{2}}$, ${\displaystyle A_{2}}$ між ${\displaystyle A_{1}}$ та ${\displaystyle A_{3}}$, ${\displaystyle A_{3}}$ між ${\displaystyle A_{2}}$ та ${\displaystyle A_{4}}$ і т. д., при цьому відрізки ${\displaystyle AA_{1}}$, ${\displaystyle A_{1}A_{2}}$, ${\displaystyle A_{2}A_{3}}$, ${\displaystyle A_{3}A_{4}}$, . . . рівні між собою. Тоді завжди існує така точка ${\displaystyle A_{n}}$, що точка ${\displaystyle B}$ лежить між ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle A_{n}}$.
2. Аксіома повноти. Точки прямої (площини) утворюють таку систему точок, яку неможливо доповнити новими точками без порушення раніше встановлених аксіом.

21-а аксіома

Спочатку аксіоматика Гільберта містила ще й 21-у аксіому:

«Довільним чотирьом точкам на прямій можна присвоїти імена ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, і ${\displaystyle D}$ так, щоб точка ${\displaystyle B}$ лежала між точками ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle C}$, а також між ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle D}$; точка ${\displaystyle C}$ — між ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle D}$, а також між ${\displaystyle B}$ і ${\displaystyle D}$».

Е. Г. Мур та Р. Л. Мур незалежно один від одного показали, що ця аксіома надлишкова і Е. Г. Мур в 1902 році опублікував цей результат у статті Transactions of the American Mathematical Society. Цю «аксіому» можна вивести з аксіом належності та порядку.

Повнота і несуперечність

Як довів Альфред Тарський (1951), аксіоматика Гільберта логічно повна, тобто будь-яке (формальне) висловлювання про геометричні поняття, що містяться в ній може бути доведено або спростоване. Вона також несуперечлива, якщо несуперечлива арифметика.

Історія

Аксіоматику евклідової геометрії було опубліковано Давидом Гільбертом у 1899 році у святковому томі «Festschrift», присвяченому відкриттю в Ґетінґені пам'ятника Карлу Фрідріху Гаусу та його другові фізику Вільгельму Веберу. Нині «Основи геометрії» перекладено багатьма мовами світу.

Інші системи аксіом

Догільбертові системи аксіом геометрії:

• ^[en]
• (включає поняття «рух»)
• Аксіоматика Веронезе
• ^[en] (1899)

Подібні гільбертовій:

• Аксіоматика Кагана (1902)
• Аксіоматика Веблена (1904)
• Аксіоматика Колмогорова
• Аксіоматика Александрова

Сучасні аксіоматики:

• ^[en]
• Аксіоматика Біркгофа — містить «аксіому лінійки» та «аксіому транспортира». Її варіанти використовуються в більшості американських шкільних підручників, до неї близька аксіоматика Погорєлова.
• Аксіоматика Вейля — оперує неозначуваними поняттями точки та вільного вектора. Пряма та площина визначаються як множини точок.

Примітки

1. Moore, E.H. (1902), (PDF), Transactions of the American Mathematical Society, 3: 142—158, doi:10.2307/1986321, архів оригіналу (PDF) за 3 травня 2019, процитовано 20 липня 2018
2. . Архів оригіналу за 20 липня 2018. Процитовано 20 липня 2018.

Посилання

• Д. Гільберт. Основания геометрии. [ 28 липня 2011 у Wayback Machine.] Перевод с немецкого под редакцией А. В. Васильева. Л., «Сеятель», 1923. — 152 с.
• Герман Вейль. Давид Гильберт и его математические труды. [ 27 квітня 2015 у Wayback Machine.]
• GeoGebraКнига: Аксіоми геометрії (Гільберт) [ 4 червня 2016 у Wayback Machine.]